Bài số 15 Tổng kết môn toán 5

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 1 Bài số 15 TỔNG KẾT MÔN TOÁN 5 I. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN. BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU 1 Nhắc lại và bổ xung kiến thức về giải tích tổ hợp a.Quy tắc cộng. Giải sử một công việc nào có k trường hợp để thực hiện: Trường hợp 1 có 1 n cách thực hiện Trường hợp 2 có 2 n cách thực hiện ….. Trường hợp k có k n cách thực hiện Khi đó ta có: 1 2 ... k n n n n= + + + cách thực hiện công việc đã cho. b.Quy tắc nhân.Giải sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn: Có 1 n cách thực hiện giai đoạn thứ nhất Có 2 n cách thực hiện giai đoạn thứ hai….. Có k n cách thực hiện giai đoạn thứ k Khi đó ta có: 1 2 . ... k n n n n= cách thực hiện công việc đã cho. c. Hoán vị Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho hoặc gồm đúng n phần tử đã cho. Công thức 1: Số các hoán vị của n phần tử phân biệt là ! n P n= . Công thức 2: Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được lấy k lần liên tiếp là ! ( )! k k r n n P A n k = = − (còn gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử) Công thức 3: Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được sắp xếp theo một vòng tròn là : ( 1)!n − . Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 2 Công thức 4: Số những hoán vị phân biệt của n phần tử mà trong đó 1 n phần tử thuộc kiểu thứ nhất, 2 n phần tử thuộc kiểu thứ hai, ... , k n phần tử thuộc kiểu thứ k k là: 1 2 ! ! ! ! k n n n n
. d.Phân hoạch. Tổ hợp. Công thức 1: Ta phân hoạch một tập gồm n phần tử thành k ngăn sao cho: có 1 n phần tử trong ngăn thứ nhất, có 2 n phần tử trong ngăn thứ hai,... có k n phân tử trong ngăn thứ k Khi đó số cách phân hoạch là: 1 2 1 2 ! , ,..., ! ! !r k n n n n n n n n    =   
trong đó 1 2 ... k n n n n+ + + = . Công thức 2: Số các tổ hợp của n phần tử phân biệt được tạo ra khi lấy r phần tử cùng một lúc là ! !( )! k n n n C r r n r    = =  −  2. Biến cố a. Định nghĩa. Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố. Như vậy biến cố của một phép thử chính là mỗi tập con của không gian mẫu. Ký hiệu biến cố : Dùng các chữ in hoa như A, B, C… Chú ý • Mỗi điểm mẫu là một biến cố và được gọ là biến cố sơ cấp. • Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu là ∅. • Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với chính không gian mẫu S (hay Ω ) nên ký hiệu là S (hay Ω ). Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 3 b. Quan hệ giữa các biến cố. Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu S . Khi đó : • Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. •Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại. • Biến cố đối của biến cố A, ký hiệu A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. • Hợp (tổng) của hai biến cố A và B , ký hiệu là A B∪ (hoặc A B+ ) là biến cố xảy ra nếu có ít nhất một biến cố nào đó trong các biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác : A B∪ là biến cố gồm các điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B . Định nghĩa hợp của n biến cố cũng được định nghĩa tương tự : 1 2 ... n A A A∪ ∪ ∪ • Giao (tích) của hai biến cố A và B , kí hiệu A B∩ (hoặc AB ) là biến cố xảy ra nếu cả A và B cùng xảy ra. Nói cách khác A B∩ là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B . Nếu A1, A2, …, An là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của chúng, ký hiệu là 1 2 ... n A A A∩ ∩ ∩ . • Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A B∩ = ∅ . 