3c. Bài tập 3.2
• Một ròng rọc có dạng như
hình vẽ.
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R1, tác động một
lực T1 nằm ngang lên nó.
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R2 tác động
một lực T2 hướng thẳng đứng
xuống.
3c. Bài tập 3.2 (tt)
(a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác
động lên ròng rọc đối với trục quay z.
(b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 =
15,0 N và R2 = 0,50 m,
– Tìm momen lực toàn phần đối với trục quay,
– Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc
đầu nó đứng yên?
12 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 268 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Vật lý 1 - Chương 3b: Vật rắn - Lê Quang Nguyên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Vật rắn
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung
1. Vận tốc góc và gia tốc góc
2. Momen ñộng và momen lực ñối với một trục
3. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay
4. Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay
5. Chuyển ñộng lăn
1a. Vị trí góc
• Khi vật rắn quay quanh một
trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm
ñều chuyển ñộng tròn, với
tâm ở trên trục quay.
• Chọn một chất ñiểm thuộc vật
rắn, có vị trí cho bởi các tọa
ñộ cực r, θ.
• θ cũng là vị trí góc của cả vật
rắn, chứ không phải của riêng
chất ñiểm ñang xét.
r
θ
∆θ < 0, ω < 0
cùng chiều kim ñồng hồ
1b. Vận tốc góc
• Trong thời gian ∆t vật rắn
quay ñược một góc:
• Vận tốc góc trung bình
ñược ñịnh nghĩa như sau:
if θθθ −=∆
tav ∆
∆
=
θ
ω
θf
θi∆θ
∆θ
∆θ > 0, ω > 0
ngược chiều kim ñồng hồ
1b. Vận tốc góc (tt)
• Vận tốc góc tức thời là một
vectơ xác ñịnh bởi:
• với uz là vectơ ñơn vị trên
trục quay z, hướng theo
chiều thuận ñối với chiều
ngược chiều kim ñồng hồ.
• Mọi chất ñiểm trong vật rắn
quay ñều có cùng vận tốc
góc.
zu
ωω =
ω
z
ω
z
d dtω θ=
uz
1c. Gia tốc góc
• Gia tốc góc trung bình:
• Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi:
• Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia
tốc góc.
tav ∆
∆
=
ω
α
dt
dω
α =zudt
d
α
ω
α ==
1d. Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài
• Ta có:
• Đạo hàm theo thời gian cho ta:
• hay tổng quát hơn nữa:
• R là vị trí của chất ñiểm ñối
với một ñiểm gốc bất kỳ trên
trục quay.
rs θ=
rv ω=
Rv
×=ω
rv
×=ω
θ
r
s
z
ω
r
v
R
1e. Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài
• Gia tốc tiếp tuyến:
• Gia tốc pháp tuyến:
( )
dt
d
r
dt
rd
dt
dv
at
ωω
===
rat α=
( )22
n
rv
a
r r
ω
= =
2
na rω=
ut
at
an
a un
2a. Phụ lục toán
• Xét hình chiếu trên trục z
của vectơ R × A,
• R là vị trí của chất ñiểm ñối
với gốc O trên trục quay,
• còn A là một vectơ xác ñịnh
ở vị trí ñang xét.
• Chúng ta cần tìm một biểu
thức thuận tiện cho ñại
lượng:
( ) ( ) zz uARAR
⋅×=×
z
uz
A
R
2a. A useful formula (cont.)
• From vector calculus we get:
• Applying it here gives:
• Resolve R in to r|| parallel and
r perpendicular to z-axis, we
have:
• Furthermore:
( ) ( ) ( ) bacacbcba ⋅×=⋅×=⋅×
( ) ( ) ARuuAR zz
⋅×=⋅×
rururuRu zzzz
×=×+×=× ||
tz urru
=×
z
uz
Rr||
r
ut
uz
ut
r=
0
2a. Phụ lục toán (tt)
• At là hình chiếu của A trên
phương pháp tuyến.
• hay:
• l là chiều dài tay ñòn của A.
