Cần nhanh chóng đưa loại toán gắn với thực tiễn vào nội dung giảng dạy ở Việt Nam

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0033 Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 2, pp. 76-82 This paper is available online at CẦN NHANH CHÓNG ĐƯA LOẠI TOÁN GẮN VỚI THỰC TIỄN VÀO NỘI DUNG GIẢNG DẠY Ở VIỆT NAM Tô Văn Ban Khoa Công nghệ thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự Tóm tắt. Bài viết phân tích tình trạng thiếu hụt loại bài toán gắn với các vấn đề liên quan đến thực tiễn trong các giáo trình toán hiện nay ở Việt Nam. Một quy trình hợp lí để vấn đề định hướng thực tiễn có vị trí xứng đáng trong giảng dạy toán học, nhất là ở các trường kĩ thuật được đề xuất. Bài báo đưa ra một số kinh nghiệm, cũng như một vài khuyến nghị như đưa bài tập định hướng thực tiễn vào nội dung thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Từ khóa: Định hướng thực tiễn, giải quyết vấn đề, liên ngành, cải tiến giáo trình. 1. Mở đầu Cải tiến giảng dạy, học tập theo các phương pháp tiên tiến đã được nhiều tác giả nghiên cứu và đang hình thành một trào lưu [3-8,15]. Tuy nhiên, về tổng thể, các nghiên cứu còn chưa đầy đủ, nhất là chưa triển khai áp dụng được bao nhiêu. Chúng ta thấy sự thiếu hụt rõ ràng nhất ở loại toán có gắn với các vấn đề liên quan đến thực tiễn. Trên thế giới, loại toán này có thể tìm thấy ở khắp nơi thì ở ta còn như một của hiếm. Sách giáo khoa (SGK) dường như chưa có chỗ cho những bài toán này. “SGK cũng như thực tế giảng dạy học toán ở trường phổ thông “nhìn chung mới chỉ quan tâm tới một số bài toán cực trị một cách không thường xuyên, trong đó rất ít các bài toán cực trị là các tình huống liên môn hay thực tế, dù chỉ là những tình huống đơn giản” [1]. Theo kiểm đếm của chúng tôi, trong số 1812 bài tập của SGK toán PTTH chương trình nâng cao, chỉ có 120 (chiểm 6,6%) bài tập liên quan đến thực tiễn, mà chủ yếu lại là những thực tiễn đơn giản. Tình hình còn tệ hơn ở các cuốn giáo trình toán cho đại học. Trong số 549 bài tập của tài liệu [9], sách toán được nhiều trường sử dụng cho sinh viên kĩ thuật, chỉ có 20 (3,6%) bài tập liên quan đến thực tiễn, mà phần nhiều là tính kích thước hình. Có giáo trình xác suất thống kê cho các ngành nông, lâm... được chỉnh sửa từ giáo trình cùng loại cho trường kĩ thuật. Với một học liệu như vậy, khó có thể lôi cuốn mảng đông học sinh, sinh viên yêu thích toán. Thấy một loạt công thức, phương trình, định lí khô khan thì họ hoặc chán không học, hoặc nảy sinh tâm lí sợ, ghét toán. Có em còn cực đoan hơn khi nhận định: “Có lẽ đó là lí do để các bạn em thấy tích phân, đạo hàm. . . chỉ là những thứ tự nhiên nhảy vào SGK... Và rốt cục, sau 12 năm học, với nhiều bạn, toán chỉ là môn giúp người ta. . . đếm tiền chứ không phải là một môn giúp con người có những suy luận logic trong đời sống”. Đánh giá tình hình giáo dục gần đây, Văn kiện Hội nghị lần thứ sáu Ban Chấp hành Trung ương Khóa XI đã khẳng định “. . . nội dung giáo dục còn nặng về lí thuyết, có mặt xa rời thực tế. . . Phương pháp dạy và học chậm đổi mới...”