3. Xác xuất của của một biến cố Xét phép thử với không gian mẫu { }1 2, ,... kS s s s= Ω = . Khi đó, với mỗi điểm mẫu (biến cố sơ cấp) i s được gán tương ứng với một số thực i p thỏa mãn 1 0;1 1 i k i i p p =    ∈    = ∑ , số thực i p được gọi là xác suất của điểm mẫu (biến cố sơ cấp) i s . Định nghĩa. Xét phép thử với không gian mẫu S và A biến cố trong phép thử đó. Khi đó xác suất của biến cố A là tổng xác xuất của tất cả các diểm mẫu trong A , ký hiệu là ( )P A . Các bước tìm xác suất(theo lối cổ điển) của một biến cố A : 1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu: N 2. Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong biến cố :A n 3. Từ đó ( ) .nP A N = a.Công thức cộng. Trường hợp các biến cố xung khắc. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 4 Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc (tức là A B AB∩ = = ∅ ) trong một phép thử thì ta có: P(A∪B) = P(A) + P(B) Trường hợp tổng quát. Nếu A và B là hai biến cố tùy ý trong một phép thử thì ta có P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) b.Xác suất có điều kiện. Công thức nhân Xác suất có điều kiện. Định nghĩa: Xác suất của biến cố B được tính khi biết biến cố A nào đó đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện và được ký hiệu là P(B|A). Ký hiệu P(B|A) thường được đọc là “ xác suất để B xảy ra với điều kiện A đã xảy ra” hoặc đơn giản là “xác suất của B với điều kiện A”. Công thức: Xác suất có điều kiện của B với điều kiện A, ký hiệu P(B|A), được xác định như sau: ( ) ( | ) ( ) P A B P B A P A ∩ = nếu P(A) > 0. Công thức nhân xác suất. Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B A P B P A B∩ = = Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A).P(B). c.Công thức xác suất đây đủ. Công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ. Nếu các biến cố B 1 ,B 2 , …, B k là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là 1 2 , ,..., k B B B là nhóm các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(B i ) ≠0 với mọi i = 1, 2, …, k thì với biến cố A bất kì của S ta có: P(A) = 1 ( ) k i i P B A = ∩∑ = 1 ( ) ( | ). k i i i P B P A B = ∑ Công thức Bayes. Cho phép tính xác suất có điều kiện ( | )P B A khi biết xác suất có điều kiện ( | )P A B và một số thông tin khác. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 5 a) Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Với A và B là hai biến cố bất kỳ với xác suất khác không, khi đó ta luôn có: ( | ) ( ) ( | ) . ( ) P A B P B P B A P A = Định lý (Công thức Bayes tổng quát). Nếu các biến cố B 1 ,B 2 , …, B k là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là 1 2 , ,..., k B B B là nhóm các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(B i ) ≠0 với mọi i = 1, 2, …, k, thì với biến cố A bất kì của S mà P(A) ≠0 ta có: P(B r |A) = 1 ( ) ( ) r k i i P B A P B A = ∩ ∩∑ = 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) r r k i i i P B P A B P B P A B = ∑ 4. Biến ngẫu nhiên một chiều a.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với duy nhất một số thực. b. Phân loại biến ngẫu nhiên Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là tập đếm được. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy một hay một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn trên trục số. c. Phân phối xác suất Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá x là X x= và xác suất để X nhận giá trị x là ( )P X x= . i. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc. Đặt: ( ) ( )f x P X x= = , khi đó ( )f x chính là hàm của các giá trị của X Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị { }1 2 3, , ,...x x x Hàm số thực ( )f x xác định trên  được gọi là hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) của X nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1. ( ) 0f x ≥ với mọi x trong tập giá trị của X 2. ( ) 1 i i x f x =∑ 3. ( ) ( ) i i f x P X x= = . Hàm phân phối tích lũy. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 6 Hàm phân phối tích lũy ( )F x của biến ngẫu nhiên rời rạc X với phân phối xác suất ( )f x là hàm số được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) t x F x P X x f t ≤ = ≤ =∑ với x−∞< < +∞ . ii. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm mật độ xác suất. Hàm mật độ xác suất ( )f x của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm số thực xác định trên tập số thực  và thỏa mãn xác điều kiện sau: 1. ( ) 0f x ≥ , với x∀ ∈  2. ( ) 1f x dx +∞ −∞ =∫ 3. P(a < X < b) = ( ) b a f x dx∫ . Hàm phân phối tích lũy. Hàm phân phối tích lũy ( )F x của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ ( )f x là hàm thực được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) x F x P X x f t dt −∞ = ≤ = ∫ , với x−∞< < +∞ . 5.Một số hân phối xác suất thường gặp. a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc i. Phân phối đều rời rạc Định nghĩa. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạcX với miền giá trị là { }1 2, ,..., kx x x và xác suất để X nhận mỗi giá trị có thể của nó là bằng nhau: ( ) ( ), i j P X x P X x i j= = = ∀ ≠ . Khi đó ta nói rằng biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc, và ta có: { }1 2 1 ( ; ) , , ,..., . k f x k x x x x k = ∈ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 7 Tham số đặc trưng:Cho BNN rời rạc X với miền giá trị là { }1 2, ,..., kx x x . Giá trị trung bình (kỳ vọng) và phương sai của phân phối đều rời rạc ( ; )f x k là 1( ) k i i x E X k µ == = ∑ và 2 2 1 ( ) . k i i x k µ σ = − = ∑ ii. Phân phối nhị thức. Định nghĩa. Phép thử Bernoulli là một quá trình thỏa mãn đồng thời các tính chất sau: 1. Một thí nghiệm gồm n phép thử cùng loại được lặp đi lặp lại. 2. Mỗi biến cố của một phép thử được phân loại theo biến cố thành công hoặc biến cố thất bại. 3. Xác suất thành công trong mỗi phép thử đều bằng nhau và được kí hiệu là p . 4. Các phép thử là độc lập. Định nghĩa. Số lần thành công X trong n phép thử Bernoulli được gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức. Phân phối xác suất của BNN rời rạc này được gọi là phân phối nhị thức. Xác suất được kí hiệu là b(x; n; p) - bởi vì nó phụ thuộc vào số phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép thử Công thức tính: Cho phép thử Bernoulli với xác suất thành công là p và thất bại là 1q p= − . Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức X (số lần thành công trong n phép thử độc lập), là ( ; , ) ( ) , 0,1,2,..., .x x n x n b x n p P X x C p q x n−= = = = Chú ý: 1. Do p + q = 1 nên ta được: 0 ( ; , ) 1 n x b x n p = =∑ 2. Nhiều khi ta cần tính P(X < r) và P(a ≤ X ≤ b). Khi đó ta cần các kết quả đã được tính sẵn, các tổng nhị thức: 0 ( ; , ) ( ; , ) r x B r n p b x n p = =∑ đã được tính sẵn và ghi trong Bảng A.1 trong phần phụ lục, với 1,2,...,20n = và các giá trị xác suất p từ 0,1 đến 0,9. Tham số đặc trưng: Giá trị trung bình (kỳ vọng) và phương sai của phân phối nhị thức b(x; n, p) được xác định bởi: npµ = và 2 npqσ = iii. Phân phối đa thức. Định nghĩa. Phép thử nhị thức trở thành phép thử đa thức nếu mỗi phép thử có nhiều hơn hai kết quả. Khi đó phân phối xác suất của phép thử đa thức được gọi là phân phối đa thức. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 8 Công thức tính: Nếu một phép thử có k kết cục E1, E2, …,Ek với xác suất tương ứng là p1, p2,…, pk, thì phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên 1 2 , ,..., k X X X biểu thị số lần xuất hiện của E1, E2, …,Ek tương ứng, trong dãy n phép thử độc lập là 1 2 1 2 , ,..., 1 2 1 2 1 2 ( , ,.., ; , ,..., , ) . ...k k x x x x x x k k n k f x x x p p p n C p p p= trong đó 1 1 , 1 k k i i i i x n p = = = =∑ ∑ . iv. Phân phối siêu bội. Định nghĩa. Khi chọn ngẫu nhiên một mẫu cỡ n từ N phần tử, ta quan tâm đến xác suất để chọn được x phần tử thành công. Phép thử kiểu này được gọi là phép thử siêu bội, nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau: 