Bài giảng Toán cao cấp A1 - ThS. Đoàn Vương Nguyên

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 1 TOÁN CAO CẤP A1 CAO ĐẲNG PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 45 ----- Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Chương 4. Chuỗi số Chương 5. Đại số tuyến tính Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp (bậc Cao đẳng) – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2 (Dùng cho SV Cao đẳng) –NXB Giáo dục. Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên Tải Slide bài giảng Toán A1 CĐ tại dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm số một biến số §1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục ……………………………. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho ,X Y ⊂ ℝ khác rỗng. Ánh xạ :f X Y→ với ( )x y f x=֏ là một hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: { }( )G y f x x X= = ∈ .
Chương 1. Hàm số một biến số – Nếu 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x= ⇒ = thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. a) Hàm số :f →ℝ ℝ thỏa ( ) 2xy f x= = là đơn ánh. b) Hàm số : [0; )f → +∞ℝ thỏa 2( )f x x= là toàn ánh. c) Hsố : (0; )f +∞ → ℝ thỏa ( ) lnf x x= là song ánh. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− = ∀ ∈ • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− =− ∀ ∈
Chương 1. Hàm số một biến số Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g f G D⊂ . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x= = được gọi là hàm số hợp của f và g. Chú ý ( )( ) ( )( ).f g x g f x≠  VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x= + − − là hàm hợp của 2( ) 2f x x x= − và 2( ) 1g x x= + .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngược • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu 1g f −= , nếu ( ), f x g y y G= ∀ ∈ . Nhận xét – Đồ thị hàm số 1( )y f x−= đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x= qua đường thẳng y x= . VD 3. Cho ( ) 2xf x = thì 1 2 ( ) logf x x− = , mọi x > 0. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 2
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π −   là 1 : [ 1; 1] ; 2 2 f −  π π − → −   arcsinx y x=֏ . VD 4. arcsin 0 0= ; arcsin( 1) 2 π − = − ; 3 arcsin 2 3 π = .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x= có hàm ngược trên [0; ]π là 1 : [ 1; 1] [0; ]f − − → π arccosx y x=֏ . VD 5. arccos 0 2 π = ; arccos( 1)− = π; 3 arccos 2 6 π = ; 1 2 arccos 2 3 − π = . Chú ý arcsin arccos , [ 1; 1]. 2 x x x π + = ∀ ∈ −
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π−     là 1 : ; 2 2 f −  π π→ −     ℝ arctanx y x=֏ . VD 6. arctan 0 0= ; arctan( 1) 4 π − =− ; arctan 3 3 π = . Quy ước. ( ) ( )arctan , arctan . 2 2 π π +∞ = −∞ =−
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x= có hàm ngược trên (0; )π là 1 : (0; )f − → πℝ cotx y arc x=֏ . VD 7. cot0 2 arc π = ; 3 cot( 1) 4 arc π − = ; cot 3 6 arc π = . Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc+∞ = −∞ = π
Chương 1. Hàm số một biến số §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x L− < ε . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = , nếu mọi dãy {xn} trong 0( ; ) \ { }a b x mà 0n x x→ thì lim ( ) n n f x L →∞ = .
Chương 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ , ký hiệu lim ( ) x f x L →+∞ = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( )f x L− < ε . • Tương tự, ký hiệu lim ( ) x f x L →−∞ = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì ( )f x L− < ε . Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi 0 x x→ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x → = +∞ , nếu 0M∀ > lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x M> . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 3
Chương 1. Hàm số một biến số • Tương tự, ký hiệu 0 lim ( ) x x f x → = −∞ , nếu 0M∀ < có trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x M< . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0 x x→ với 0 x x> thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L → + = hoặc 0 lim ( ) x x f x L +→ = . • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0 x x→ với 0 x x< thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L → − = hoặc 0 lim ( ) x x f x L −→ = . Chú ý. 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L − +→ → → = ⇔ = =
Chương 1. Hàm số một biến số 2.2. Tính chất Cho 0 lim ( ) x x f x a → = và 0 lim ( ) x x g x b → = . Khi đó: 1) 0 lim [ . ( )] . x x C f x C a → = (C là hằng số). 2) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x a b → ± = ± . 3) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x ab → = ; 4) 0 ( ) lim , 0 ( )x x f x a b g x b→ = ≠ ; 5) Nếu 0 0 ( ) ( ), ( ; )f x g x x x x≤ ∀ ∈ − ε + ε thì a b≤ . 6) Nếu 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x L → → = = thì 0 lim ( ) x x h x L → = .
Chương 1. Hàm số một biến số Định lý • Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x a v x b → → = > = thì: 0 ( )lim [ ( )] .v x b x x u x a → = VD 1. Tìm giới hạn 2 12 lim 3 x x x x L x − →∞  =   +  . A. 9L = ; B. 4L = ; C. 1L = ; D. 0L = . Các kết quả cần nhớ 1) 0 0 1 1 lim , lim x xx x− +→ → = −∞ = +∞.