. Bài viết này nhấn mạnh lại vai trò của loại toán có định hướng thực tiễn, đồng thời đề xuất một số biện pháp để loại toán đó được áp dụng rộng rãi trong giảng dạy toán học ở các trường đại Ngày nhận bài: 15/08/2014. Ngày nhận đăng: 12/03/2015. Liên hệ: Tô Văn Ban, e-mail: tvban_hvkt@yahoo.com.vn. 76 Cần nhanh chóng đưa loại toán gắn với thực tiễn vào nội dung giảng dạy ở Việt Nam... học nước ta, nhất là các trường đại học kĩ thuật, bao gồm các vấn đề liên quan đến biên soạn giáo trình, tổ chức giảng dạy, cơ cấu đề thi. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Đánh giá vai trò của loại toán định hướng thực tiễn Nhiều học giả và nhà sư phạm dành sự quan tâm đặc biệt đến vai trò của loại toán định hướng thực tiễn. Theo thứ tự mở rộng dần của khái niệm này đó là: (a) bài toán có dẫn giải (story problems), (b) bài toán liên quan đến thế giới thực (real word problems), (c) giảng dạy, học tập theo phương pháp giải quyết vấn đề, (d) xem xét mô hình toán học. Từ thuở giao thời giữa thế kỉ 19 - 20, John Dewey, nhà tâm lí học và nhà giáo dục lừng danh của Hoa Kì đã đề ra chủ trương thầy và trò cùng chuyển động, cùng “giải quyết vấn đề”. Ông là người đầu tiên chống lại một kiểu nhà trường, ở đó học sinh nhại lại những lời giảng của thầy giáo. "học sinh đến trường không phải để tiếp thu những tri thức đã được ghi vào trong một chương trình mà rồi có lẽ sẽ không bao giờ dùng đến, mà chính là để giải quyết các vấn đề, giải quyết các "bài toán" của nó, những thực tế mà nó gặp hằng ngày”. Nhà tư tưởng khai sáng ở Nhật Bản Fukuzawa Yukichi (1835-1901) nói: “Dù có nhồi nhét đầy kiến thức trong đầu nhưng không thể ứng dụng vào thực tế thì cũng vô nghĩa mà thôi”. Theo [12], một trong những tiêu chuẩn của cuốn giáo trình khoa học là “Kiến thức lí thuyết được gắn liền với áp dụng thực tiễn, từ đó đưa đến ý nghĩa cũng như đảm bảo tính vững chắc của lí thuyết”. Đối với toán học, có thể kể ra công trình khởi đầu của Polia “How to solve problems” (1945) - ở đó nêu lên các phương pháp tiệm cận để giải quyết bài toán, hay hướng dẫn dạy cách giải bài toán, những suy luận có lí và thúc đẩy quá trình siêu nhận thức [11] và gần đây hơn, mở rộng giải quyết vấn đề sang nghiên cứu về mô hình toán học [10,13]. V.V. Firxov đã khẳng định: “Việc giảng dạy toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học Toán học. Điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế”. Rời ghế nhà trường đi vào cuộc sống, người ta thường liên tưởng đến những gì đã học được. “Mặc dù họ viện dẫn ra những kiến thức học tập ở trường, những nhân viên đó làm điều này một cách linh hoạt và sáng tạo, thường là tạo ra hoặc tái tạo những kiến thức toán học phù hợp với tình huống của vấn đề hiện hữu, không giống như cách mà họ đã trải qua toán học như những ngày họ học ở trường” [13]. Như vậy, học tập theo lối giải quyết vấn đề có ý nghĩa lớn lao. Ngoài niềm vui của người biết tìm kiếm và sáng tạo, họ sẽ có khả năng chủ động tự khám phá kiến thức và giải pháp cho những bài toán mà mình có thể gặp phải trong cuộc đời. Mặt khác, không có “hiệu ứng phụ” cho học tập theo phương pháp giải quyết vấn đề. Không có bằng chứng cho thấy chúng ta phải lo lắng rằng sinh viên bị mất đi những kĩ năng cơ bản của họ nếu giáo viên (GV) tập trung vào phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề toán học. Chúng ta cũng không ngại bài toán thực tiễn làm mất đi sự chặt chẽ, mất đi vẻ đẹp của toán học. Không một mô hình nào chứa đựng được hết được mọi dáng vẻ của thực tiễn. Mô hình nhiều lắm là giải thích được phần cốt lõi của thế giới