Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 3: Không gian vectơ

10/11/2019 1 KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3 10/10/2019 1 NỘI DUNG o Subspaces of Rn o Spanning sets o Independence o Bases of vector spaces o Dimensions o Column space and row space of a matrix 10/10/2019 2 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ 10/10/2019 3 TÍNH CHẤT 1 .0 0x x 10/10/2019 4 KHÔNG GIAN R3 Phép cộng hai vec tơ: Phép nhân vec tơ với một số: Sự bằng nhau của hai vec tơ:  V1 là không gian vec tơ. Ký hiệu: R3 Tương tự ta có không gian Rn 1 1 2 3 1 2 3 , , | , ,V x x x x x x R 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , , , , ,x y x x x y y y x y x y x y 1 2 3 1 2 3 . , , , ,x x x x x x x 1 1 2 2 3 3 x y x y x y x y 10/10/2019 5 VECTOR N CHIỀU (x1, x2) // vector in R 2 (x1, x2, x3) // vector in R 3 (x1, x2, x3, x4) // vector in R 4 (x1, x2, , xn) // vector in R n A vector (x1, x2, , xn) in R n is also called a point in Rn. (0, 0, , 0): the zero vector in Rn 10/10/2019 6 10/11/2019 2 PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG RN u = u1, u2, , un) v = (v1, v2, , vn) Vector addition: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, , un + vn) Scalar multiplication: cv = (cv1, cv2, , cvn) 10/10/2019 7 EXAMPLES Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1)  Find u + v u + v = (5, 0, 3, 1)  Find ½u ½u = (1, - ½, ½,1)  Find -3v -3v = (-9, -3, -6, 3)  And find 3u - 2v 3u + 2v = (0, -5, -1, 8) 10/10/2019 8 KHÔNG GIAN P2[X] Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức. Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một số Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau)  V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x] Tương tự ta có không gian Pn[x] 2 2 ax bx c | , ,V a b c R 10/10/2019 9 KHÔNG GIAN M2[R] Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận. Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một số Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai ma trận bằng nhau.  V3 là không gian vec tơ. Ký hiệu: M2[R] Tương tự ta có không gian Mn[R] 3 : , , , a b V a b c d R c d 10/10/2019 10 KGVT CON  Không gian vecto con  Không gian sinh bởi một họ vecto  Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính)  Độc lập tuyến tính  Phụ thuộc tuyến tính 10/10/2019 11 KHÔNG GIAN VECTO CON CỦA RN A nonempty subset V is called a subspace of Rn if:  0 = 0, 0, , 0  𝑉  𝑢, 𝑣  𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣.  v 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k Example. V = {(a, a, 0) | a  R}  (0, 0, 0) is in V  If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V  If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V V is a subspace of R3. 10/10/2019 12 10/11/2019 3 SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF RN:  0 = 0, 0, , 0  𝑉  𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉  𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 U= V= W= 10/10/2019 13 SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF RN: V = {(a, b, c) | a = b or a = -b} V = {(a, b, c) | a = 0 or b = 0} 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0) 𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1,−1,0) // in V but u + v is not in V 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V 𝑢+ 𝑣 = (1, 1, 1) // not in V  0 = 0, 0, , 0  𝑉  𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉  𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 10/10/2019 14 SUBSPACE OR NOT? Key = a 10/10/2019 15 VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH Cho các vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1). Hãy viết vecto w dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vecto u và v (nếu được) Điều này có nghĩa là tìm các hệ số a, b sao cho: w = au + bv (1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3) = (a + b, -a + b, 2a + 3b) w u v a + b =1 -a + b = -3 2a + 3b = 1  a = 2, b = -1 w = 2u - v 10/10/2019 16 