Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – Cơ sở của không gian Rn

Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn 18 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 BÀI 2 CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ N CHIỀU – CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN Rn Hướng dẫn học Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:  Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn.  Đọc tài liệu: 1. Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012. 2. Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê. 3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục. 4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc. Graw-Hill, Inc. 5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.  Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email.  Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học. Nội dung  Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính;  Sự phụ thuộc tuyến tính;  Cơ sở của không gian vectơ n chiều. Mục tiêu  Sinh viên nắm được các khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính một vectơ qua một hệ vectơ.  Nắm được khái niệm sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ, khái niệm cơ sở của không gian.  Ngoài ra sinh viên biết cách xác định một hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, một vectơ có biểu diễn tuyến tính qua một hệ vectơ hay không.  Xác định được một hệ vectơ có là cơ sở của không gian Rn hay không, xác định được tọa độ của một vectơ trong một cơ sở. Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian véctơ n chiều – cơ sở của không gian Rn TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 19 Tình huống dẫn nhập Biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ Cho các vectơ: X1 = ( 2, –3, 4 ) X2 = ( 3, 1, –5) X3 = (–1, 4, 2 ) X = (–1, 0 , 3) Tìm 3 số x, y, z sao cho: X = x.X1 + y.X2 +z.X3 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn 20 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 2.1. Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính 2.1.1. Khái niệm tổ hợp tuyến tính Trong không gian Rn (n cố định) cho m vectơ X1, X2, , Xm (2.1) Lấy m số bất kỳ α1, α2, , αm và lập tổng: α1X1 + α2X2 + + αmXm (2.2) Định nghĩa: Mỗi tổng (2.2), trong đó α1, α2, , αm là các số thực cho trước, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ (2.1). Các số αi (i = 1, 2,, m) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính đó. Từ các vectơ (2.1) ta có thể lập được vô số các tổ hợp tuyến tính (mỗi bộ hệ số α1, α2,, αm cho tương ứng một tổ hợp tuyến tính của chúng) và mỗi tổ hợp tuyến tính của các vectơ (2.1) là một vectơ n chiều. 2.1.2. Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X  Rn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, , Xm khi và chỉ khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1, X2, , Xm bằng vectơ X, tức là tồn tại các số thực α1, α2, , αm sao cho: X = α1X1 + α2X2 + + αmXm (2.3) Đặc biệt, nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua một vectơ Y (X = αY) thì ta nói vectơ X tỷ lệ với vectơ Y. Ví dụ: Với X1, X2, , Xm là các vectơ n chiều bất kỳ ta luôn có: On = 0X1 + 0X2 + + 0Xm Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng không) được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường của các vectơ X1, X2,, Xm. Như vậy, trong không gian Rn vectơ không luôn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ bất kỳ (ít nhất bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường). Định lý sau đây cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu: Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, , Xm và mỗi vectơ Xi ( i = 1, 2, , m) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1, Y2, , Yp thì X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1, Y2, , Yp. 2.1.3. Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính Cho hệ phương trình tuyến tính: 11 1 12 1n n 1 21 1 22 2n n 2 m1 1 m2 mn n m a x a ... a x b a x a ... a x b ............................... a x a ... a x b             (2.4) Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian véctơ n chiều – cơ sở của không gian Rn TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 21 Ma trận mở rộng của hệ phương trình này là: 11 12 1n 1 21 22 2n 2 m1 m2 mn m a a ... a b a a ... a b A ... ... ... ... ... a a ... a b         Ma trận mở rộng có n + 1 cột, trong đó cột thứ j (j = 1, 2,, n) là cột hệ số của ẩn xj, còn cột cuối cùng là cột số hạng tự do. Ta gọi Acj là cột hệ số của ẩn xj (cột thứ j của mạ trận hệ số) và B là cột số hạng tự do: 1j 1 2j 2c j mmj a b a b A = (j = 1, 2,..., n); B = ba                      Nếu xem mỗi cột trên là một vectơ m chiều, thông qua phép toán vectơ, ta có thể biểu diễn hệ phương trình (2.4) dưới dạng tương đương như sau: 11 12 1n 1 22 22 2n 2 1 2 n m1 m2 mn m a a a b a a a b x + x + ... + x = ... ... ... ... a a a b                                            (2.5) C C C 1 1 2 2 n nA A A Bx x x    Ở dạng (2.5) vấn đề tìm nghiệm của hệ phương trình (2.4) tương đương với việc tìm bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số. Mỗi nghiệm của hệ phương trình (2.5) là một bộ số thực (α1, α2, , αn) mà khi gán x1 = α1, x2 = α2, , xn = αn, tổ hợp tuyến tính ở vế trái của phương trình (2.5) đúng bằng vectơ B. Như vậy:  Hệ phương trình tuyến tính (2.4) có nghiệm khi và chỉ khi cột số hạng tự do. B biểu diễn tuyến tính qua các cột C C C1 2 nA ,A , ,A của ma trận hệ số.  Mỗi bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số là một nghiệm của hệ phương trình (2.4). Để biểu diễn tuyến tính một vectơ n chiều X qua các vectơ n chiều X1, X2, , Xm cho trước, ta phải tìm bộ số (α1, α2, , αm) sao cho: X = α1X1 + α2X2 + + αmXm Điều này có thể thực hiện thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính có cột số hạng tự do là vectơ X và các cột của ma trận hệ số là các vectơ X1, X2, , Xm. Ma trận mở rộng của hệ phương trình đó là (ta viết mỗi vectơ thành một cột): A = [ X1 X2 Xm X] Ví dụ: Hãy biểu diễn tuyến tính vectơ X = (16, 7, −1) qua các vectơ X1 = (1, −1, 3), X2 = (2, 1, 1), X3 = ( 5, 3 , −1). Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn 22 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Giải: Bộ hệ số (α1, α2, α3) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ X1, X2, X3 đã cho là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng như sau: 1 2 5 16 A = 1 1 3 7 3 1 1 1          Chú ý rằng ma trận A có cột thứ nhất là vectơ X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba là vectơ X3 và cột số hạng tự do là vectơ X. Quá trình khử ẩn được thực hiện trên ma trận mở rộng như sau: A 1 1 2 5 16 1 2 5 16 = 1 1 3 7 0 3 8 23 3 1 1 1 0 5 16 49 2 5 16 1 2 5 16 0 3 8 23 0 3 8 23 0 15 48 147 0 0 8 32                                               Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác 1 2 3 2 3 3 α + 2α + 5α = 16 3α + 8α = 23 8α = 32    Giải hệ phương trình này ta tìm được: α1 = 2, α2 = –3 ,α3 = 4. Như vậy, vectơ X biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ X1, X2, X3: X = 2X1 –3X2 + 4X3. 