thực. Einstein đã nói “As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain, and as far as they are certain, they do not refer to reality”, tạm dịch là: Đụng chạm đến thực tế, toán học không còn chặt chẽ - càng chặt chẽ, toán học càng xa rời thực tế. Trong bối cảnh phát triển mạnh của kĩ thuật và cạnh tranh toàn cầu, giải quyết vấn đề cần quan tâm đặc biệt đến những yếu tố có tính chất liên ngành [14]. Cần cho sinh viên tiếp xúc với những bài toán không nhất thiết chỉ liên quan đến ngành, nghề của họ. Chẳng hạn, bài toán liên quan đến mật độ sao, đến chuyển động của các hành tinh không chỉ dành cho sinh viên hàng không vũ trụ hay điều khiển; bài toán tối ưu lưu lượng dòng chảy đến các turbin nước không chỉ dành cho 77 Tô Văn Ban sinh viên ngành điện. Dĩ nhiên, kiến thức sát với ngành, nghề là tốt. Song, con người cần tri thức rất rộng, những kinh nghiệm của giải quyết vấn đề ngày càng đòi hỏi những tình huống và cách tiếp cận mang tính liên ngành. 2.2. Cải tiến giáo trình theo hướng căn bản, thiết thực, tăng ví dụ, bài tập gắn với thực tiễn Chúng tôi chủ trương tăng đáng kể tỉ lệ các ví dụ, bài tập gắn với thực tiễn, có mặt ở nhiều ngành, nghề khác nhau, ở nhiều chuyên đề toán học khác nhau và ở nhiều cấp độ khó dễ khác nhau. Bài toán cần có mức thách đố nhất định, không nên chỉ dùng thực tiễn tầm thường. Nếu ví dụ của xác suất thống kê xoay quanh tung súc sắc thì học sinh nhầm tưởng đây chỉ là môn học của các trò chơi may rủi. Nếu ví dụ áp dụng của phép tính vi phân xoay quanh tính độ dài, diện tích, thể tích thì người học sẽ cho rằng, giải tích là môn tính kích thước hình. Giá như có những ví dụ áp dụng đa dạng, cựu sinh viên của chúng ta không phải kêu than: “Những thứ em học như tích phân, vi phân hàm số, ứng dụng tích phân, phương trình vi phân, đa tạp, hình học Riemann... cao siêu quá, nên em không nhìn thấy những ứng dụng dù nho nhỏ để hiểu sâu và thấy hết được cái hay, cái đẹp của nó. . . học sinh, sinh viên hỏi em, học toán ở trường đại học có tác dụng gì?”. Có những ví dụ tưởng chừng là thuần túy lí thuyết, nếu chúng ta có nền kiến thức kĩ thuật, vẫn có thể nhìn nó dưới ngôn ngữ của ứng dụng [3]. Chẳng hạn, bài toán xét phân bố của phép biến đổi cosin của phân bố đều Y = cosX, X có phân bố đều trên đoạn [0; 2pi]. Đây là bài toán có tính chất toán học thuần túy. Song nếu giáo viên có những kiến thức về Vật lí, đọc một số tài liệu về kĩ thuật điện, sẽ có thể hướng dẫn cho sinh viên gắn X với góc pha của cuộn dây quay đều trong một từ trường, Y là dòng điện phát sinh thì bài toán đã có một diện mạo mới, vị trí bài tập được khẳng định, tình yêu môn học được củng cố. Xét các bài tập thông thường và có áp dụng thực tế ở Bảng 1. Bảng 1. Một số bài toán toán học thuần túy và bài toán thực tiễn liên quan Toán học thuần túy Gắn với thực tế Tìm cực trị hàm số E(v) = v3 v − a , (a < v) Khi cá bơi với vận tốc tương đối v so với nước, năng lượng sản ra của nó trên một đơn vị thời gian là v3. Người ta thấy rằng cá di cư cố gắng cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một khoảng cách nhất định. Nếu vận tốc dòng nước là a và cá bơi ngược dòng nước (a < v) thì thời gian cần bơi được khoảng cách L là L v − a và năng lượng sản ra là E(v) = qLv3 v − a , trong đó q là hằng số tỉ lệ. Tìm giá trị v làm cực tiểu E. (Kết quả