( ) ttz rAAurAR =⋅=×
( ) ϕcosrAAurAR tz =⋅=×
lr ±=ϕcos
( ) lAAurAR tz ±=⋅=×
r
φ
φ
At
l
r
φ
π–φ
A
t
l
2b. Momen ñộng ñối với trục quay
• Momen ñộng ñối với trục
quay z là hình chiếu của
momen ñộng trên z.
• Với chất ñiểm ở vị trí R và
có ñộng lượng p:
• Dùng công thức trong phụ
lục toán vừa rồi ta ñược:
( ) zz upRL
⋅×=
rmvrpL tz ==
z
uz
R
r
utp
2b. Momen ñộng ñối với trục quay (tt)
• Biểu diễn qua vận tốc góc ta có:
• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn:
• Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược
ñịnh nghĩa là:
• Vậy:
( ) ωω 2mrrrmrmvLz ===
ω
= ∑
i
iiz rmL
2
∑=
i
iirmI
2
ωILz =
2c. Momen lực ñối với trục quay
• Momen lực ñối với trục
quay z là hình chiếu của
momen lực trên z.
• Với một chất ñiểm:
• Theo phụ lục ta có thể viết:
(+) khi lực có xu hướng
quay chất ñiểm ngược
chiều kim ñồng hồ.
( ) zz uFR
⋅×=τ
lFz ±=τ
z
uz
R
F
F
l
3a. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay
• Khi vật rắn quay quanh trục z:
• Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay.
tot
dL
dt
τ=
,
z
tot z
dL
dt
τ=
∑±=
i
iiFldt
d
I
ω Tổng momen ngoại
lực ñối với trục quay
3b. Bài tập 3.1
• Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng
nhất khối lượng M, bán kính R ñối với:
• (a) trục ñối xứng của vành,
• (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một
ñiểm trên vành tròn.
3b. Trả lời bài tập 3.1
• Chia vành làm nhiều phần
tử nhỏ khối lượng dm, ta có:
• Dùng ñịnh lý Steiner:
• Suy ra:
222 MRdmRdmrIa === ∫∫
2MdII ab +=
22 2MRMRII ab =+=
R
dm
(a)(b)
d
Momen quán tính của
một số vật thường gặp.
3c. Bài tập 3.2
• Một ròng rọc có dạng như
hình vẽ.
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R1, tác ñộng một
lực T1 nằm ngang lên nó.
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R2 tác ñộng
một lực T2 hướng thẳng ñứng
xuống.
3c. Bài tập 3.2 (tt)
(a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác
ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z.
(b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 =
15,0 N và R2 = 0,50 m,
– Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay,
– Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc
ñầu nó ñứng yên?
3c. Trả lời bài tập 3.2
• Momen lực toàn phần tác
ñộng lên ròng rọc ñối với
trục quay z là:
• Thay bằng số ta có:
• τz > 0, ròng rọc quay ngược
chiều kim ñồng hồ.
, 1 1 2 2tot z RT R Tτ = − +
( ), 1 5 0,5 15 2,5 .tot z N mτ = − × + × =
3.d Bài tập 3.3
• Hai vật khối lượng m1 và
m2 ñược nối với nhau
bằng một dây nhẹ, dây
vắt qua hai ròng rọc
không ma sát (hình vẽ).
• Mỗi ròng rọc có momen
quán tính I và bán kính R.
• Tìm gia tốc của mỗi vật
và các sức căng dây.
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1
• Dùng ñịnh luật 2
Newton cho
• m1 trên y hướng xuống:
• m2 trên y hướng lên:
• ròng rọc quanh trục z
hướng ra ngoài:
1111 Tgmam −=
gmTam 2222 −=
( )TTRI ′−= 1α
( )2TTRI −′=α
m1g
T1
y m2g
T2
y
R
T1
T’
mg
N
R
T2
T’
mg
N
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2
• Hai vật có gia tốc bằng nhau:
• Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên
vành ròng rọc = vận tốc vật:
• Ta có hệ phương trình sau:
aaa ≡= 21
aR =⇒ αvR =ω
111 Tgmam −=
gmTam 222 −=
TTRIa ′−= 1
2/
2
2/ TTRIa −′=
(1)
(2)
(3)
(4)
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3
• Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược:
• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức
căng.
