Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ CHUỖI SỐ DƯƠNG CHUỖI ĐAN DẤU CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ Khi |q|1: §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có Vậy: §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Tổng riêng: Ta có: Tổng của chuỗi: §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Tổng riêng: Ta có: Vậy chuỗi đã cho phân kỳ §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Các chuỗi sau hội tụ với tổng Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn d’Alembert §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi * Khi α0: thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: Khi ấy: Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ta so sánh Vì là chuỗi hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: Khi ấy: §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2. Nếu 0 1 : phân kỳ D = 1 : không có kết luận Xét chuỗi số dương: §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : Xét chuỗi số dương:  q 1 : phân kỳ C = 1 : không có kết luận §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Rapb : (sử dụng khi D = 1 và Dn 1 : hội tụ R 1 ↔ a>e §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz : Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1 §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1/Ta có : Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz 2/ Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu Ta có §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi đan dấu với Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0. Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ → chuỗi đã cho HTTĐ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz 2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì Tức là chuỗi Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ta có chuỗi đã cho cũng PK §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Vậy chuỗi đã cho HTTĐ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi Và Chuỗi HT