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH (LINEAR COMBINATION) 10/10/2019 17 LINEAR COMBINATION Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1) Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v, and w. We find numbers a, b, c such that: x = au + bv + cw (1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1) (1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c) 1a -2b + 3c = 1 -1a + 0b + 2c = 0 2a + 3b + 1c = 2 a = 2, b = -1, c = 1  x = 2u –v + w 10/10/2019 18 10/11/2019 4 VÍ DỤ 1 2 3(1,3, 2); (0,1, 1); (2,0, ( 2,1 ) , 1) 3            10/10/2019 19 SPANNING SETS V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 + 𝑏𝑣| a, b in R} V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤| a, b, c in R}. We also say {u, v, w} spans V a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤 is called a linear combination of 𝑢, 𝑣, and 𝑤. V u v 10/10/2019 20 SPANNING SETS - EXAMPLES Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)} a. (-1, 1, 1) V? b. Find m such that (-2, 1, m)V. Solution. a. (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) (-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b) b. (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) -a + 3b = -1 2a – 5b = 1 a – b = 1 -a + 3b = -2 2a – 5b = 1 a – b = m 10/10/2019 21 KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ Cho tập hợp các vec tơ: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các vec tơ của M tạo thành một không gian vec tơ. Span(M) là không gian vecto con, sinh bởi một họ vec tơ 1 2 , ,..., n M v v v 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n span M v v v span v v v 10/10/2019 22 1 −1 2 2 −1 5 −3 5 −4 −1 −2 𝑚 VÍ DỤ Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4). Solution. We want the system below has solution a, b, c: (-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4) (-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c) a – b + 2c = -1 2a – b + 5c = -2 -3a + 5b – 4c = m 1 −1 2 0 1 1 0 2 2 −1 0 𝑚 − 3 1 −1 2 0 1 1 0 0 0 −1 0 𝑚 − 3 m = 3 10/10/2019 23 BÀI TẬP 1. Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the subspace spanned by the vectors (-1, 1, 0) and (2, -3, - 1). 2. For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)? 3. Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0, 1), and (2, -1, 1, 0). 10/10/2019 24 10/11/2019 5 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Key = d, e, b Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)}. If X is in U, write X =aY + bZ, then find the sum a+b. a) X is not in U b) a+b = -1 c) a+b = 4 d) a+b = 0 e) None of these 10/10/2019 25 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Key = e, c, a 10/10/2019 26 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)}. Find all values of t such that (1, 2, t) V. a) t is arbitrary b) t = 3/2 c) t = 3 d) t = -1 10/10/2019 27 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Một tập hợp các vecto {v1, v2, , vn} được gọi là độc lập tuyến tính (linearly independent) nếu hệ phương trình: t1𝑣1+ t2𝑣2+ ... + tn𝑣𝑛= 0 Chỉ có nghiệm tầm thường: t1 = t2 = = tn = 0 10/10/2019 28 Độc lập tuyến tính  số phần tử cơ sở = Số vecto 10/10/2019 29 DO YOURSELF 10/10/2019 30 10/11/2019 6 VÍ DỤ Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 1 2 3 1 2 a) (1,2,3); (2,1,0); (0,1, 2) b) (2,4); ( 1, 2)              10/10/2019 31 VÍ DỤ Trong không gian R3 cho hệ vec tơ: 1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M không?       