Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 7: Qui hoạch Simplex

Chương 7 Qui hoạch Simplex  Khái niệm chung  Qui hoạch Simplex Lattice  Qui hoạch Simplex Centroid  Tối ưu hóa bằng phương pháp Sequential Simplex 7.1. Khái niệm chung  Simplex là vùng khảo sát khi các yếu tố khảo sát bị ràng buộc bởi các điều kiện: xi = const. và xi  0 i = 1, 2, , q  Simplex thường được sử dụng để khảo sát hỗn hợp với yếu tố khảo sát là thành phần các cấu tử. Trong trường hợp này các yếu tố không còn mang tính độc lập mà phụ thuộc nhau. Thành phần các cấu tử có thể biểu diển bằng phần trăm (%) khối lượng hay phân mol.  Simplex bậc 2 cho hệ 2 cấu tử  Simple bậc 3 cho hệ 3 cấu tử  Simplex bậc 4 cho hệ 4 cấu tử Tính chất của Simplex  Simplex có tính modul, nghĩa là Simplex bậc cao được cấu tạo bởi các simplex bậc thấp. Thí dụ simplex tứ diện sẽ bao gồm các simplex tam giác, simplex đoạn thẳng và simplex điểm.  Tổng số các simplex bậc thấp trong simplex bậc cao cho bởi công thức sau là Simplex bậc 1 (1 cấu tử trong hệ q cấu tử) simplex bậc 1 biểu diển bởi đỉnh của simplex Tạo độ Simplex  Điểm biểu diển thành phần 100% của cấu tử nằm ở đỉnh simplex  Điểm biểu diển thành phần 0% của cấu tử nằm ở simplex con bậc q-1, đối diện với đỉnh simplex tương ứng. Thí dụ với hệ 3 cấu tử điểm biểu diển 100% cấu tử nằm ở đỉnh tam giác, điểm biểu diển 0% cấu tử nằm ở cạnh đối diện  Hệ trục tọa độ simplex bậc 3  Đối với hệ đa cấu tử qui hoạch thí nghiệm cho phép giảm thiểu đáng kể khối lượng thí nghiệm vì có thể xác định các tính chất của hệ từ các phương trình hồi qui.  Bề mặt đáp ứng của hệ đa cấu tử rất phức tạp. Scheffe đề xuất mô tả tính chất của hỗn hợp theo đa thức rút gọn. Xét trường hợp hệ 3 cấu tử. Dạng tổng quát của đa thức: Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1 2 + b22x2 2 + b33x3 2 Hệ 3 cấu tử Dạng tổng quát của đa thức bậc 2: Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1 2 + b22x2 2 + b33x3 2 Vì 1 = x1 + x2 + x3 b0 = b0x1 + b0x2 + b0x3 x1 2 = x1 – x1x2 – x1x3 x2 2 = x2 – x1x2 – x2x3 x3 2 = x3 – x1x3 – x2x3 Thay thế và thu gọn ta được Y = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 12x1x2 + 13x1x3 + 23x2x3 Với: i = b0 + bi + bii ij = bij – bii – bji Tổng quát  Đa thức bậc 2 cho hệ q cấu tử  Đa thức bậc 3 cho hệ q cấu tử  Không đầy đủ:  Đầy đủ      qi qi jiijii XXXY 1 1         qi qji kj qkji iijk qji jijiijjiijii XXXXXXXXXXY 1 1 11 )(         qi qji kj qkji iijkjiijii XXXXXXY 1 1 1   Đa thức bậc 4 cho hệ q cấu tử                  qkji qlkji lkjiijklkjiijkk qkji qkji kjiijjkkjiiijk qji jijiij qi qji qji jijiijjiijii XXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXY 1 1 2 1 1 22 1 1 1 1 )( )(     Việc xác định các hệ số trong phương trình rút gon Scheffe rất phức tạp nên để phân tích qui hoạch Simplex người ta thường dùng các phần mềm phân tích thống kê như JMP, Design Expert, Minitab  Các phần mềm này hỗ trợ việc tính toán khi có thí nghiệm lập để xác định sai số thí nghiệm  Phần mềm JMP cho thí nghiệm lập toàn bộ qui hoạch  Phần mềm Design Expert chỉ cho phép qui hoạch thí nghiệm lập tại các đỉnh simplex  Phần mềm MiniTab cho phép người sử dụng chọn các điểm làm thí nghiệm lập 7.2. Qui hoạch Simplex Lattice  Các điểm thí nghiệm phân bố trên khắp simplex (mạng simplex)  Với hệ q cấu tử, mạng simplex bậc m được ký hiệu là {q, m}  Đối với mô hình bậc