này được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm: Cá di cư bơi ngược dòng với vận tốc gấp rưỡi vận tốc nước). Tính tích phân 1∫ 0 ln(1− at)dt, a≪ 1 Giả sử khối lượng (kể cả nhiên liệu) ban đầu của tên lửa là m, tốc độ tiêu hao nhiên liệu là r, và luồng khí phụt ra có vận tốc tương đối (với tên lửa) là vk. Vận tốc của tên lửa phóng thẳng đứng tại thời điểm t được mô hình hóa bởi phương trình v(t) = −gt− vk ln(1− rt/m) trong đó g là gia tốc trọng trường, t không quá lớn. Nếu g=9,8m/s2, m=30000kg, r=160kg/s, vk = 3000m/s tìm chiều cao tên lửa sau khi phóng được 1 phút. Đáp số: 14842 m. 78 Cần nhanh chóng đưa loại toán gắn với thực tiễn vào nội dung giảng dạy ở Việt Nam... (a) Tìm a để max 0≤x≤40 ax(40− x) = 3 (b) Tính tích phân 8∫ 0 3 16 t(8− t)dt (c) Giải phương trình T∫ 0 v(t)dt = 40 tanα biết rằng T = 8 cosα và v(t) = 3 cos α 16 (8t− t2 cos α) Nếu bơi ra giữa dòng sông, ta cảm thấy nước chảy ngày càng xiết. Thực tế, nước chảy trong đoạn sông thẳng thường chảy nhanh nhất ở giữa, và tốc độ chậm gần như bằng không ở ven bờ. Xét một đoạn sông dài thẳng chảy theo hướng Bắc - Nam có hai bờ song song cách nhau 40m. Nếu tốc độ nước ở giữa dòng là 3m/s, người ta thấy có thể dùng hàm bậc hai f(x) = ax(40 − x) làm mô hình cho tốc độ của các phần tử nước chảy tính từ bờ Tây. a. Tìm hằng số a. Một chiếc thuyền xuất phát tại một điểm ở bờ Tây với vận tốc cố định 5m/s và duy trì hướng mũi thuyền vuông góc với bờ sông. Con thuyền sẽ bị trôi đi bao xa so với dự kiến khi cập bờ đối diện? b. Giả sử chúng ta muốn hướng con thuyền cập bến tại điểm trên bờ Đông đúng vào chỗ đối diện. Nếu chúng ta duy trì tốc độ hằng số 5m/s và hướng mũi thuyền không đổi theo góc α lệch lên Bắc so với hướng Tây-Đông, ta phải chọn α thế nào? Đáp số: 16m,≈ 23035′. Tính tích phân M = k ∞∫ 0 te−ktdt, (k > 0) Khối lượng của chất phóng xạ tại thời điểm t được tính m(t) = m(0)e−kt, trong đóm(0) là khối lượng ban đầu. Từ đó, thời gian sống trung bình của một nguyên tử chất phóng xạ là M = k ∫∞ 0 te−ktdt. Tìm thời gian sống trung bình của nguyên tử với k = 0.000121. Đáp số: 1/k = 9264 năm. Giải phương trình vi phân dy dt = ky ( 1− y L ) , (0 < k, L). Xét phương trình vi phân logistic để mô hình hóa sự tăng trưởng của quần thể động vật với nguồn thức ăn hạn chế: dy dt = ky ( 1− y L ) , trong đó y(t) là kích cỡ của quần thể tại thời điểm t, k là hằng số dương liên quan đến khả năng sinh trưởng của quần thể, L là kích cỡ của quần thể ở trạng thái ổn định khi nguồn thức ăn luôn luôn dư dật. Giải phương trình với y(0) = 200, L = 1000. Hướng dẫn: CLekt 1 + Cekt , 1000ekt 4 + ekt . Tìm cực trị điều kiện   F = 5x+ 7y + 10z →Min 27xyz (x+ y + z) 3 = Q x+ y + z = 1000 x, y, z > 0 Một công ty sử dụng nhôm, sắt, ma giê để sản suất một loại hợp kim chất lượng cao. Chất lượng hợp kim khi sử dụng x tấn sắt, y tấn nhôm, z tấn ma giê là Q = 27xyz (x+ y + z) 3 . Giá của sắt, nhôm, ma giê lần lượt là 5, 7 và 10. Bao nhiêu tấn mỗi loại kim loại để sản xuất 1000 tấn hợp kim với chất lượng Q cho trước và mức giá thấp nhất có thể. 79 Tô Văn Ban Xét bộ dữ liệu TT x y 1 1.5139 2.4801 2 1.5153 2.4819 . . . . . . . . . 