Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5a: Ma trận hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Văn Tiến

16/04/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 5a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa ma trận • Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột. 11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn n n m m mn a a a a a a A a a a a a a a a a hay A a a a                                               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa ma trận • Ký hiệu ma trận: • Ví dụ: ij m n A a       1 2 7 0 4 5 7 1 0 2 8 9 A             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận vuông • Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. • Đường chéo chính gồm các phần tử: 11 12 1 21 22 2 ij 1 2 n n n n nn n n a a a a a a A a a a a                             11 22 , , ..., nn a a a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các dạng ma trận đặc biệt 1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận không • Tất cả các phần tử đều bằng 0. • Ký hiệu: 0 hay 0mxn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n                       16/04/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận hàng, cột • Ma trận hàng: chỉ có một hàng • Ma trận cột: chỉ có một cột   1 2 1 2 3 4 5 4 5 A B                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận tam giác trên 1 2 3 4 1 2 3 0 0 2 1 0 4 5 0 0 8 9 0 0 6 0 0 0 4 A B                            • Ma trận vuông • Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận tam giác dưới 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 3 4 0 0 6 8 0 5 0 6 9 3 1 4 A B                            • Ma trận vuông • Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận chéo 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 0 6 0 0 0 4 a A B C b                                    • Ma trận vuông • Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 • Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận đơn vị 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I I I                                     • Ma trận chéo • Các phần tử chéo đều bằng 1. • Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận bậc thang • Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. • Ma trận bậc thang: – Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. – Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. 16/04/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 2 1 0 0 0 0 7 1 0 4 8 9 0 0 0 9 3 1 0 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 9 1 A B                           Không là bậc thang Không là bậc thang Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 2 1 0 0 0 4 8 9 0 0 7 1 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 0 3 1 2 0 0 0 9 1 C D                            bậc thang bậc thang Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các dạng phép toán trên ma trận 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai ma trận bằng nhau • Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau. 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c                           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cộng hai ma trận • Cộng các phần tử tương ứng với nhau • Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c                             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhân một số với ma trận • Nhân số đó vào tất cả các phần tử 1 2 6 4 5 2 2 2 2 2 2 6 4 5 a d A B b c f a A b c k dk k kB k k fk                                 16/04/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 ) )2 3 1 2 ) 3 7 A B a A B b A B c A B                                Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phép nhân hai ma trận • Cho 2 ma trận: • Khi này ma trận A nhân được với ma trận B • Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau. ; m n n k A B   . m k kn mn A B C     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc nhân • Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.   hang cotijc i j C A B  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Các ma trận nào nhân được với nhau? 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 1 2 2 4 1 2 3 0 1 2 4 1 3 7 A B C D                                                     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định thức • Cho ma trận A vuông, cấp n. • Định thức của ma trận A, ký hiệu: • Đây là một số thực, được xác định như sau:  det A hay A       11 111 1 11 12 11 22 21 12 21 22 2 2 det det . . A a thì A a a a A thì A a a a a a a             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định thức cấp n≥3 • Dùng phần bù đại số • Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... ............................. ...... n n n n nn n n a a a a a a A a a a                 16/04/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4 4 3 21 0 9 1 7 1 2 2 14 0 6 6 42 1 13 A                   Ví dụ • Cho ma trận:  23 23 3 21 9 2 14 6 6 42 13 M M             boû haøng 2 vaø coät 3 M23=??? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phần bù đại số • Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:    ij ij1 det i j A M     ij ij1 i j A M    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khai triển định thức • Định thức của ma trận vuông cấp n: • Đây là khai triển theo dòng 1. • Ta có thể khai triển dòng bất kỳ.   11 11 12 12 1 1det . . ... n nA a A a A a A      1 1 2 2det . . ...i i i i in inA a A a A a A    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính định thức ma trận sau: 1 2 3 4 1 2 3 0 5 7 6 0 5 7 1 2 8 5 1 2 8 0 0 0 2 A B                             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định thức cấp 3 • Ta dùng qui tắc sau: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a                 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 det . . . . . . . . . . . . A a a a a a a a a a a a a a a a a a a       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính lại định thức ma trận sau:     1 2 3 1 2 1 0 5 7 0 1 0 1 2 8 2 2 2 5 7 6 0 1 1 1 2 5 1 2 2 0 3 9 3 3 A C m m m B D m                                                         16/04/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất của định thức 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định thức. 2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(kA)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu. 6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất của định thức 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thì định thức không thay đổi. 8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0. 9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất 11 Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức 1 3 1 3 1 3 0 7 0 7 0 7 1 8 1 8 1 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 6 5 7 10 12 2 2 5 5 2 5 10 12 5 1 6 6 1 2 2 4 5 4 14 16 16 3 6 7 0 12 5              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận nghịch đảo • Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho: • Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1 . . n n A B I B A I      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất   1 1 1 1 1 . . n A AA A A I A          i) khaû nghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A ii) iii) Ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát, vaø: A Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ; 1 det det T T T AB B A ABC C B A A A A A               iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì: v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch: vi) 16/04/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điều kiện để ma trận khả nghịch • Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:       det 0 det 0 n A A I A r A n A A A A        i) khaû nghòch ii) khaû nghòch iii) khaû nghòch iv) khoâng khaû nghòch Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cách tìm ma trận nghịch đảo • Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Định thức Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận nghịch đảo_1 • Ta có: • Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. • Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A 1 1 det TA C A    ij ij1 det i j ij c A M     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A               det ???A  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Tìm ma trận phụ hợp của A: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 0 1 0 1 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 1 1 0 1 0 1 c c c c c c c c c                                        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải phương trình ma trận a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình. 16/04/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải các phương trình sau: 1 2 3 5 ) . 