Bài giảng Toán Kinh tế - PGS.TS. Trần Lộc Hùng

Toán Kinh tế PGS.TS. Trần Lộc Hùng Trường Đại học Tài chính - Marketing thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011 Bài 1. Đại số tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Đại số tuyến tính 1 Ma trận 2 Định thức 3 Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Đại số tuyến tính 1 Ma trận 2 Định thức 3 Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Đại số tuyến tính 1 Ma trận 2 Định thức 3 Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận 1 Các định nghĩa 2 Các phép toán ma trận 3 Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận 1 Các định nghĩa 2 Các phép toán ma trận 3 Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận 1 Các định nghĩa 2 Các phép toán ma trận 3 Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij)mn. 1 Hai số m và n nguyên dương, (m,n ∈ Z+) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, ... 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij)n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij)mn. 1 Hai số m và n nguyên dương, (m,n ∈ Z+) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, ... 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij)n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij)mn. 1 Hai số m và n nguyên dương, (m,n ∈ Z+) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, ... 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij)n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij)mn. 1 Hai số m và n nguyên dương, (m,n ∈ Z+) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, ... 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij)n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij)mn. 1 Hai số m và n nguyên dương, (m,n ∈ Z+) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, ... 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij)n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Ví dụ 1 A = 1 2 34 5 6 7 8 9  1 Ma trận vuông cấp 3 2 A ∈ M3×3 3 Có 9 phần tử PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Ví dụ 1 A = 1 2 34 5 6 7 8 9  1 Ma trận vuông cấp 3 2 A ∈ M3×3 3 Có 9 phần tử PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Ví dụ 1 A = 1 2 34 5 6 7 8 9  1 Ma trận vuông cấp 3 2 A ∈ M3×3 3 Có 9 phần tử PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận đơn vị Một ma trận (aij)n,aii = 1,aij = 0, i , j = 1, . . .n In =  1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1  được gọi là một ma trận đơn vị cấp (n), ký hiệu In. 1 Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 2 Các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận đơn vị Một ma trận (aij)n,aii = 1,aij = 0, i , j = 1, . . .n In =  1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1  được gọi là một ma trận đơn vị cấp (n), ký hiệu In. 1 Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 2 Các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận không Một bảng chữ nhật gồm (m × n) số 0 O =  0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0  được gọi là một ma trận không cấp (m × n), ký hiệu O = (0)mn. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị AT của ma trận A = (aij)m×n là ma trận AT =  a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 . . . . . . . . . . . . a1m a2m . . . anm  1 Các phần tử của AT đối xứng với các phân tử của A qua đường chéo chính 2 Dễ dàng thấy (AT )T = A 3 Có quan hệ AT = BT ⇐⇒ A = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị AT của ma trận A = (aij)m×n là ma trận AT =  a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 . . . . . . . . . . . . a1m a2m . . . anm  1 Các phần tử của AT đối xứng với các phân tử của A qua đường chéo chính 2 Dễ dàng thấy (AT )T = A 3 Có quan hệ AT = BT ⇐⇒ A = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị AT của ma trận A = (aij)m×n là ma trận AT =  a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 . . . . . . . . . . . . a1m a2m . . . anm  1 Các phần tử của AT đối xứng với các phân tử của A qua đường chéo chính 2 Dễ dàng thấy (AT )T = A 3 Có quan hệ AT = BT ⇐⇒ A = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận chuyển vị Ví dụ 1 Ma trận A = 1 2 34 5 6 7 8 9  có ma trận chuyển vị AT Ma trận chuyển vị AT = 1 4 72 5 8 3 6 9  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận tam giác Ma trận A = (aij)m×n là ma trận tam giác, nếu các phần tử nằm trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 A =  a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . amn  hoặc B =  a11 0 . . . 0 a21 a22 . . . 0 . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . anm  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận hình thang Ma trận A = (aij)m×n là ma trận hình thang, nếu A =  a11 a12 . . . a1,n−1 a1n 0 a22 . . . a2,n−1 a2n . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . am,n−1 amn  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận con Ma trận A = (aij)m×n có ma trận con Aij , là ma trận A bỏ đi các phần tử ở hàng i và cột j A = 1 2 34 5 6 7 8 9  có ma trận con A12 = ( 4 6 7 9 ) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép so sánh hai ma trận Định nghĩa Hai ma trận (A) = (aij)m×n và (B) = (bij)m×n cùng cấp được gọi bằng nhau nếu aij = bij ; i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép so sánh hai ma trận Ma trận A Có a=1, b=0, c=8, và d=0 để hai ma trận A và B bằng nhau, trong đó A = a 1 31 b + 1 6 0 c 9  và Ma trận B B = 1 −2d + 1 31 1 6 0 8 9  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép cộng (hiệu) hai ma trận Định nghĩa Tổng (hiệu) của hai ma trận (A) = (aij)m×n và (B) = (bij)m×n cùng cấp, là ma trận C = (cij), cij = aij ± bij ; i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép cộng hai ma trận Ma trận A A = 1 2 34 5 6 7 8 9  và Ma trận B B = 1 2 30 1 2 0 0 1  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép cộng hai ma trận Ma trận C=A+B C = 2 4 64 6 8 7 8 10  và Ma trận D=A-B D = 0 0 04 4 4 7 8 8  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A+ B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A+ B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A+ B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A+ B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép nhân ma trận với một số Định nghĩa Tích của ma trận A = (aij)m×n với một số λ, là một ma trận B = (bij), bij = λaij ; i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép nhân ma trận với một số Ma trận A A = 1 2 34 5 6 7 8 9  và Ma trận B=2A B =  2 4 68 10 12 14 16 18  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n và các số thực α, β. Khi đó 1 α(A+ B) = αA+ αB 2 (α+ β)A = αA+ βA 3 (αA)T = αAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n và các số thực α, β. Khi đó 1 α(A+ B) = αA+ αB 2 (α+ β)A = αA+ βA 3 (αA)T = αAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A,B,C ∈ Mm×n và các số thực α, β. Khi đó 1 α(A+ B) = αA+ αB 2 (α+ β)A = αA+ βA 3 (αA)T = αAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép nhân hai ma trận Định nghĩa Tích của ma trận A = (aij)m×n với một ma trận B = (bij)n×p là một ma trận C = (cij)m×p; cij = ∑n k aikbkj i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,p PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép nhân hai ma trận Ma trận A A = 1 1 10 1 1 0 0 1  và Ma trận B B = 1 0 10 1 1 1 0 0  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép nhân hai ma trận Ma trận AB AB = 2 1 21 1 1 1 0 0  và Ma trận BA BA = 1 1 20 1 2 0 1 1  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận A,B,C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A+ B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BTAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận A,B,C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A+ B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BTAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận A,B,C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A+ B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BTAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận A,B,C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A+ B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BTAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận A,B,C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A+ B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BTAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất Cho các ma trận A,B,C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A+ B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BTAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng Cho ma trận A = (aij)m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 Nhân các phần tử của một hàng thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai hàng thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của hàng thứ j các phần tử hàng thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng Cho ma trận A = (aij)m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 Nhân các phần tử của một hàng thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai hàng thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của hàng thứ j các phần tử hàng thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng Cho ma trận A = (aij)m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 Nhân các phần tử của một hàng thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai hàng thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của hàng thứ j các phần tử hàng thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép biến đổi sơ cấp Ma trận A A = 1 2 32 −1 1 2 −1 2  Ma trận A sau các phép biến đổi sơ cấp thành ma trận B Ma trận B B = 1 2 30 −5 −5 0 0 1  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép biến đổi sơ cấp theo cột Cho ma trận A = (aij)m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo cột 1 Nhân các phần tử của một cột thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai cột thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của cột thứ j các phần tử cột thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép biến đổi sơ cấp theo cột Cho ma trận A = (aij)m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo cột 1 Nhân các phần tử của một cột thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai cột thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của cột thứ j các phần tử cột thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các phép biến đổi sơ cấp theo cột Cho ma trận A = (aij)m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo cột 1 Nhân các phần tử của một cột thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai cột thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của cột thứ j các phần tử cột thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ về phép biến đổi sơ cấp theo cột Ma trận C C = 1 −1 01 2 1 2 −1 1  Ma trận C sau các phép biến đổi sơ cấp theo cột thành ma trận D Ma trận D D = 1 −1 00 1 1 0 0 −2/3  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định thức 1 Định nghĩa 2 Các phương pháp tính định thức 3 Định thức và ma trận nghịch đảo PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định thức 1 Định nghĩa 2 Các phương pháp tính định thức 3 Định thức và ma trận nghịch đảo PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định thức 1 Định nghĩa 2 Các phương pháp tính định thức 3 Định thức và ma trận nghịch đảo PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Cho một ma trận A vuông cấp n A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann  . Định thức của ma trận A, ký hiệu det(A) =| aij |, là một số thực xác định bởi det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin, trong đó Aij = (−1)i+jMij với M