17 1.5232 2.5146 18 1.5253 2.5187 a. Lập mô hình hồi quy tuyến tính y = a+ bx. b. Tìm ước lượng yˆ(1.52). c. Tìm khoảng tin cậy 95% cho yˆ(1.52). Thủy tinh đóng vai trò then chốt trong vụ án khi hoạt động tội phạm làm cho cửa sổ hay các vật dụng thủy tinh khác bị phá hủy. Vì các mảnh thủy tinh thường lưu lại trên quần áo của thủ phạm, khẳng định những mảnh đó có nguồn gốc từ hiện trường hay không có tầm quan trọng lớn. Hai tính chất vật lí của thủy tinh có ích cho mục đích nhận dạng là chỉ số khúc xạ (khá dễ để đo) và mật độ của nó (khó đo hơn). Tuy nhiên, số đo chính xác của mật độ sẽ được thực hiện thuận lợi hơn nếu người ta có một ước lượng tốt của giá trị này trước khi đưa vào phòng thí nghiệm để đo nó chính xác. Như vậy, sẽ là hoàn toàn có ích nếu có thể dùng chỉ số khúc xạ của các mảnh thủy tinh để ước lượng mật độ của nó. Dữ liệu sau nêu lên mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ với mật độ của 18 mẫu. a) Ước lượng mật độ ứng với chỉ số khúc xạ 1.52. b) Xác định khoảng tin cậy 95% chứa mật độ của thủy tinh trong phần (a). Đáp số: 2.500, (2.491, 2.509). Bài viết này không đưa ra những cách thức dẫn những bài toán gắn với thực tiễn ở cột phải sang những bài toán đơn thuần ở cột trái hay ngược lại. Về điều này, chúng tôi giới thiệu độc giả có thể tham khảo ở [1,8,15]... Điều chúng ta nhận thấy rõ ràng là chất lượng toán của các bài tập tương ứng xem là như nhau. Bài ở cột trái gọn, rèn luyện được kĩ năng tính đạo hàm, vi phân. . . , giải những bài tập bất quy tắc, có khả năng bao quát hết kiến thức, lại dễ thiết kế để chúng có độ khó dễ khác nhau nên có thể cho học sinh giải với số lượng lớn. Tuy nhiên, các bài tập ở cột phải tạo hứng thú hơn, chúng là “nhà kiến tạo” tuyệt vời cho tư duy ứng dụng. Khi gặp các tình huống khoa học hay thực tiễn tương tự ngoài đời, người ta có cơ hội lặp lại những kiểu đặt vấn đề như đã học với một tâm thế mới. Chúng ta không nên quá coi trọng sự cô đọng đến mức cho đó là tiêu chí của SGK. Cho dù bài toán thực tiễn có dài dòng, phải lập mô hình (và do đó khó hơn đôi chút), lại ít tính bao quát, mức độ tư duy toán vừa phải, song ta cần đưa ngay vào nội dung môn học, suốt trong quá trình đào tạo với dung lượng phù hợp. Những giáo trình quá nặng về lí thuyết, cho dù có sâu sắc, tinh tế, uyên thâm, có nhiều mục chuyên sâu rất cần cho sinh viên toán nhưng ít phù hợp cho sinh viên kĩ thuật thì phải được cải tiến, thay thế. Chúng ta không xem nhẹ phần biện luận, nhưng những kiến thức căn bản hơn, thiết thực cho kĩ sư, đủ dùng cho người học tiếp thu tốt những học phần khác phải có chỗ đứng xứng đáng. Giáo trình ắt phải bớt đi những chứng minh, lí giải nặng nề dài dòng. Yêu cầu rất cao là giáo trình phải tương đối dễ đọc, dễ hiểu, có minh họa sinh động để với trợ giúp nhất định, người học xem như có thể làm chủ kiến thức môn học. 2.3. Một số kinh nghiệm tiệm cận bài toán định hướng thực tiễn a) Về tổ chức. Cần lập nhóm công tác, quán triệt nội dung, tiến trình, nhiệm vụ, biện pháp chủ yếu. Việc quan trọng hàng đầu là làm cho cán bộ giảng dạy nhận thức được sự thiếu hụt nghiêm trọng của loại bài toán định hướng thực tiễn, vai trò và tác dụng của chúng trong quá trình đào tạo. Đôi khi, tâm lí ngại, sợ loại toán này chính lại thuộc về GV, dẫn đến có thái độ tiêu cực. Để tránh, tất cả các GV đang dạy hoặc sẽ dạy môn học phải giải các bài tập đã chọn. Chế ngự được, người ta sẽ yêu thích, khi ấy chính những GV có thái độ tiêu cực sẽ là người ủng hộ cho sự tiến bộ. Chúng