Chương 1. Hàm số một biến số 2) Xét 1 1 0 1 1 0 ... lim ... n n n n m mx m m a x a x a L b x b x b − − −→∞ − + + + = + + + , ta có: a) n n a L b = nếu n m= ; b) 0L = nếu n m< ; c) L =∞ nếu n m> . 3) 0 0 sin tan lim lim 1 x x x x x xα → α → α α = = α α . 4) Số e: ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 . x x x x x e x→±∞ →   + = + =   
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2. Tìm giới hạn 2 2 3 lim 1 2 1 x x x L x→∞  = +    + . A. L =∞; B. 3L e= ; C. 2L e= ; D. 1L = . VD 3. Tìm giới hạn ( ) 1 2 4 0 lim 1 tan x x L x +→ = + . A. L =∞; B. 1L = ; C. 4L e= ; D. L e= .
Chương 1. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa • Hàm số ( )xα được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) 0 x x x → α = (x0 có thể là vô cùng). VD 1. ( )3( ) tan sin 1x xα = − là VCB khi 1x −→ ; 2 1 ( ) ln x x β = là VCB khi x →+∞. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 4
Chương 1. Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB 1) Nếu ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ thì ( ) ( )x xα ± β và ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 2) Nếu ( )xα là VCB và ( )xβ bị chận trong lân cận 0 x thì ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 3) 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x a f x a x → = ⇔ = +α , trong đó ( )xα là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x x k x→ α = β . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )xα là VCB cấp cao hơn ( )xβ , ký hiệu ( ) 0( ( ))x xα = β . – Nếu k = ∞, ta nói ( )xα là VCB cấp thấp hơn ( )xβ . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x xα β∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2. • 1 cosx− là VCB cùng cấp với 2x khi 0x → vì: 2 2 20 0 2 sin 1 cos 12lim lim 2 4 2 x x x x x x → → − = =       . • 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x− −∼ khi 1x → .
Chương 1. Hàm số một biến số • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x xα β ⇔ α − β = α = β∼ . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β β γ∼ ∼ thì ( ) ( )x xα γ∼ . 3) Nếu 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β α β∼ ∼ thì 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )x x x xα α β β∼ . 4) Nếu ( ) 0( ( ))x xα = β thì ( ) ( ) ( )x x xα + β β∼ . • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x xα β là tổng các VCB khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x x x→ α β bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 3. Tìm giới hạn 3 4 20 cos 1 lim x x x L x x→ − + = + . Chú ý. Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên. • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x x∼ ; 2) tanx x∼ ; 3) arcsin x x∼ ; 4) arctan x x∼ 5) 2 1 cos 2 x x− ∼ ; 6) 1xe x− ∼ ; 7) ln(1 )x x+ ∼ ; 8) 1 1n xx n + − ∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. VD 6. 2 20 0 2 ( 1) ( 1) lim lim x x x x x x e e e e x x − − → → + − − + − = 20 ( ) lim 0 x x x x→ + − = = (Sai!). VD 4. Tính giới hạn 2 20 ln(1 2 sin ) lim sin .tanx x x L x x→ − = . VD 5. Tính ( ) 2 2 30 sin 1 1 3 tan lim sin 2x x x x L x x→ + − + − = + . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 5
Chương 1. Hàm số một biến số 3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ (x0 có thể là vô cùng). VD 7. 3 cos 1 2 sin x x x + − là VCL khi 0x → ; 3 2 1 cos 4 3 x x x x + − − + là VCL khi x → +∞. Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0 x x→ thì 1 ( )f x là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số b) So sánh các VCL • Định nghĩa Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x f x k g x→ = . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x . – Nếu k =∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 8. • 3 3 x là VCL khác cấp với 3 1 2x x+ khi 0x → vì: 3 3 3 3 30 0 0 3 1 2 lim : 3 lim 3 lim 2x x x x x x x x x x x→ → →   +  = = = ∞   + . • 3 32 1 2x x x+ − ∼ khi x →+∞.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 9. Tính các giới hạn: 3 3 cos 1 lim 3 2x x x A x x→∞ − + = + ; 3 2 7 2 2 1 lim 2 sinx x x B x x →+∞ − + = − . • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x→ bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm số một biến số §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1. Định nghĩa • Số 0 f x D∈ được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu 0 0 0 0 : ( ; ) \ { }x x x x∃ε > ∀ ∈ − ε + ε thì f x D∉ . • Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . • Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi điểm 0 x X∈ . Quy ước • Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x).
Chương 1. Hàm số một biến số 4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x −→ = ( 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x +→ = ). • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ). x x x x f x f x f x − +→ → = = 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại x0 là hàm số liên tục tại x0. • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 6
Chương 1. Hàm số một biến số VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x  + >=  α ≤ . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 0α = ; B. 1 2 α = ; C. 1α = ; D. 3 2 α = . VD 2. Cho hàm số 2 2 ln(cos ) , 0 ( ) arctan 2 2 3, 0 x x f x x x x  ≠=  + α − = . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 17 12 α = ; B. 17 12 α =− ; C. 3 2 α =− ; D. 3 2 α = .