2.2. Sự phụ thuộc tuyến tính 2.2.1. Khái niệm phụ thuộc tuyến tính Cho m vectơ n chiều: X1, X2, , Xm (2.6) Khi xem xét quan hệ giữa các vectơ (2.6) ta gọi các vectơ đó là một hệ vectơ. Định nghĩa: Ta nói hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại m số thực k1, k2, ,km, trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho: k1X1 + k2X2 + + kmXm = On (2.7) Ngược lại nếu đẳng thức (2.7) chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0 (k1 = k2 = = km = 0) thì ta nói hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính. Khái niệm phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ có thể nhìn nhận dưới góc độ biểu diễn tuyến tính vectơ không On qua các vectơ của hệ đó. Như ta đã biết, vectơ On biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của một hệ vectơ n chiều bất kỳ bằng tổ hợp tuyến tính Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian véctơ n chiều – cơ sở của không gian Rn TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 23 tầm thường (tổ hợp tuyến tính với tất cả các hệ số bằng 0). Câu hỏi đặt ra là: ngoài tổ hợp tuyến tính tầm thường của các vectơ (2.6) còn tổ hợp tuyến tính nào khác bằng vectơ On hay không? Nếu câu trả lời là có thì hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính. Nếu câu trả lời là không, tức là tổ hợp tuyến tính tầm thường là tổ hợp tuyến tính duy nhất bằng On, thì hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính. 2.2.2. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ Để xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ (2.6) ta xem hệ thức (2.7) như một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất viết dưới dạng vectơ, với các ẩn số k1, k2, , km. Ma trận hệ số của hệ phương trình đó có các cột theo thứ tự là các vectơ n chiều X1, X2, , Xm viết dưới dạng cột. Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (2.7) chỉ có hai khả năng xảy ra: (1) Hệ có nghiệm duy nhất k1 = k2 = = km = 0. Trong trường hợp này hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính. (2) Hệ có vô số nghiệm, do đó tồn tại nghiệm không tầm thường (k1, k2,, km). Trong trường hợp này hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính. Như vậy, muốn biết hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm như sau: Lập ma trận A với các cột là các vectơ X1, X2, , Xm viết dưới dạng cột; Áp dụng thủ tục khử ẩn liên tiếp đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số là ma trận A. Hệ vectơ độc lập tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang. Ví dụ 1: Trong không gian Rn xét hệ vectơ: E1 = (1, 0, , 0) E2 = (0, 1, , 0) . En = (0, 0, , 1) Các vectơ E1, E2, , En được gọi là các vectơ đơn vị của không gian Rn. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số các các cột theo thứ tự các vectơ E1, E2, , En ( viết các vectơ dưới dạng cột): 1 0 ... 0 0 1 ... 0 A = ... ... ... ... 0 0 ... 1         Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này đã sẵn ở dạng tam giác, do đó hệ vectơ đơn vị độc lập tuyến tính. Ví dụ 2: Cho hệ 3 vectơ 4 chiều X1 = (1, 3, –2, 5), X2 = ( 3, –2, 1, 4), X3 = (–1, 8, –5, 6). Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn 24 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Muốn biết hệ vectơ này phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3 ẩn số k1, k2, k3, với ma trận hệ số có cột thứ nhất là vectơ X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba là vectơ X3: 1 3 1 3 2 8 A = 2 1 5 5 4 6            Phương pháp khử ẩn liên tiếp được thực hiện trên ma trận hệ số như sau: 1 3 1 1 3 1 0 11 11 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 11 11 A 0 7 7 0 11 11                                       Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang: 1 2 3 2 3 k + 3k k = 0 k + k = 0   Do đó hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 3: Xét hệ 3 vectơ: X1 = (–2, 2, 3, 4) X2 = (3, –2, 3, 5) X3 = (4, 1, 6, –3) Hệ thức k1X1 + k2X2 + k3X3 = O4 cho tương ứng với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là: 2 3 4 2 2 1 A = 3 3 6 4 5 3           Biến đổi khử ẩn: 2 3 4 2 3 4 2 2 1 0 1 5 A 6 6 12 0 15 24 4 5 3 0 11 5 2 3 4 2 3 4 0 1 5 0 1 5 0 0 51 0 0 51 0 0 50 0 0 0                                            Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác, do đó hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính. Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian véctơ n chiều – cơ sở của không gian Rn TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 25 2.2.3. Các định lí cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính Định lý 1: Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại. Định lý này áp dụng cho các hệ có từ hai vectơ trở lên. Theo định lý này thì một hệ gồm hai vectơ X, Y phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ. Vì vectơ On biểu diễn tuyến tính qua các vectơ bất kỳ nên từ đinh lý này suy ra: Hệ quả: Mọi hệ việc vectơ n chiều chứa vectơ On, đều phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều không chứa vectơ không. Chú ý: Trường hợp đặc biệt, khi m = 1, hệ một vectơ X phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi X = On, độc lập tuyến tính khi và chỉ khi X ≠ On. Định lý 2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính. Định lý 2 kéo theo các kết luận sau đây: Hệ quả: 1. Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó độc lập tuyến tính (hệ vectơ độc lập tuyến tính không thể có hệ con phụ thuộc tuyến tính). 2. Nếu trong một hệ vectơ có hai vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính (hai vectơ tỷ lệ tạo thành một hệ con phụ thuộc tuyến tính). Định lý 3: Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, trong không gian Rn mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều có số vectơ nhỏ hơn hoặc bằng n. 2.3. Cơ sở của không gian vectơ n chiều 2.3.1. Khái niệm cơ sở của không gian vectơ n chiều Định nghĩa: Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính và có số vectơ đúng bằng n được gọi là một cơ sở của không gian Rn. Ví dụ 1: Hệ n vectơ đơn vị n chiều E1, E2, , En mà ta đã nói đến ở phần trước là một cơ sở của không gian Rn bởi vì nó độc lập tuyến tính và có số vectơ đúng bằng n. Cơ sở này được gọi là cơ sở đơn vị hay cơ sở tự nhiên của không gian Rn. Ví dụ 2: Xét hệ vectơ 3 chiều: P1 = (1, 2, 3), P2 = (1, 3, –2), P3 = (2, 3, –1). Hệ vectơ này có số vectơ đúng bằng 3. Bạn hãy tự kiểm tra để khẳng định đây là một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Theo định nghĩa thì hệ vectơ P1, P2, P3 đã cho là một cơ sở của không gian vec tơ R3. Theo định lý đã đề cập trước đây thì trong không gian vectơ n chiều mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều có số vectơ không vượt quá n. Như vậy, cơ sở của không gian vectơ n chiều là một hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại. Cơ sở của không gian Rn có tính chất quan trọng sau đây: Định lý: Nếu cho trước một cơ sở của không gian Rn P1, P2, , Pn Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn 26 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Thì mọi vectơ X  Rn đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng: X = α1 + α2P2 + + αnPn Nói cách khác, mọi vectơ X của không gian Rn đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của cơ sở và bộ hệ số (α1, α2,,αn) biểu diễn tuyến tính được xác định một cách duy nhất. 2.3.2. Tọa độ của vectơ trong một cơ sở 2.3.2.1. Khái niệm tọa độ của vectơ Cơ sở của không gian Rn có vai trò giống như hệ tọa độ trong không gian hình học. Theo định lý nêu trên, nếu cho trước một cơ sở {P1, P2,, Pn}của không gian Rn thì mỗi vectơ X  Rn cho tương ứng duy nhất một bộ n số thực có thứ tự (α1, α2,, αn) thỏa mãn hệ thức: X = α1P1 + α2P2 + + αnPn Định nghĩa: Bộ hệ số (α1, α2, ,αn) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ của cơ sở {P1, P2, , Pn} được gọi là tọa độ của vectơ X trong cơ sở đó. Chú ý: Bản thân vectơ X = (x1, x2, , xn) là tọa độ của nó trong cơ sở đơn vị: E1 = (1, 0, , 0) E2 = (0, 1, , 0) . En = (0, 0, , 1) Bạn dễ dàng kiểm tra hệ thức: X = x1E1 + x2E2 + + xnEn 2.3.2.2. Tìm tọa độ của một vectơ trong một cơ sở cho trước Để tìm tọa độ của vectơ X  n trong