m, thành phần của mỗi cấu tử sẽ có các giá trị như sau 1,..., 2 , 1 ,0 mm xi   Thí dụ mạng Simplex {4,2} có các điểm hay  Mạng Simplex {3,3} Đặc điểm của qui hoạch mạng Simplex  Số điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex {q,m} sẽ bằng số hệ số trong đa thức rút gọn Scheffe của hệ q cấu tử bậc m. Qui hoạch Scheffe bậc m thường được gọi là qui hoạch Scheffe {q,m}. Đây là qui hoạch bảo hòa nên không cho phép đánh giá được độ tương thích  Với qui hoạch m < q: các hỗn hợp khảo sát sẽ có tối đa m cấu tử, không có hỗn hợp chứa đầy đủ cấu tử  Với qui hoạch m= q: có một hỗn hợp khảo sát chứa đầy đủ các cấu tử  Với qui hoạch m > q: có trên một hỗn hợp khảo sát chứa đầy đủ các cấu tử  Các loại điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex q m Hổn hợp Tổng số 1 2 3 4 3 2 3 4 3 3 3 3 6 9 . 1 3 . . . 6 10 15 4 2 3 4 4 4 4 6 12 18 . 4 12 . . 1 10 20 35 5 2 3 4 5 5 5 10 20 30 . 10 30 . . 5 15 30 70 6 2 3 4 6 6 6 15 30 45 . 20 60 . . 15 21 56 126  Trong bảng qui hoạch trên cho thấy qui hoạch mạng Simplex rất ít hỗn hợp có đầy đủ các cấu tử. Các điểm khảo sát tập trung vào các simplex bậc thấp.Vì vậy các thông tin thu thập được sẽ tập trung ở biên của qui hoạch.  Qui hoạch Scheffe {q,m} thường cải tiến để khắc phục tính chất bảo hòa và thông tin tập trung ở biên bằng cách tăng cường khảo sát q+1 hỗn hợp đầy đủ cấu tử. Một trong các điểm tăng cường là tâm của simplex. Các điểm còn lại nằm giữa tâm simplex và đỉnh simplex.  Qui hoạch Scheffe {3,2} tăng cường  Qui hoạch {q,2} thêm q+1 độ tự do cho phép đánh giá độ tương thích của mô hình  Việc chọn lựa qui hoạch tùy thuộc mô hình mong muốn cho đáp ứng. Xét 2 qui hoạch mạng Simplex {3,3} và mạng Simplex tăng cường {3,2}. Qui hoạch {3,3} hỗ trợ mô hình có các thừa số Qui hoạch {3,2} hỗ trợ cho mô hình  Qui hoạch mạng Simplex {3,3} và mạng Simplex tăng cường{3,2} 2.3. Qui hoạch Simplex Centroid  Đối với hệ q cấu tử chỉ có 1 qui hoạch tâm Simplex  Qui hoạch bao gồm tất cả các hỗn hợp có thành phần nằm ở (trọng) tâm các simplex con trong simplex, bao gồm:  Tất cả các đỉnh simplex biểu diển 1 cấu tử (1,0,0..,0),  Tất cả các điểm giữa cạnh simplex biểu diển hệ 2 cấu tử (1/2,1/2,0,0,,0),  Tất cả các điểm giữa cạnh simplex biểu diển hệ 3 cấu tử (1/3,1/3,1/3,0,,0),   Điểm tâm của Simplex biểu diển hệ q cấu tử (1/q, 1/q, , 1/q)  Số điểm biểu diển của qui hoạch tâm Simplex đầy đủ là  Số điểm khảo sát tăng rất nhanh theo q. Do đó số thí nghiệm sẽ rất lớn so với số hệ số của phương trình hồi qui cần xác định. Với mô hình bậc 2 cho hệ 6 cấu tử theo Scheffe thì có 21 hệ số trong khi qui hoạch tâm Simplex đầy đủ có tới 63 điểm. Cũng cần lưu ý các thừa số xixj(xi-xj) cũng như thừa số xixj(xi-xj) 2 trong mô hình Scheffe bằng zero trong qui hoạch tâm Simplex.  Người ta thường sử dụng mô hình đa thức đặc biệt có cùng số hệ số như qui hoạch tâm Simplex.  Đôi khi người ta sử dụng qui hoạch tâm Simplex từng phần ở mức độ p, nghĩa là chỉ triển khai đến tập hợp q/p. Thí dụ qui hoạch Simplex tâm {4,2} và {3,3}        qi qji qqkj qkji iijkjiijii XXXXXXXXXY 1 1 21...12 1 .......  