3 4 5 9 3 10 5 6 4 16 ) . . 5 2 7 8 9 10 a X b X                                               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau 2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0 3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số. 4. Tổng hợp: i j d d . i i d k d . i i j d d d   . . i i j d k d d   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Thực hiện phép biến đổi ma trận: • Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A 2 2 1 3 3 1 3 3 29 2 3 2 8 1 2 3 4 8 7 5 3 ? ?? 2 3 0 1 ?? ' d d d d d d d d d d d A A                    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A. • Ký hiệu: r(A) hay rank(A) • Ma trận bậc thang của A: A→..bdsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm hạng của ma trận 3 21 0 9 0 1 7 1 2 1 2 14 0 6 1 6 42 1 13 0 A                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất             ) ) ) min , T ij m n i r A r A ii A B thì r A r B iii A a thì r A m n          16/04/2017 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ phương trình tuyến tính • Dạng tổng quát 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ............................................... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ phương trình tuyến tính • Dạng ma trận 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b                                                                A X B  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ phương trình tuyến tính • Dạng ma trận • Ma trận A gọi là ma trận hệ số. • X: ma trận cột các ẩn số • B: ma trận cột các hệ số tự do • Nghiệm của phương trình là một bộ số: Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn. A X B     1 2 1 2, , ..., , , ...,n nx x x c c c Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Cronecker – Capeli   Cho phöông trình: Ñaët ma traän boå sung cuûa ma traän A Tìm haïng cuûa ma traän : : ; A X B A A B A A    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Cronecker – Capeli                 i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm iii) Heä pt voâ nghieäm iv) Heä pt coù nghieäm r A r A n r A r A n r A r A r A r A           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 4 1 3 4 0 2 4 1 x x x x x x x x x x x x                16/04/2017 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cách giải hpt tuyến tính • Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Cramer • Phương pháp ma trận nghịch đảo Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp Gauss – Jordan       i) Laäp ma traän boå sung . ii) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng. iii) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu. iv) Giaûi n bdsc dong r r A A B A A B A A B     ghieäm töø döôùi leân treân. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 4 8 2 4 1 2 4 5 11 ) ) 3 4 0 4 3 2 1 2 4 1 6 7 10 x x x x y z x x x x y z a b x x x x y z x x x x y z                                       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp Cramer • Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình • Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do. 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n n n nn m n a a a x b a a a x b a a a x b                                                                Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp Cramer • Ví dụ: A1 • Thay cột 1 bằng cột hệ số tự do 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 12 1 22 2 1 1 2 2 ... ... ...................... ... ... ... ... ...................... ... n n n n nn n n n n nn n a a a b a a a b A B a a a b a a a a A a a b b b                                        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp Cramer       Ñaët: Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát: Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm. Neáu thì heä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp 1 1 1 det ; det ; ... ; det ) 0 ) 0 0 ) ... 0 n n i i i n A A A i x ii ii                       baèng phöông phaùp Gauss. 16/04/2017 11 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải và biện luận hệ phương trình sau 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 4 ) ) 8 2 4 mx x x ax y z a x mx x m b x by z x by zx x mx m                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp ma trận nghịch đảo • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. • Nếu ma trận A khả nghịch thì: .AX B 1. .AX B X A B   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 6 1 7 x x x x x x x x x m            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 1 • Cho hai ma trận: • Tìm ma trận nghịch đảo của A. • Tìm X biết: X.A=3B 1 2 3 1 2 1 3 2 4 3 1 0 2 1 0 2 1 1 A B                        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 2 • Giải hệ phương trình sau 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 x x x x 0 3x x x 2x 5 5x x x 4 7x x x 3x 10                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 3 • Giải hệ phương trình sau 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2x y 3z 9 x y z 6 a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21 4x 7y z 5 7x y 3z 6 2x 2x x x 4 4x 3x x 2x 6 c) 8x 5x 3x 4x 12 3x 3x 11x 5x 6                                            16/04/2017 12 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 4 • Tìm m để ma trận sau khả nghịch 1 1 1 1 1 1 1 m A m m m           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến • Tìm m để hệ là hệ Crammer • Giải nghiệm của hệ Bài 5 1 1 1 mx y z x my z x y mz            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 6 • Giải và biện luận theo m mx y z 1 mx y z m a) x my z 1 b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1 x y mz 1 x y mz 1                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 7 • Tìm để hệ có nghiệm duy nhất • Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m x y mz 1 x my z a x (m 1)y (m 1)z b              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 8 • Giải và biện luận   1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 4 3 3 3 x x mx m mx x m x x x x m m                 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân đối liên ngành • Mô hình Input-Output Leontief • Đặc điểm: • 1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hóa phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo tỉ lệ cố định đó là một mặt hàng. • 2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định. 16/04/2017 13 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng cầu đối với sp mỗi ngành - Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất - Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại sản ph