cơ sở (2.3) ta xem hệ thức (2.4) như dạng vectơ của một hệ phương trình tuyến tính n ẩn số α1, α2, ,αn. Hệ phương trình đó có ma trận mở rộng là ma trận:  1 2 nA P P P X  Trong đó các vectơ P1, P2,, Pn, X được xếp thành các cột. Nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính với ma trận mở rộng A chính là tọa độ của vectơ X. Ví dụ 1: Tìm tọa độ của vectơ X = (3, –1) trong cơ sở sau của không gian R2. P1 = (2, 5), P2 = (4, 1) Giải: Hai vectơ P1, P2 không tỷ lệ, do đó chúng độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của không gian R2. Tọa độ của vectơ X = (3, –1) là bộ hai số thực (α1, α2) thỏa mãn hệ thức: X = α1P1 + α2P2 Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian véctơ n chiều – cơ sở của không gian Rn TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 27 (α1, α2) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng là: 1 2 2 4 3 A = [P P X] = 5 1 1     Giải hệ phương trình này theo phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được: 1 2 7 17α = , α = 18 18  Tọa độ của vectơ X = (3, –1) trong cơ sở đã cho là: 7 17,18 18     Ví dụ 2: Tìm tọa độ của vectơ X = (2, –3, 17) trong cơ sở sau của không gian R3 1 2 3 P = (1, 2, 3) P = (1, 3, 2) P = (2, 3, 1)    Giải: Ta phải tìm bộ ba số thực (α1, α2, α3) sao cho: X = α1P1 + α2P2 + α3P3 Bài toán này quy về việc giải hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn số α1, α2, α3 với ma trận mở rộng có các cột là các vectơ P1, P2, P3, X (mỗi vectơ được xếp thành một cột): 1 2 3 1 1 2 2 A [P P P X] = 2 3 3 3 3 2 1 17         Giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được: α1 = 3, α2 = –5, α3 = 2 Tọa độ của vectơ X = (2, –3, 17) trong cở sở đó là: (3, –5, 2) Ví dụ 3: Tìm tọa độ của vectơ X = (3, –2, 4) trong cở sở sau đây của không gian R3 1 2 3 P = (1, 1, 5) P = (3, 2, 1) P = (5, 3, 6)    Giải: Hệ 3 vectơ P1, P2, P3 độc lập tuyến tính ( bạn hãy tự kiểm tra), do đó nó là một cơ sở của không gian R3. Tọa độ của vectơ X là bộ ba số thực (α1, α2, α3) thỏa mãn hệ thức: X = α1P1 + α2P2 + α3P3 Đây là dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn số α1, α2, α3 với ma trận mở rộng có các cột là các vectơ P1, P2, P3, X (mỗi vectơ được xếp thành một cột): 1 2 3 1 3 5 3 A= [P P P X] = 1 2 3 2 5 1 6 4        Giải hệ phương trình này bằng cách phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được: α1 = 57, α2 = – 133, α3 = 69 Tọa độ của vectơ X = (3, –2, 4) trong cơ sở đó là: (57, –133,69). Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn 28 TXTOCB02_Bai2_v1.0014104226 Tóm lược cuối bài  Từ các vectơ X1, X2, , Xm ta có thể lập được vô số các tổ hợp tuyến tính của chúng.  Phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu.  Để xét một vectơ n chiều X có biểu diễn tuyến tính qua các vectơ n chiều X1, X2, , Xm cho trước hay không, ta xét đẳng thức: X = α1X1 + α2X2 + + αmXm. Giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng có ma trận mở rộng là các vectơ X1 X2 Xm X viết theo cột. Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ đó. Nếu hệ phương trình có nghiệm, tìm ra α1, α2, , αm. Suy ra X = α1X1 + α2X2 + + αmXm là cách biểu diễn tuyến tính của X qua X1, X2, , Xm.  Để xác định hệ vectơ X1, X2, , Xm phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm như sau: Xét hệ phương trình thuần nhất có ma trận hệ số là A với các cột là các vectơ X1, X2, , Xm. Biến đổi trên ma trận A. Hệ vectơ độc lập tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang.  Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại.  Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính.  Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính.  Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính và có số vectơ đúng bằng n được gọi là một cơ sở của không gian Rn.  Việc tìm tọa độ của một vectơ tron