( )gmma
R
I
mm 21221 2 −=
++
( )
221
21
2
R
I
mm
gmm
a
++
−
=
4a. Động năng của vật rắn quay
• Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng
cách r ñối với trục quay:
• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng
năng của vật rắn quay:
( ) 2221
2
2
12
2
1 ωω mrrmmvK ===
22
2
1
ω
= ∑
i
iirmK
2
2
1
ωIK =
4b. Công trong chuyển ñộng quay
• Công sơ cấp:
• Ta có:
• Do ñó:
• Suy ra công và công suất:
( )dtRFdtvFdW ×⋅=⋅= ω
( ) ( ) ωω ⋅×=×⋅ FRRF
θτωτωτ ddtdtdW zz ==⋅=
∫=
f
i
dW z
θ
θ
θτ ωτ zP =
z
ω
R
F
dr
4c. Bài tập 4.1
• Một thanh ñồng nhất chiều
dài L, khối lượng m có thể
quay không ma sát quanh
một trục ngang ñi qua một
ñầu thanh. Thanh ñược thả
không vận tốc ñầu khi
ñang nằm ngang. Tìm:
• (a) vận tốc góc khi thanh ở
vị trí thẳng ñứng,
• (b) vận tốc khối tâm ở vị
trí ñó.
4c. Trả lời bài tập 4.1 - 1
• Vì không có ma sát nên
cơ năng thanh bảo toàn:
• Khối tâm là ñiểm ñặt của
toàn bộ trọng lượng, do
ñó thế năng trọng trường
của thanh là:
( ) 0=+∆=∆ gUKE
2
2
1 ωIKK f ==∆
CMg mgyU =
Thế năng trọng trường
của một vật rắn:
Ug = mgyCM
4c. Trả lời bài tập 4.1 - 2
• Với trục y hướng lên ta có:
• Suy ra:
2/mgLymgU CMg −=∆=∆
02
12
2
1 =−=∆ mgLIE ω
I
mgL
=ω
Định lý Steiner:
( )
3/
4/12/
2/
2
22
2
mL
mLmL
LmII CM
=
+=
+=
L
g3
=ω
y
4c. Trả lời bài tập 4.1 - 3
• Giữa vận tốc dài của một
chất ñiểm của vật rắn và
vận tốc góc có hệ thức:
• r là khoảng cách từ chất
ñiểm ñến trục quay.
• Với khối tâm thì r = L/2:
vCM
rv ω=
gLL
L
gL
vCM 32
13
2
1
2
2 =⋅==ω
4d. Bài tập 4.2
• Hai vật khối lượng m1 và m2
ñược treo ở hai bên một ròng
rọc không ma sát bằng một dây
nhẹ.
• Ròng rọc có bán kính R và
momen quán tính I ñối với trục
quay. Lúc ñầu hệ ñược thả
không vận tốc.
• Tìm vận tốc dài của hai vật vào
lúc vật 2 xuống ñược một
khoảng h.
4d. Trả lời bài tập 4.2
• Vì không có ma sát nên cơ năng
bảo toàn:
• Độ biến thiên ñộng năng:
• Ta cũng có:
• Do ñó:
( ) 0=+∆=∆ gUKE
2
2
12
222
12
112
1 ωIvmvmKK f ++==∆
vvv ≡= 21 vR =ω
( ) 222121 / vRImmK ++=∆
4d. Trả lời bài tập 4.2 (tt)
• m1 ñi lên một khoảng h khi m2 ñi xuống cùng một
khoảng, vì vậy ñộ biến thiên thế năng của hệ là:
• Vậy ta có:
ghmghmU g 21 −=∆
( ) ( ) 0/ 21222121 =−+++=∆ ghmmvRImmE
( )
2
21
12
/
2
RImm
ghmm
v
++
−
=
5a. Chuyển ñộng lăn của vật rắn
• Khi một xe ñạp chuyển ñộng, khối tâm của mỗi
bánh xe có chuyển ñộng tịnh tiến.
• Tuy nhiên, một ñiểm trên vành bánh xe lại có quỹ
ñạo là một cycloid.
• Chuyển ñộng của bánh xe là chuyển ñộng lăn.