1. Một mẫu cỡ n được chọn ngẫu nhiên theo phương thức không hoàn lại từ N phần tử. 2. Trong N phần tử đã định rõ k phần tử là thành công và N – k phần tử còn lại là thất bại. Số phần tử thành công X trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội được gọi là phân phối siêu bội và các giá trị của nó được kí hiệu là ( ) ( ; , , )P X x h x N n k= = . Công thức tính: Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bộiX (biểu thị số thành công trong mẫu cỡ n được chọn ngẫu nhiên từ N phần tử) trong đó có k phần tử là thành công và N – k phần tử được đặt thất bại, được xác định bởi công thức: ( ; , , ) , 0,1,2,..., x n x k N k n N C C h x N n k x n C − −= = . Tham số đăc trưng: Trung bình (kỳ vọng) và phương sai của phân phối siêu bội h(x; N, n, k) được xác định bởi: nk N µ = và 2 1 . 1 N n k k n N N N σ  −  = −  −   v. Phân phối nhị thức âm. Xét một phép thử có các tính chất tương tự như các tính chất của phép thử nhị thức, nhưng số phép thử được lặp lại (độc lập) cho đến khi số lượng biến cố thành công xuất hiện là một con số được ấn định trước. Khi đó, ta quan tâm đến xác suất để có được k lần thành công và dừng lại ở lần thực hiện phép thử thứ x . Dãy phép thử kiểu này được gọi là dãy phép thử nhị thức âm. a. Định nghĩa. Số phép thử X để có được k biến cố thành công trong phép thử nhị thức âm được gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức âm, và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối nhị thức âm, kí hiệu các xác suất là *( ; , )b x k p . Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 9 b. Công thức. Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập với biến cố thành công xuất hiện trong một lần thực hiện có xác suất là p và biến cố thất bại xuất hiện với xác suất là 1q p= − , thì phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (biểu thị số phép thử cần phải thực hiện để có được lần thứ k biến cố thành công xuất hiện) là * 1 1 ( ; , ) , , 1, 2,...k k x k x b x k p C p q x k k k− − − = = + + vi. Phân phối hình học. Trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm là phân phối hình học và kí hiệu các giá trị của nó là ( ; )g x p . Định nghĩa. Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập và xác suất xuất hiện biến cố thành công trong mỗi phép thử là p và biến cố thất bại là q = 1 – p, thì phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (biểu thị số phép thử phải thực hiện đến khi một biến cố thành công xuất hiện) là 1( ; ) , 1,2, 3,...xg x p pq x−= = Tham số đặc trưng. Giá trị trung bình (kỳ vọng) và phương sai của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối hình học, là: 2 2 1 1 , p p p µ σ − = = vii. Phân phối Poisson và quá trình Poisson. Định nghĩa 1. Các phép thử cho kết quả là các giá trị bằng số của biến ngẫu nhiên X , biểu thị số biến cố sơ cấp xuất hiện trong suốt một khoảng thời gian cho trước (thể có độ dài bất kỳ) hoặc một miền xác định, được gọi là phép thử Poisson. Định nghĩa 2. Số biến cố sơ cấp X xuất hiện trong phép thử Poisson được gọi là biến ngẫu nhiên Poisson và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối Poisson. Công thức. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Poisson X, biểu thị số biến cố sơ cấp xuất hiện trong một khoảng thời gian cho trước hoặc một vùng định trước được ký hiệu bởi t, là ( , 0,1,2,... ! ) ( ; ) t xe x x t p x t λ λ λ − == trong đó λ là số biến cố xuất hiện trung bình trong một đơn vị thời gian hoặc vùng, và 2.71828...e ≈ Chú ý. Bảng A.2 chứa các tổng xác suất Poisson : 0 ( ; ) ( ; ) r x P r t p x tλ λ = =∑ với một số giá trị của tλ thay đổi từ 0,1 đến 18. Tham số đặc trưng. Giá trị trung bình(Kỳ vọng) và phương sai của phân phối Poisson ( ; )p x tλ đều bằng tλ . Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 10 b. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục i. Phân phối liên tục đều. Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối liên tục đều trên khoảng ;a b    nếu hàm mật độ của nó trên khoảng đó được xác định bởi: 1 khi ( ; , ) 0 khi ; a x b f x a b b a x a b  ≤ ≤=  −   ∉     Nhận xét: Nếu BNN liên tục X có phân phối đều trên [ ; ]a b , thì hàm phân phối của X được xác định bởi: 0 , ( ) ( ) , 1 , x x a x a F x f x dx a x b b a x b −∞   ∫ Tham số đặc trưng: Kỳ vọng và phương sai của phân phối đều được xác định bởi: 2 2 ( ) và . 2 12 a b b a µ σ + − = = ii. Phân phối chu)n. Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối hình quả chuông được gọi là một biến ngẫu nhiên chu)n. Mật độ của X được ký hiệu bởi ( ; , ).n x µ σ Phân phối chu)n: Cho biến ngẫu nhiên chuNn X , với kỳ vọng µ và phương sai 2 σ . Khi đó hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X được xác định bởi: 2 2 ( ) 2 1 ( ; , ) , , 3.14159... và 2.71828.... 2 x n x e x e µ σµ σ pi σ pi − − = −∞ < <+∞ = = Tham số đặc trưng. Nếu X là BNN chuNn có hàm mật độ ( ; , )n x µ σ thì 2( ) , X E X µ σ σ= = . Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 11 a.Công thức xác suất của BNN chu)n. Cho X là BNN chuNn có hàm mật độ ( ; , )n x µ σ khi đó: 2 2 1 1 (1/2)[( )/ ]2 1 2 1 ( ) ( ; , ) 2 x x x x x P x X x n x dx e dxµ σµ σ σ pi − −< < = =∫ ∫ Nhận xét: Bây giờ ta thực hiện bởi phép chuyển: .XZ µ σ − = Khi đó X nếu nhận các giá trị trong khoảng 1 2 ( , )x x thì biến ngẫu nhiên Z sẽ nhận các giá trị trong khoảng 1 2 1 2 1 2 ( , ) : , x x z z z z µ µ σ σ − − = = . Từ đó, chúng ta có thể viết 2 1 22 2 1 1 (1/2)[( )/ ]2 1 2 /2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ;0,1) ( ), 2 x x x z z z z z P x X x e dx e dz n z dz P z Z z µ σ σ pi pi − − − < < = = = = < < ∫ ∫ ∫ ở đó chúng ta thấy Z là một phân phối chuNn có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1. Định nghĩa phân phối chu)n tắc. Phân phối của biến ngẫu nhiên chuNn có kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1 được gọi là phân phối chu)n tắc: 2 2 1 ( ;0,1) , 2 x n x e x pi − = −∞< < +∞ iii. Phân phối mũ và phân phối gamma Hàm gamma là hàm thuộc lớp các hàm đặc biệt và được được định nghĩa bởi: đ1 0 ( ) trong ó 0.xx e dxαα α ∞ − −Γ = >∫ Tính chất của hàm Gamma. i. Bằng cách tích phân từng phần đặt: 1 và xu x dv e dxα− −= = , chúng ta nhận được công thức truy hồi sau: ( ) ( 1) ( 1).α α αΓ = − Γ − ii. Lặp lại công thức truy hồi chúng ta có: ( ) ( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 3),α α α α α α α αΓ = − − Γ − = − − − Γ − Đặc biệt: khi ,nα = với n là số nguyên dương thì: ( ) ( 1)( 2).... (1).n n nΓ = − − Γ Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 12 iii. Ta có : 0 (1) 1xe dx ∞ −Γ = =∫ . Do đó: ( ) ( 1)!n nΓ = − . iv. Một tính chất quan trọng của phân phối gamma đó là: (1 / 2) .piΓ = Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối gamma, với các tham số và α β , nếu hàm mật độ của nó được cho bởi đ 1 /1 , khi x 0 ( ) ( ) 0 trong ó , 0. xx e f x α β αβ α α β − −  >= Γ > Tham số đặc trưng. Kỳ vọng và phương sai của phân phối gamma là 2 2 và µ αβ σ αβ= = . iv. Phân phối mũ Một phân phối với 1α = được gọi là phân phối mũ Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối mũ, với tham số β , nếu hàm mật độ của nó được cho bởi đ /1 , khi x 0 ( ) 0 , khi 0 trong ó 0. xe f x x β β β −  >=  ≤ > Tham số đặc trưng. Kỳ vọng và phương sai của phân phối mũ là 2 2 và .µ β σ β= = v. Phân phối 2χ Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X có phân phối 2χ (Khi bình phương) với ν bậc tự do nếu hàm mật độ của nó được cho bởi /2 1 /2 /2 1 , 0 ( ) 2 ( / 2) 0 0 v x v x e dx x f x v x − −  >= Γ ≤ ở đó v là một số nguyên dương. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 13 Tham số