Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Không gian véc tơ euclide, dạng toàn phương

1CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Dạng toàn phương được sử dụng trong bài toán bình phương cực tiểu, trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, khảo sát cực trị của hàm nhiều biến ... 10/07/2017 1 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.1 Định nghĩa dạng toàn phƣơng B  {e1, , en} là một cơ sở của V : Ánh xạ Q : V  R xác định bởi công thức sau được gọi là một dạng toàn phương của không gian véc tơ V chiều n. 1 1; ... n nv V v x e x e     , 1 ( ) n ij i j i j Q v a x x    Như vậy dạng toàn phương có biểu thức tọa độ là một đa thức đẳng cấp bậc 2 10/07/2017 2 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương: 2 2 1 1 2 2( ) 2 4 7Q v x x x x   10/07/2017 3 2 2 2( ) ( , , ) 2 4 3 2 5Q v Q x y z x y z xy yz      Dạng cực của Q Dạng cực của Q được xác định bởi công thức   1 ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 u v Q u v Q u Q v     CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.2 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phƣơng Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B ký hiệu A  [Q]B và xác định như sau ,ij ij jin n A a a a      Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Q trong cơ sở B được viết dưới dạng ma trận      ( ) t Q v v Q v B B B 10/07/2017 4 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương 2 2 1 2 1 1 2 2( , ), ( ) 2 4 7v x x Q v x x x x     1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2( , ), ( , ); ( , ) 2 2 2 7u x x v y y u v x y x y x y x y       Dạng cực tương ứng Có ma trận trong cơ sở chính tắc 2 2 2 7 A       10/07/2017 5 Ngoài cách trên, ta viết lại dạng toàn phương rồi đồng nhất hệ số   11 12 12 21 1 2 2 1 2 21 22 2 2 2 11 1 12 1 2 22 2 2 4 7 2 a a x x x x x x x a a x a x a x x a x                CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )x x x x y y y y   Dạng cực tương ứng Có ma trận trong cơ sở chính tắc 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 1 3 3 2 3( , , ) 2 4 4 6Q x x x x x x x x x x x x      1 1 1 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 3 3 2( , ) 2 2 4 3 3x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y          1 1 2 1 1 3 2 3 4 A           10/07/2017 6 2CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phƣơng Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trên Q trong cơ sở nào đó của V có dạng 2 2 2 11 1 22 2( ) ... nn nQ x a x a x a x    được gọi là biểu thức tọa độ có dạng chính tắc của Q a. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Lagrange Giả sử trong cơ sở B  {e1, , en} của không gian véc tơ V dạng toàn phương Q có biểu thức tọa độ , 1 1 ( ) , ; n n ij i j ij ji i i i j i Q x a x x a a x x e       Ta thực hiện các phép đổi tọa độ như sau 10/07/2017 7 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trường hợp 1: Giả sử có aii  0, chẳng hạn a11  0, ta có thể sắp xếp lại 2 1 11 11 1 2 , 1 2 ( ) 2 n n i ij i i i i j j a Q x a a a x x xx x             2 2 1 1 11 11 11 112 1 , 2 2 n n n i i ij i i j i i j i i x x x a a a a a a a xx                      2 1 11 11 , 2 1 2 ' n n i ij i i j i i j a xa ax x a x             Đặt 1 1 12 1 1 ; 2,..., n i i j i j a y a y nx j x x          thì 2 11 1 , 2 ( ) ' n ij i j i j Q x a y a y y     10/07/2017 8 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trường hợp 2: Nếu mọi aii  0 và có aij  0 chẳng hạn a12  0 Đặt 1 1 2 2 1 2 3,..., ; j j j n x y y x y y x y          thì , 1 , 1 ( ) ' n n ij i j ij i j i j i j Q x a x x a y y      có 11 12' 0a a  vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1 Tiếp tục quá trình này với biểu thức , 2 ' n ij i j i j a y y   10/07/2017 9 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Tiếp tục quá trình trên cuối cùng nhận được thỏa mãn 2 2 2 1 1 2 2( ) ... n nQ v z z z      Xét hệ véc tơ có tọa độ là các cột của ma trận trên 1 11 1' ( ,..., ),ne a a 1 1 1 1: ' 'n n n nv V v x e x e z e z e         2 2 2 1 1 2 2( ) ... n nQ v z z z      Nói cách khác {e’1, , e’n} là cơ sở cần tìm để biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc ... , 1' ( ,..., )n n nne a a 1 11 1 1 1 n n n nn n x a a z x a a z                                     10/07/2017 10 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ); ( ) 4 4 2 2x x x x Q x x x x x x x x x x        2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3( ) 2 (2 ) 4 2Q x x x x x x x x x      2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3( 2 ) (2 ) 4 2x x x x x x x x x        2 1 2 3 2 3( 2 ) 2x x x x x    2 2 2 1 2 3( ) 2 2Q x z z z   Cơ sở mới 1' (1,0,0)e  2' ( 3,1,1)e   3' ( 1,1, 1)e    1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ' ' 'x x x x z e z e z e    1 1 2 2 3 3 1 3 1 0 1 1 0 1 1 x z x z x z                          1 1 2 3 2 2 3 3 2 3 2z x x x x z z x z z          2 2 2 1 2 32 2z z z   10/07/2017 11 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG b. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Jacobi Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả thiết không gian Euclide) với dạng cực tương ứng  có ma trận trong cơ sở B  {e1, , en} : ( , ); , 1,...,ij ij i jA a a e e i j n     Giả sử các định thức con chính của A đều khác không 11 1 11 12 1 11 2 21 22 1 ... 0, 0,..., 0 ... n n n nn a a a a D a D D a a a a         10/07/2017 12 3CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Khi đó với mỗi j  1, 2, , n; hệ phương trình là hệ Cramer do đó có duy nhất nghiệm, ký hiệu  1 2, ,....,j j jj   Xét hệ véc tơ 1 11 1 2 12 1 22 2 1 1 2 2 ......................................... ....n n n nn n f e f e e f e e e                  1 0 ; 1,..., j jj j j n D D       11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ........................................... ... 1j j j j j j j j j a x a x a x a x a x a a x a x a x x                   (6.20) 10/07/2017 13 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ta sẽ chứng minh hệ véc tơ B ’  {f1, , fn} là một cơ sở của V mà biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc det B{f1, , fn}  1122nn  0 nên hệ B ’ độc lập tuyến tính vì vậy là một cơ sở của V 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ... 0; 1,..., 1 ( , ) ... 1 j i i j i j ij jj j j j j j j jj jj f e a a a i j f e a a a                       Ta có 1 1 ( , ) 0 ; ( , ) ( , ... ) ( , ) j i j j j j jj j jj j j jj f f i j f f f e e f e                  Mặt khác dạng song tuyến tính  đối xứng nên (fj,fi)  0 với mọi i  j 10/07/2017 14 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Vậy 1 0 ( , ) ji j j i j i j Df f D           nÕu nÕu với nji ,...,1,  Gọi A ’ là ma trận của Q trong cơ sở B ’ T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì 11 12 1 11 22 2 ; ' ( , )f f n n t i j nn nn T T AT A                                     Biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B ’ có dạng chính tắc 2 2 11 1 1 2 1 2 2 1 ... ( ) ... 1 n nn n n v y y Q v y DD D D yf y D f         10/07/2017 15 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 6.9 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( ) 4 4 2 2Q v x x x x x x x x x     cơ sở chính tắc Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc 1 2 1 2 4 1 1 1 1 A            Có các định thức con chính 1 2 3 1 2 1, 8, 9 2 4 D D D A            j  1 ta có 11 1 1 1 D     j  2 : Hệ phương trình (7.20) có dạng 1 2 1 2 1 2 2 4 0 x x x x       Có nghiệm 1 2 1 1 , 4 8 x x    10/07/2017 16 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  j  3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng Có nghiệm 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 2 4 1 0 x x x x x x x x x               1 2 3 2 1 8 , , 9 3 9 x x x    Chọn cơ sở 1 1 (1,0,0)f e   2 1 21/ 4 1/8 1/ 4, 1/8,0f e e      3 1 2 32 9 1 3 8 9 ( 2 9,1 3,8 9)f e e e      Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , )v x x x x e x e x e y f y f y f        2 2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 8 ( ) 8 9 D D Q v y y y y y y D D D       10/07/2017 17 