1,1,1 ; 2,1,3 ; 1,2,0M  10/10/2019 32 TỔNG HỢP 10/10/2019 33 XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 10/10/2019 34 XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 10/10/2019 35 XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN Trong Rn cho hệ vec tơ • Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc tơ của hệ) • Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A<m.  1 2, , , mM    1 11 12 1 11 12 1 2 21 22 2 21 22 2 1 21 2 ( , , , ) ( , , , ) .............................. ( , , , ) n n n n m m mnm m m mn a a a a a a a a a a a a A a a aa a a                     10/10/2019 36 10/11/2019 7 VÍ DỤ Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra     3 1 2 3 4 1 2 3 a) (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1 trong R b) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (2,3,1,0) trong R             10/10/2019 37 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT  Tập sinh  Cơ sở  Số chiều 10/10/2019 38 TẬP SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTO 10/10/2019 39 VÍ DỤ 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1,1,1 1,2,1 2, 3,1 2 2 3 x x x x Hệ này có nghiệm với mọi x nên mọi vec tơ x của không gian R3 đều là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M 10/10/2019 40 VÍ DỤ 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 1,1, 1 2, 3,1 3, 4, 0 2 3 3 4 x x x x Hệ này có thể vô nghiệm nên vẫn có vec tơ x của không gian R3 không là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M 10/10/2019 41 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU Hệ vec tơ M gọi là cơ sở của không gian vec tơ V nếu nó độc lập tuyến tính và mọi vec tơ của không gian V đều biểu thị tuyến tính được qua M. 10/10/2019 42 10/11/2019 8 ĐỊNH LÝ Giả sử V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó: 1) Tồn tại vô số cơ sở của không gian vec tơ V 2) Số lượng vec tơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau. Định lý. Trong không gian Rn, một tập hợp gồm đúng n vecto là cơ sở của Rn khi và chỉ khi các vecto này độc lập tuyến tính. 10/10/2019 43 Choose a set of 3 vectors And this set must be linearly independent VÍ DỤ 10/10/2019 44 SỐ CHIỀU CỦA KGVT Số chiều = số lượng vecto trong cơ sở dim(Rn) = n If U  V then dim(U)  dim(V)  dim(subspace)  3 = dim(R3) Dimension is not 4 or more than 4 Dim( ) = 2 = number of leading ones 1 2 -1 1 -3 2 -2 2 0 1 -1 0 1 0 0 1 -3 2 -4 8 -4 2 -4 2 1 0 0 1 -3 2 1 -2 1 0 0 0 10/10/2019 45 VÍ DỤ 10/10/2019 46 CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn Trong Rn ta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở. Đặt: ta gọi đây là cơ sở chính tắc của Rn 1, 0,..., 0 ; 0,1, 0,..., 0 ;...; 0, 0..., 0,1 nE R 1 2 (1,0, ,0) (0,1, ,0) .................. (0, 0,1)n e e e     dim nR n 10/10/2019 47 TÍNH CHẤT Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n 10/10/2019 48 10/11/2019 9 VÍ DỤ A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3 B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3 1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0M 1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1M 10/10/2019 49 HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ Cho hệ vec tơ: Một tập hợp con các vecto của M được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu: + Hệ độc lập tuyến tính + Nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến tính 1 2 , ,..., n M x x x 10/10/2019 50 HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ + Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau + Số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập tuyến tính của M. Ký hiệu là rank(M) 10/10/2019 51 TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau: Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại: 1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi 2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về dạng ma trận bậc thang A’. 3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’. 1 2 , ,..., n M x x x 10/10/2019 52 VÍ DỤ Trong R4 cho hệ vec tơ sau: Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó    1 2 3 4 5 (1,1,2,2),(2,3,6,6),(3,4,8,8),(5,7,14,14),(8,11,22,22) , , , , M M x x x x x   10/10/2019 53 VÍ DỤ Trong R4 cho các hệ vec tơ sau: Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó            1 2 3) (1, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (0,1, 1,2) ) 1,1,1,0 ; 1,2,1,1 ; 2,3,2,1 ; 1,3,1,2            a M b N 10/10/2019 54 10/11/2019 10 TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ 1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ của M với một số khác không. 