ta cũng nên tránh tâm lí cầu toàn, tránh khuynh hướng nói đến toán ứng ứng dụng là nói đến những bài toán hệ thống lớn, quy mô liên ngành, quốc gia, quốc tế, mang lại những lợi ích kinh tế, xã hội khổng lồ. Nếu chỉ có thế, người ta sẽ quan niệm ứng dụng toán là điều xa vời, 80 Cần nhanh chóng đưa loại toán gắn với thực tiễn vào nội dung giảng dạy ở Việt Nam... không thể với tới, tăng thêm tâm lí sợ toán, tự ti; hậu quả là bóp chết say mê, sáng tạo, làm họ xa rời toán học mà thôi. Công việc tốn nhiều công sức nhất là sơ tuyển bài tập điển hình, hấp dẫn ở nhiều ngành khoa học và ngành nghề khác nhau từ các cuốn sách đã lựa chọn; từ đó trích ra các ví dụ, bài tập, bài tập lớn điển hình; dịch chúng sang tiếng Việt; lựa chọn, chỉnh sửa một lần nữa để đảm bảo tính đa dạng của bộ bài tập tuyển lựa. b) Nguồn tài liệu. Chúng tôi chọn nhiều tài liệu tiếng Việt trong [2], ở đó có 158 (31,9%) bài gắn với thực tiễn thú vị, đa dạng về chủng loại và mức độ khó dễ khác nhau. Đối với nguồn tài liệu nước ngoài, chúng tôi sử dụng giáo trình của Rogawski, J song chủ yếu là [16], cuốn giáo trình được Viện Toán Cao cấp về Toán học chọn dịch để làm học liệu chung cho nhiều trường đại học. Đặc biệt, tài liệu này có bài toán dạng project (tạm dịch: bài tập dự án), đề cập đến nhiều khía cạnh của một vấn đề, rèn luyện năng lực tổng hợp, lối tư duy phê phán, rất có ích cho kĩ sư tương lai. c) Kiểm tra, đánh giá. Cần đưa ngay vào đề thi loại toán thực tế, học phần chọn thí điểm là Giải tích, sau đó là xác suất thống kê, và rồi với các học phần khác như Đại số tuyến tính. Đưa một lượng thích hợp các bài tập thực tế vào bài tập về nhà; thời gian đầu, mỗi học phần 20 bài, sau tăng thêm. Một số bài đó cũng đưa vào ngân hàng đề thi cuối học kì, mỗi học phần cỡ 10 bài. Chỉ khi chúng có mặt ở trong kì thi, thái độ của thầy và trò với chúng mới thực sự nghiêm túc. Hiện thời, chúng tôi cho sinh viên làm bài tập lớn định hướng thực tế theo nhóm và tự nguyện. Muốn vậy, phải lập danh mục các bài tập cần làm, yêu cầu tối thiểu, hình thức trình bày, chính sách khuyến khích. Nhiều nhóm đã tham gia thử nghiệm, tất cả đều đạt kết quả khá trở lên và hào hứng với hình thức này. d) Các khía cạnh khác. Cách soạn giáo án, bài giảng cũng cần thay đổi căn bản, có để ý đến những bài toán thực tiễn. Không nên đưa giải quyết vấn đề hay mô hình toán học cũng như giải các bài toán thực tiễn thành một học phần riêng biệt cho đại trà, mà chỉ nên lồng ghép vào các học phần toán. “Nghiên cứu cho thấy rõ ràng rằng giải quyết vấn đề không nên được dạy như một chủ đề riêng biệt trong chương trình giảng dạy toán học. Giải quyết vấn đề phải được dạy như một phần cấu thành việc học toán..., giảng dạy ở tất cả các cấp và trong mỗi chủ đề toán học”. Sinh viên không thể trở thành người giải toán thực tiễn thành công qua đêm, đó phải là một quá trình rèn giũa lâu dài. Nỗ lực cần được thực hiện ở mọi cấp học, trong mỗi chủ đề và trong mỗi bài học. Hiện thời chúng ta sử dụng chủ yếu nguồn tài liệu nước ngoài. Về lâu dài, cần có những nghiên cứu để sát với thực tiễn nước ta, và những nghiên cứu sâu hơn về tổ chức triển khai loại toán thực tiễn trong nội dung giảng dạy. 3. Kết luận Sự thiếu hụt loại toán định hướng thực tiễn trong giáo trình và nội dung giảng dạy là lâu dài, phổ biến, nghiêm trọng ở tất