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Cho dạng toàn phương Q của P2 có biểu thức tọa độ trong cơ sở chính tắc Ví dụ 6.10 2 2 2 2 0 1 2 0 0 1 1 0 2 2 1 2; ( ) 2 2 4 4 2v a a t a t Q v a a a a a a a a a         Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc 1 1 2 1 2 1 2 1 4 A           Có các định thức con chính 1 2 3 1 1 1, 1, 9 1 2 D D D A          j  1 ta có 11 1 1 1 D     j  2 : Hệ phương trình (6.20) có dạng 1 1 2 2 0 2 1 x x x x        Có nghiệm 1 2 1x x  10/07/2017 18 4CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  j  3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng Có nghiệm 1 2 3 1 2 3 1 2 32 4 1 2 0 2 0 x x x x x x x x x                Chọn cơ sở 1 1f  2 1f t  2 3 5 1 1 9 3 9 f t t   Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng 2 2 0 1 2 0 1 2 5 1 1 (1 ) 9 3 9 v a a t a t b b t b t t                2 2 2 2 2 21 2 0 1 2 0 1 2 1 2 3 1 1 ( ) 9 D D Q v b b b b b b D D D       1 2 3 5 1 1 , , 9 3 9 x x x    10/07/2017 19 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Nhận xét Một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi khi mọi định thức con góc bên trái Dk  0,  k  1, 2, Vì vậy có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange nhưng chưa chắc có dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi không sử dụng phương pháp Jacobi được vì D2  0 Cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng chính tắc với các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số âm là như nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua luật quán tính 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ); ( ) 4 4 2 2x x x x Q x x x x x x x x x x        Chẳng hạn dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 10/07/2017 20 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.4 Luật quán tính Giả sử A  [aij]  [Q]B; A’  [a’ij]  [Q]B’ là hai ma trận của Q trong hai cơ sở B  {e1, , en}, B’  {e’1, , e’n} của V 'ij T t    B B là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’ Ta có A’  T tAT Do đó r (A’)  r (T tAT )  r (A) Mặt khác A  (T t)1A ’T 1 Do đó r (A)  r (A’) Do đó ta có thể định nghĩa hạng của dạng toàn phương Q là hạng của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó 10/07/2017 21 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Định lý (Sylvester - Jacobi) Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở) Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dƣơng và số các hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương Giả sử (p,q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không gian n chiều V thì p  q  r (hạng của Q) 10/07/2017 22 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  Trường hợp r  n: Q được gọi là không suy biến  Trường hợp p  n: Q được gọi là xác định dương  Trường hợp q  n: Q được gọi là xác định âm Q xác định dương khi và chỉ khi Q(v)  0, với mọi v  0 Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v)  0, với mọi v  0 Nếu  là dạng cực của dạng toàn phương Q thì Q xác định dương khi và chỉ khi  xác định dương Q xác định âm khi và chỉ khi  xác định âm Q không suy biến khi và chỉ khi  xác định 10/07/2017 23 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 6.11 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( ) 4 4 2 2Q v x x x x x x x x x     cơ sở chính tắc  Phương pháp Lagrange 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 2 3 3 3 9 ( 2 ) 8 6 ( 2 ) 2(2 ) 4 2 x x x x x x x x x x x x           2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3( ) 2 ( 2 ) 4 2Q v x x x x x x x x        Phương pháp Jacobi 1 2 3 1 2 1, 8, 9 2 4 D D D A           1 2 1 2 4 1 1 1 1 A            2 2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 8 ( ) 8 9 D D Q v y y y y y y D D D       10/07/2017 24 5CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Định lý (Sylvester) Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào đó của V. Khi đó (i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương (ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a                 10/07/2017 25