2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được nhân với một số thì hạng không đổi 3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng không thay đổi. Chú ý. Nếu rank(M)= k0 thì: + Tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M + Mọi tập hợp chứa nhiều hơn k0 vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. 10/10/2019 55 HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT Cho ma trận A: Họ vec tơ hàng của A: Họ vec tơ cột của A: 1 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 1 1 3 1 2 A 1,1,1, 0 ; 1,2,1,1 ; 2, 3,2,1 ; 1, 3,1,2M 1 1 1 0 1 2 1 1 ; ; ; 2 3 2 1 1 3 1 2 N 10/10/2019 56 ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG Định lý. Cho A là ma trận cỡ m x n Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A. Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của A. rank A rank colA rank rowA 10/10/2019 57 VÍ DỤ Tìm hạng của hệ vec tơ sau: Giải. M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng với hạng của ma trận A. 1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0,2M 1 1 1 0 1 1 1 1 2 3 1 1 3 4 0 2 A 10/10/2019 58 VÍ DỤ Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc tuyến tính 1,1, 0 ; 1,2,1 ; , 0,1M m 10/10/2019 59 KGVT HÀNG – CỘT VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN A is a mxn matrix  rank(A)  m, rank(A)  n Row space Column space Row space of a matrix Row(A) = span{row1, row2, , rowm} (rows = vectors) Column space of a matrix Col(A) = span{col1, col2, , coln} dim(row(A)) = dim(col(A)) = rank(A) 10/10/2019 60 10/11/2019 11 VÍ DỤ 10/10/2019 61 Dim(col(A)) = rank(A) 10/10/2019 62 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ thuần nhất Đặt: Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 . 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x A X a x a x a x                    1 2, ,..., R : . 0nnL x x x x A X    10/10/2019 63 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Định lý. L là không gian vec tơ con của Rn và: Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.  dimL n r A  Cơ sở: hệ nghiệm cơ sở của hệ 10/10/2019 64 VÍ DỤ Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình thuần nhất. 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 0 ) 2 4 3 =0 2 +5x =0 2 3 4 0 ) 2 4 2 7 5 0 2 4 2 4 2 0 x x x x a x x x x x x x x x x x b x x x x x x x x x x                            10/10/2019 65 KHÔNG GIAN NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT dim(solution space) = n – r // n: số biến trong hệ, r : hạng của ma trận hệ số 10/10/2019 66 10/11/2019 12 Dim(G) = n – r = 3 – 1 = 2  a basis for G contains 2 vectors  c, e, b impossible In other hand, (1, 0, 0) is not in G  can not be d, f  a VÍ DỤ 10/10/2019 67 Null space of a matrix A: Null(A) = {X :AX = 0} (solution space of a homogeneous system) dim(null(A)) = n – r Image space: Im(A) = {all image AX: X in Rn} Im(A) = col(A) dim(im(A)) = dim(col(A)) = rank(A) NULL SPACE AND IMAGE SPACE OF A MATRIX 10/10/2019 68 VÍ DỤ 10/10/2019 69 TỌA ĐỘ CỦA VECTO  Tọa độ  Đổi tọa độ Ma trận chuyển cơ sở  Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 10/10/2019 70 TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ 10/10/2019 71 VÍ DỤ 10/10/2019 72 10/11/2019 13 TÍNH CHẤT 10/10/2019 73 Ý NGHĨA 10/10/2019 74 VÍ DỤ 10/10/2019 75 ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT 10/10/2019 76 ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ 10/10/2019 77 VÍ DỤ Trong kgvt R3 cho 2 cơ sở: A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2 B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2. Ghi chú. Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3 1 1 2 3 2 1 2 3 1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1 2, 1, 3 ; 1, 0,1 ; 0, 1,2 B e e e B u u u 10/10/2019 78 10/11/2019 14 GIẢI A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2: B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là: 1 2 2 1 0 1 0 1 3 1 2 B B T 2 1 1 22 1 2 1 1 3 2 1 0 3 1 1 0 1 1 0 3 1 2 0 1 2 1 3 5 1 4 2 1 7 1 1 1 0 4 B B B BB B B x T x T x 10/10/2019 79 DOT PRODUCT 𝑢 = (x1, y1, z1, w1), 𝑣 = (x2, y2, z2, w2) vector  vector // dot product: 𝑢𝑣 = x1x2 + y1y2 + z1z2 + w1w2 = a number 𝑢𝑣= 0  orthogonal // trực giao Length of a vector: 𝑣 = 𝑣𝑣 = x12 + y12 + z12 + w12 Distance between 𝑢, 𝑣: Dist(𝑢, 𝑣) = 𝑢 − 𝑣 10/10/2019 80 PROPERTIES 10/10/2019 81 KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’ 1) Cho các ma trận: A) Tìm điều kiện để ma trận A khả nghịch. B) Giải phương trình sau biết detA=-1. 3 4 6 1 2 0 1 1 0 1 3 4 3 7 A B 3XA B 10/10/2019 82 GIẢI BÀI 1 det 12 4 0 6 9 0 3 2 3 det 0 2 A A 1 3.3 3.2 det 1 3 2 1 2 3 4 6 0 1 1 2 3 4 1 2 0 1 3 1 2 2 2 0 3 2 1 3 7 . 3 A A A B X A B vo nghiem 10/10/2019 83 BÀI 2 Tính các định thức: 2 8 6 8 2 8 6 8 2 1 0 0 3 9 5 10 0 9 6 8 0 9 6 8 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 1 4 0 6 1 4 0 6 1 4 0 6 0 1 0 0 18 6 8 6 6 4 2 6 4 18 9 6 8 3 1 2 6 1 1 1 6 0 1 1 36 3 0 1 2 9 0 6 3 0 3 0 0 3 9 4 0 6                                      A A 10/10/2019 84 10/11/2019 15 BÀI 2 Tính các định thức:        3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 3 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1                   x x x x x x B x x x x x x x x x x A x x x x x 10/10/2019 85 BÀI 3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:   1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 4 3 2 3 x x mx m mx x m x x x x m              10/10/2019 86 GIẢI             2 2 1 3 2 2 2 3 1 1 2 2 2 6 1 1 3 1 4 2 2 2 2 4 6 2 3 1 3 1 4 2 2 2 4 8 6 1 2 3 3 1 1 2 4 6 1 1 2 3                             m D m m m m m m D m m m m m m D m m m m m m m D m m m m 10/10/2019 87 GIẢI   2 1 1 2 3 1 1 2 2 2 6 0 2 3 1 1 3 2 0, 0 3 0, 0                        m D m m m m m m m D D m D D D D 10/10/2019 88 BÀI 4 Cho các vec tơ sau: v1 = (2,3,1,2), v2 = (1,2,3,−1), v3 = (7,12,11,1), v4 = (4,m,−3,n). A) Hệ vec tơ { v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? B) Tìm m,n để v4 là tổ hợp tuyến tính của { v1, v2, v3 }. 10/10/2019 89 BÀI 4 A) Phụ thuộc tuyến tính B) m=5, n=20 10/10/2019 90 10/11/2019 16 KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’_K57 1) Cho các ma trận: A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có) B) Giải phương trình sau: 0 1 2 2 4 1 0 3 1 0 4 3 8 3 6 A B .AX B 10/10/2019 91 CÂU 1 1 1 4.5 7 1.5 2 4 1 1.5 2 0.5 4.5 7 1.5 6.5 27 2 4 1 3 14 1. 0 1 2 1 0 3 4 3 8 . . 2 5 2 0 4 1 0 .5 2.5 93 6 A A AX B X A B X 10/10/2019 92 BÀI 2 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C. • Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu, 0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí. • Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu, 0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí. A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và loại chi phí của công ty. B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào? C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4. Hãy tính và giải thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4] 10/10/2019 93 BÀI 2 Ma trận chi phí: Product Product cos cos 0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0.15 0.45 0.25 0.15 0.40 0.30 0.15 t product product t Materia Labor phu phi B l C Nguyen lieu Lao dong Phu phi U product B U product C 10/10/2019 94 BÀI 2 Nếu sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C Product Product cos cos cos cos 0.45 0.40 100 0.25 0.30 200 0.15 0.15 0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0. t product product total t product product total t total t total B C Nguyen lieu Lao dong Phu phi U A U A C C 100 20 125 85 45 0 15 Nguyen lieu Lao dong Phu phi 10/10/2019 95 BÀI 2 Ma trận tích thể hiện chi phí từng loại theo từng quý. Product Product cos 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 cos cos 0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0.15 t product B B B B product time C C C C t