Bài tập đại số tuyến tính - Ma trận

Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý MA TRẬN A. CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN: Bài 2.1. Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu: a. ðổi chỗ dòng i và dòng j của ma trận A. b. Nhân dòng j của ma trận A với số c rồi cộng vào dòng i của nó. c. ðổi chỗ cột i và cột j của ma trận B. d. Nhân cột j của ma trận B với số c rồi cộng vào cột i của nó. Bài 2.2. Ký hiệu Ar x s là ma trận cấp r x s. Tìm m, n trong các trường hợp sau: a. A3 x 4 B4 x 5 = Cm x n b. A2 x 3 Bm x n = C2 x 6 c. A2 x m Bn x 3 = C2 x 3 Bài 2.3. Cho các ma trận : A =        3 0 -1 2 1 1 , B =        1 5 2 -1 1 0 -4 1 3 , C =        -3 -1 2 1 4 3 , D =      4 -1 2 0 Tìm các ma trận sau (nếu tồn tại) A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D2 . Bài 2.4. Cho các ma trận: A =      2 -1 3 0 1 2 , B =        -2 1 0 2 1 -1 , C =      1 1 0 1 a. Tính AB, ABC b. Tính (AB)3, C n với n ∈ N. c. Tìm ma trận chuyển vị của A. Bài 2.5. Cho các ma trận: A =         0 2 -1 1 1 -1 -2 -5 4 , B =        1 3 1 2 2 1 3 4 2 , C =        1 0 0 0 2 0 0 0 1 Tính: A.B, D = BCA, D6 Bài 2.6 Cho X =        1 2 3 4 5 6 và Y =        -1 3 4 . Tìm XXt, XtX, YYt, YtY Bài 2.7. Cho ma trận A =        1 -2 2 -6 1 4 2 -2 3 . Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3 Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý Bài 2.8. Cho A =      -1 0 1 0 1 1 . Nếu B3 x2 sao cho AB = I2 thì : B =         a b -a-1 1 - b a + 1 b ∀ a, b ∈ R. Khi ñó, CmR: (BA)2B = B. Bài 2.9. Cho A =      4 -3 1 0 . CmR A n = 3n - 1 2 A + 3 - 3n 2 I2, với mọi n ≥ 1, n ∈ N B. HẠNG CỦA MA TRẬN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Bài 2.9 Tìm dạng bậc thang dòng rút gọn của ma trận: a.        3 21 0 9 0 1 7 -1 -2 -1 2 14 0 6 1 6 42 -1 13 0 b.        1 1 0 -3 -1 1 -1 2 -1 0 4 -2 6 3 -4 2 4 -2 -4 -7 Bài 2.10 Tìm hạng của ma trận: a.        1 0 -2 -4 -1 5 1 3 7 5 0 -10 b.        1 -3 4 2 2 1 1 4 -1 -2 1 -2 c.        1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 d.       1 2 3 4 2 4 6 8 -1 3 -3 6 0 1 0 2 5 10 15 20 e.        0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 4 17 3 f.        1 2 0 30 -1 2 7 1 0 0 -5 0 1 0 2 Bài 2.11 Tùy theo giá trị của m, tính hạng của ma trận sau: a.        -1 0 2 1 0 2 1 -1 2 2 1 1 1 3 2 -2 -1 1 m -2 b.        -1 2 1 -1 1 m -1 1 -1 -1 1 m 0 1 1 1 2 2 -1 1 c.        -1 2 1 -1 1 m -1 1 -1 -1 1 m 0 1 1 1 2 2 -1 1 d.        m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m e.        3 m 1 2 1 4 7 2 1 10 17 4 4 1 3 3 f.        -1 12 4 8 2 1 1 3 -2 24 8 16 m 3 1 2 Bài 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss - Jordan: a.    x1 - x2 + x3 = -2 2x1 + x2 - 2x3 = 6 x1 + 2x2 + 3x3 = 2 b.    -x1 + 2x2 = 8 3x1 + x2 + x3 = 2 -2x1 - x2 = 1 Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý c.    2x1 - x2 + 3x3 - x4 = -1 -x1 + 2x2 - x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 4 d.    36.47x + 5.28y + 6.34z = 12.26 7.33x + 28.74y + 5.86z = 15.15 4.63x + 6.31y + 26.17z = 25.22 e.    2x1 - 3x2 - 4x3 + 5x4 = -13 4x1 - 6x2 + x3 - x4 = 14 6x1 - 9x2 + x3 + 2x4 = 13 2x1 - 3x2 - 2x3 - 4x4 = 9 f.    x1 - 4x2 + 3x3 = -22 2x1 + 3x2 + 5x3 = 12 x1 + 7x2 + 2x3 = 34 3x1 - x2 - 2x3 = 0 g.    6x1 - 5x2 - 7x3 + 8x4 = 3 3x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 14 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1 x1 + x2 + x3 = 0 h.    x + y + z + u + t = 15 x + 2y + 3z + 4u + 5t = 35 x + 3y + 6z + 10u + 15t = 70 x + 4y + 10z + 20u + 35t = 126 x + 5y + 15z + 35u + 70t = 210 Bài 2.13 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số thực m ∈ R: a.    3mx + (3m - 7)y + (m - 5)z = m - 1 (2m - 1)x + (4m - 1)y + 2mz = m + 1 4mx + (5m - 7)y + (2m - 5)z = 0 b.    x + 2y - z + t = m 2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1 x + + 7y - 5z + t = -m Bài 2.14 Cho A = (aij)n x n a. Nếu A2 = 0 thì A là ma trận suy biến (Không khả nghịch) b. Nếu A2 = A và A ≠ In thì A suy biến. Bài 2.15 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan) a.        1 0 1 0 0 2 -1 3 1 b.        1 1 -1 0 0 1 1 1 0 c.        0 0 2 1 2 6 3 7 9 d.        1 1 1 -1 1 0 2 0 0 e.        1 2 3 4 5 6 5 7 9 f.        0 0 2 1 2 6 3 7 9 Bài 2.16 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan) a.        0 0 0 40 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 b.        1 1 0 10 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 c.        1 1 0 10 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý d.        1 2 4 60 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 2 e.        1 -2 1 -1 -1 4 -2 3 2 0 1 3 -2 6 0 5 f.        2 -1 0 3 1 1 2 -1 -1 2 3 1 0 1 2 1 Bài 2.17 Cho A =      1 4 -3 1 . CmR A2 – 2A + 13 I2 = 0. Từ ñó suy ra rằng A-1 = - 1 13 (A – 2 I2). Tính A -1 Bài 2.18 Cho A =        1 1 -1 0 0 1 2 1 2 a. CmR A3 = 3A2 – 3A + I3 b. Biểu diễn A4 theoA2, A và I3. Từ ñó xác ñịnh A4 dưới dạng tường minh c. Sử dụng câu a ñể chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A-1. Bài 2.19 a. Cho B là ma trận vuông cấp n thỏa B3 = 0. Nếu A = In – B, chứng minh rằng ma trận A không suy biến và A-1 = In + B + B2 b. Áp dụng: nếu B =        0 r s 0 0 t 0 0 0 . Tìm (I3 – B)-1