Chương 1. Hàm số một biến số 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm số ( )f x không liên tục tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm gián đoạn của ( )f x . • Nếu tồn tại các giới hạn: 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x − − → = , 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x + + → = nhưng 0 ( )f x− , 0 ( )f x+ và 0 ( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói 0 x là điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, 0 x là điểm gián đoạn loại hai. ……………………………………………………………………………
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. ĐẠO HÀM §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc L’Hospital ……………………………………………………… 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận ( ; )a b của 0 ( ; )x a b∈ . Giới hạn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x∆ → ∆ → +∆ −∆ = ∆ ∆ (nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x′ hay 0 ( )y x′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do 0 x x x∆ = − nên: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x→ − ′ = − Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi 0 0 0 ( ) ( ) ( ).f x f x f x− +′ ′ ′= = b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận phải 0 ( ; )x b của 0 x . Giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x+→ − − (nếu có) được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x+′ . Tương tự, 0 ( )f x−′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f ′= ⇒ = ∞, ( ) (0 )f x x f +′= ⇒ = +∞. c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số y x ∆ →∞ ∆ khi 0x∆ → thì ta nói ( )y f x= có đạo hàm vô cùng tại 0 x . • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. Chú ý Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0 x thì tiếp tuyến tại 0 x của đồ thị ( )y f x= song song với trục Oy .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v′ ′ ′± = ± ; ( )uv u v uv′ ′ ′= + ; 2 , k kv k v v ′  ′− = ∈    ℝ; 2 u u v uv v v ′  ′ ′− =    . 2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x= : ( ) ( ). ( )f x y u u x′ ′ ′= hay ( ) ( ). ( )y x y u u x′ ′ ′= . 3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x= : 1 ( ) ( ) x y y x ′ = ′ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 7
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) ( ) 1.x xα α−′ = α ; 2) ( ) 1 2 x x ′ = ; 3) ( )sin cosx x′ = ; 4) ( )cos sinx x′ = − ; 5) ( ) 2 1 tan cos x x ′ = 6) ( ) 2 1 cot sin x x ′ = − ; 21 tan x= + ;
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 7) ( )x xe e′ = ; 8) ( ) .lnx xa a a′ = ; 9) ( ) 1ln x x ′ = ; 10) ( ) 1log .lna x x a ′ = ; 11) ( ) 2 1 arcsin = 1 x x ′ − ; 12)( ) 2 1 arccos = 1 x x −′ − ; 13) ( ) 2 1 arctan 1 x x ′ = + ; 14) ( ) 2 1 cot 1 arc x x −′ = + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số • Cho hàm số ( )y f x= có phương trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t= = . Giả sử ( )x x t= có hàm số ngược và hàm số ngược này có đạo hàm thì: ( ) ( ) . ( ) t x t yy t y x hay y x t x ′′ ′ ′= = ′ ′ VD 2. Tính ( )y x′ của hàm số cho bởi 2 3 2 1 , 0 4 x t t y t  = − ≠ = . VD 3. Tính (1) x y ′ của hàm số cho bởi 2 2 tx e y t t  = = − .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x′ và ( )f x′ có đạo hàm thì ( )( ) ( )f x f x′′ ′′= là đạo hàm cấp hai của ( )f x . • Tương tự ta có: ( )( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x− ′= là đạo hàm cấp n của ( )f x . VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x= . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f = ; B. (6)(0) 32f =− ; C. (6)(0) 16f =− ; D. (6)(0) 0f = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x += − . VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2 1 3 4 y x x = − − .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình ( , ) 0F x y = (*). Nếu ( )y y x= là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0 x y x F F y′ ′ ′+ = . Vậy , 0.xx y y F y F F ′ ′ ′= − ≠ ′ ( ) x y x y′ ′= được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y x . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 8
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Ta có thể xem hàm ẩn ( )y x như hàm hợp ( )u x và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp. VD 10. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 3 2 4( 1) 0y x y x+ + + = . Tính ( )y x′ . VD 8. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: ln 0xxy e y− + = (*). Tính (0)y ′ . VD 7. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi 0x yxy e e− + = . Tính ( )y x′ . VD 9. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 2 2ln arctan y x y x + = . Tính ( )y x′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp một • Hàm số ( )y f x= được gọi là khả vi tại 0 f x D∈ nếu 0 0 0 ( ) ( ) ( )f x f x x f x∆ = +∆ − có thể biểu diễn dưới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ với A là hằng số và 0( )x∆ là VCB khi 0x∆ → . Khi đó, đại lượng .A x∆ được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x= tại x0. Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x . Nhận xét • 0 ( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ 0 ( ) 0( )f x x A x x ∆ ∆ ⇒ = + ∆ ∆
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 00 0 ( ) ( )x f x A f x A x ∆ →∆ ′⇒ → ⇒ = ∆ . 0 0 ( ) ( ).df x f x x′⇒ = ∆ hay ( ) ( ).df x f x x′= ∆ . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . Vậy ( ) ( ) .df x f x dx hay dy y dx′ ′= = VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e= tại 0 1x = − . VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy = . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x= + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao • Giả sử ( )y f x= có