5b. Vận tốc của khối tâm
• Xét bánh xe lăn không
trượt,
• Khi một ñiểm trên vành ñi
ñược một cung tròn có
chiều dài s = rθ,
• thì khối tâm cũng tịnh tiến
ñược cùng một khoảng ñó.
• Do ñó ta có:
dt
d
r
dt
ds θ
= ωrvCM =
r
s = rθ
5c. Kết hợp tịnh tiến và quay
• Lăn không trượt là sự kết
hợp của chuyển ñộng tịnh
tiến của khối tâm,
• và chuyển ñộng quay quanh
một trục ñi qua khối tâm.
• Do ñó một chất ñiểm thuộc
vật có vận tốc cho bởi:
rotCM vvv
+=
rvv CM
×+= ω
vCM
r
vrot
v
5c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt)
• Một chất ñiểm trên vành có
vận tốc quay là vrot = ωr.
• Ở vị trí thấp nhất:
• Ở vị trí giữa:
• Ở vị trí cao nhất:
• Minh họa.
0=−= rotCM vvv
rvvv rotCM ω2=+=
222 rvvv rotCM ω=+=
vCM
vrot = – vCM
vrot = vCM
vCM
vrot
v
v = 2vCM
5d. Động năng của chuyển ñộng lăn
• Động năng của chuyển ñộng lăn là tổng
• ñộng năng tịnh tiến của khối tâm,
• và ñộng năng quay quanh trục ñi qua khối tâm.
• trong ñó M, I là khối lượng và momen quán tính
ñối với trục quay của vật.
2
2
12
2
1 ωIMvK CM +=
5e. Bài tập 5.1
• Một quả cầu khối lượng
M và bán kính R lăn
xuống một mặt phẳng
nghiêng với vận tốc ñầu
bằng không.
• Tìm vận tốc khối tâm quả
cầu ở cuối mặt phẳng
nghiêng.
5e. Trả lời bài tập 5.1 - 1
• Khi vật lăn không trượt vận
tốc của tiếp ñiểm luôn băng
không,
• vì vậy ma sát là ma sát tĩnh,
không thực hiện công.
• Cơ năng ñược bảo toàn:
• Độ biến thiên ñộng năng:
( ) 0=+∆=∆ gUKE
2
2
12
2
1 ωIMvKK CMf +==∆
5e. Trả lời bài tập 5.1 - 2
• Do lăn không trượt nên:
• Suy ra:
• Độ biến thiên thế năng:
• Vậy:
RvCM=ω
( ) 2221 CMvRIMK +=∆
MghyMgU CMg −=∆=∆
( ) 01 2221 =−+=∆ MghvMRIME CM
21
2
MRI
gh
vCM +
=
5e. Trả lời bài tập 5.1 - 3
• Momen quán tính của quả cầu ñối với một trục ñi
qua tâm là I = 2MR2/5.
• Do ñó:
• Nếu vật là vành tròn có cùng khối lượng và bán
kính, momen quán tính sẽ là I = MR2:
• Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ lăn xuống nhanh
hơn (Ví dụ 1, 2).
7
10
521
2 ghgh
vCM =+
=
gh
gh
vCM =+
=
11
2
5f. Bài tập 5.2
• Trong bài tập 5.1, hãy tìm
biểu thức của gia tốc khối
tâm.
5f. Trả lời bài tập 5.2 - 1
• Dùng ñịnh luật 2 Newton
cho
• khối tâm trên trục x:
• quả cầu quay quanh trục z
hướng ra ngoài:
• Vì ω (< 0) giảm dần khi
lăn xuống nên α < 0.
mg
N
fs
x
sCM fMgMa −= θsin
RfI s−=α
Trục z hướng ra
ngoài nên vật lăn
xuống có ω < 0.
5f. Trả lời bài tập 5.2 - 2
• Vì lăn không trượt nên giữa gia tốc góc và gia tốc
khối tâm có hệ thức: α = – aCM/R.
• Ta có hệ phương trình sau:
• Giải hệ ta ñược:
• Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn.
sCM fMgMa −= θsin
( ) sCM faRI =2/
θ
θ
sin
7
5
/1
sin
2 gMRI
g
aCM =+
=