Chương 5 Giải phương trình vi phân thường

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU) B- BÀI TOÁN BIÊN 1 – PHƯƠNG PHÁP EULER 1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN 2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO BÀI TOÁN CÔSI --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < … < tn = b MINH HOẠ Ý TƯỞNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chia [a, b]  n đoạn Tính wi, i = 0  n Sơ đồ Euler (i = 0  n – 1) S/đ Euler cải tiến (i = 0  n – 1) Sơ đồ Runge – Kutta: w0 = . Giả sử biết wi  Btoán Côsi: Tìm y(t) VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sơ đồ Euler: Giải: f(t,y) = y – t2 + 1 h = (b–a)/n = 1/3 KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng kết quả: Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.75 1.0 1.375 1.0625 2.515625 1.21875 VÍ DỤ RUNGE – KUTTA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chia [a, b] thành đoạn bằng nhau: Phân hoạch & rời rạc hoá MINH HOẠ Ý TƯỞNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xét bài toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường: Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 tại t = 0.5; 1 So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác: SƠ ĐỒ EULER ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- S/đồ Euler: VD: ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán Côsi cấp 2 (Ph/trình vi phân cấp 2 và đkiện đầu): VÍ DỤ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đổi biến đưa về bài toán Côsi cấp 1: u1 = y(t), u2 = y’(t)  BÀI TOÁN BIÊN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trình MINH HOẠ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CÔNG THỨC LẮP GHÉP ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- n mốc xk  (a, b) – ứng n giá trị yk chưa biết  Ma trận cấp n Ký hiệu pk = p(xk) … yk = y(xk), 1  k  n  y= [y1, … yn]T: Ay = b LẬP BẢNG LẮP GHÉP ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ độ dài h. n điểm chia xk (không kể 2 đầu) – ứng với yk chưa biết  n ẩn số yk Lập bảng cột xk  pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk)  akk (đ/chéo chính), ak,k+1 (chéo trên), ak-1,k (dưới), bk  Nghiệm yk Đ/chéo akk: k = 1  n; ak,k+1: k = 1  (n – 1), ak-1,k: k = 2  n VÍ DỤ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- h = 0.2  n = 5  6 điểm chia  Hệ phương trình 4 ẩn Ma trận cấp 4: Chéo chính akk – 4 phần tử; Chéo trên ak, k+1: 3 KẾT QUẢ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải hệ bằng phép khử Gauss (làm tròn 3 chữ số lẻ):