So sánh qui hoạch mạng Simplex và tâm Simplex Lấy trường hợp hệ 3 cấu tử, với 10 thí nghiệm  Qui hoạch mạng Simplex {3,3}  Qui hoạch tâm Simplex gồm 3 đỉnh simplex, tâm simplex và 3 điểm tăng cường )0,0,1( )3/2,0,3/1( )3/1,0,3/2( )0,3/1,3/2( )0,3/2,3/1( )3/2,3/1,0()3/1,3/2,0( )1,0,0()0,1,0( )3/1,3/1,3/1( )5.0,0,5.0( )0,5.0,5.0( )1,0,0()5.0,5.0,0( )5.0,0,5.0( )0,1,0( )3/1,3/1,3/1( )6/1,6/1,3/2( )3/2,6/1,6/1()6/1,3/2,6/1( Mô hình  Qui hoạch mạng Simplex hỗ trợ mô hình 3 thừa số sau cùng cho phép khảo sát dạng bề mặt đáp ứng bậc cao hơn 2 của hệ 2 cấu tử )()()( 323223313113212112 221123322331132112332211 xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxy      Qui hoạch tâm Simplex hỗ trợ mô hình Mô hình cho phép khảo sát độ cong của bề mặt đáp ứng bên trong tam giác (hỗn hợp có đầy đủ 3 cấu tử). Điều này qui hoạch mạng Simplex không làm được 2 32112333 2 21122332 2 11123 322331132112332211 xxxxxxxxx xxxxxxxxxy     Phân bố thông tin trong vùng khảo sát  Qui hoạch mạng Simplex cho nhiều thông tin bề mặ đáp ứng của hệ 2 cấu tử  Qui hoạch tâm Simplex phân bố thông tin đều hơn bên trong vùng qui hoạch 7.4. Tối ưu hóa bằng Simplex  Phương pháp Simplex trong tối ưu hóa là một quá trình phát triển (Evolutionary Process - EVOP) trong đó quá trình lập lại thí nghiệm dựa trên kết quả thí nghiệm trước.  Trong quá trình lập lại tất cả các yếu tố đều thay đổi giá trị  Không có sự lồng vào nhau của các vòng lập. Điều này đưa tới số thí nghiệm tăng chậm theo số yếu tố  Số thí nghiệm thường bằng 5 – 10 lần số yếu tố Số yếu tố Squential Simplex Single Factor 2 6 – 12 4 – 9 4 20 – 30 16 – 81 8 70 – 100 256 – 6561 16 120 – 160 60000+ Nguyên tắc tiến hành  Tất cả các yếu tố thay đổi trong quá trình lập lại  Điểm có đáp ứng xấu nhất được thay thế bằng điểm chiếu trực tiếp theo gradien của bề mặt đáp ứng.  Có 2 cách tiến hành  Bước cố định: bước phát triển theo gradien bề mặt đáp ứng với khoảng cách cố định. Sử dụng tốt nhất khi cần kiểm soát tối đa toàn vùng khảo sát  Bước thay đổi: Cho phép leo nhanh trên bề mặt đáp ứng. Gần vùng cực trị thì thu nhỏ bước.  Sequential Simplex bước cố định  Sequential Simplex bước thay đổi  Simplex bước cố định với độ dài bước khác nhau Giải thuật simplex bước cố định 1. Sắp các đỉnh của simpplex vào bảng tính theo thứ tự giảm dần của đáp ứng. Đặt đỉnh có đáp ứng thấp nhất vào cột W 2. Tính và ước lượng R 3. Không bao giờ chuyển cột W sang bảng tính mới. Chuyển cột N sang cột W ở bảng tính mới. Trở về 1  Bảng tính Simplex Thí dụ khảo sát hệ 2 cấu tử. Xuất phát điểm với 3 thí nghiệm cho kết quả như sau TN X1 X2 Đáp ứng 1 10.00 10.00 1.32 2 39.98 17.76 5.63 3 17.76 39.98 10.47  Vòng quay #1  Vòng quay #2  Vòng quay #3  Vòng quay #4  Vòng quay #5  Vòng quay #6  Tổng kết Giải thuật simplex bước thay đổi 1. Sắp các đỉnh của simpplex vào bảng tính theo thứ tự giảm dần của đáp ứng. Đặt đỉnh có đáp ứng thấp nhất vào cột W 2. Tính và ước lượng R  Nếu N  R  P: sử dụng simplex B..NR. Chuyển tới 3  Nếu R > B, tính E  Nếu E  B: sử dụng simplex B..NE. Chuyển đến 3  Nếu E < B: sử dụng simplex B..NR. Chuyển đến 3  Nếu R < N  Nếu R  W: tính CR, dùng simplex R..NCR, chuyển đến 3  Nếu R < W: tính CW, dùng simplex B..NC W, chuyển đến 3 3. Không bao giờ chuyển cột W sang bảng tính mới. Chuyển cột N sang cột W ở bảng tính mới. Trở về 1  Bản tính Simplex bước thay đổi Kết luận  Phương pháp tối ưu hóa Simplex có thể sử dụng để tối ưu nhiều yếu tố, nhằm giảm số thí nghiệm cần thiết  Giải thuật simplex là một quá trình phát triển dựa trên kết quả trước để cải thiện thí nghiện kế tiếp  Sequential Simplex được sử dụng nhiều trong công nghiệp