Chương 5 Ước lượng tham số

Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Ước lượng khoảng Ước lượng điểm Trung bình tổng thể Tỷ lệ tổng thể Ước lượng không chệch Ước lượng điểm  Dấu hiệu 𝑋 mà ta nghiên cứu trên một tổng thể có kỳ vọng 𝜇, phương sai 𝜎2 và tỷ lệ 𝑝 chưa biết, ta gọi chung là đặc trưng 𝜃.  Thống kê 𝑇 = 𝑇(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) được gọi là ước lượng điểm của đặc trưng 𝜃 nếu 𝑇 ≈ 𝜃.  𝑇 = 𝑇(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) được gọi là ước lượng không chệch của đặc trưng 𝜃 nếu 𝐸 𝑇 = 𝜃.  Định lý: Trung bình mẫu 𝑋 là ước lượng không chệch của 𝜇; Tỷ lệ mẫu 𝐹 là ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể 𝑝.  Khoảng (𝑎; 𝑏) được gọi là khoảng ước lượng của đặc trưng 𝜃 nếu 𝑎 < 𝜃 < 𝑏. Ước lượng khoảng  1 − 𝛼 = 𝑃(𝑇1 < 𝜃 < 𝑇2) là độ tin cậy của ước lượng, trong đó, 𝑇1, 𝑇2 là hai đại lượng thống kê trên mẫu 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 .  Nếu có 𝐸 𝑇 = 𝜃 thì khoảng ước lượng có dạng đối xứng (𝑇 − 𝜖; 𝑇 + 𝜖) số 𝜖 được gọi là sai số. Ước lượng trung bình tổng thể Bài toán: Kỳ vọng 𝜇 của dấu hiệu 𝑋 trên tổng thể chưa biết. Tìm khoảng ước lượng cho 𝜇 với độ tin cậy 1 − 𝛼. Lấy mẫu ngẫu nhiên (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛). Vì 𝐸 𝑋 = 𝜇 nên ta tìm khoảng ước lượng có dạng (𝑋 − 𝜖, 𝑋 + 𝜖). 𝑃 𝑋 − 𝜖 < 𝜇 < 𝑋 + 𝜖 = 1 − 𝛼 Trường hợp: 𝑛 ≥ 30 và 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 đã biết. 𝑃 − 𝜖 𝜎 𝑛 < 𝑋 − 𝜇 𝜎 𝑛 < 𝜖 𝜎 𝑛 = 1 − 𝛼 𝑋 − 𝜇 𝜎 𝑛~ 𝑁(0,1) 𝑃 0 < 𝑋 − 𝜇 𝜎 < 𝜖 𝜎 𝑛 = 1 − 𝛼 2 Ước lượng trung bình tổng thể Trường hợp: 𝑛 ≥ 30 và 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 đã biết. 𝑋 − 𝜇 𝜎 ~ 𝑁(0,1) 𝑃 0 < 𝑋 − 𝜇 𝜎 𝑛 < 𝜖 𝜎 𝑛 = 1 − 𝛼 2 Chọn 𝜖 𝜎 𝑛 = 𝑧𝛼: 𝑃 0 < 𝑍 < 𝑧𝛼 = 1 − 𝛼 2 𝜙(𝑧𝛼) = 1 − 𝛼 2 𝑋 − 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 , 𝑋 + 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 Khoảng ước lượng ngẫu nhiên Khoảng ước lượng thực nghiệm 𝑥 − 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 , 𝑥 + 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 Ước lượng trung bình tổng thể Trường hợp: 𝑛 ≥ 30 và 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 chưa biết. 𝜙(𝑧𝛼) = 1 − 𝛼 2 𝑋 − 𝑧𝛼 𝑠 𝑛 , 𝑋 + 𝑧𝛼 𝑠 𝑛 Khoảng ước lượng ngẫu nhiên Khoảng ước lượng thực nghiệm 𝑥 − 𝑧𝛼 𝑠 𝑛 , 𝑥 + 𝑧𝛼 𝑠 𝑛 Ước lượng trung bình tổng thể Trường hợp: 𝑛 < 30 và 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 , 𝜎2 đã biết. 𝜙(𝑧𝛼) = 1 − 𝛼 2 𝑋 − 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 , 𝑋 + 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 Khoảng ước lượng ngẫu nhiên Khoảng ước lượng thực nghiệm 𝑥 − 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 , 𝑥 + 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 Ước lượng trung bình tổng thể Trường hợp: 𝑛 < 30 và 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 , 𝜎2 chưa biết. 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 ~ 𝑇(𝑛 − 1) 𝑋 − 𝑡𝛼,𝑛−1 𝑆 𝑛 , 𝑋 + 𝑡𝛼,𝑛−1 𝑆 𝑛 Khoảng ước lượng ngẫu nhiên Khoảng ước lượng thực nghiệm 𝑥 − 𝑡𝛼,𝑛−1 𝑠 𝑛 , 𝑥 + 𝑡𝛼,𝑛−1 𝑠 𝑛 𝑃 𝑇 < 𝑡𝛼,𝑛−1 = 1 − 𝛼 Số 𝑡𝛼,𝑛−1 được tra từ bảng phân phối Student, thỏa 𝑇 là biến ngẫu nhiên có phân phối Student với 𝑛 − 1 bậc tự do. Ví dụ: Khảo sát 100 sinh viên một cách ngẫu nhiên thấy điểm trung bình môn XSTK là 5,12 và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 0,26 điểm. Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của sinh viên với độ tin cậy 97%. Ví dụ: Chiều dài của một loại sản phẩm theo luật phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm được chiều dài trung bình là 10,02m, độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh là 0,04m. Tìm khoảng ƯL chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với độ tin cậy 95%. Ước lượng trung bình tổng thể Ví dụ: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 ha đất trồng lúa của một vùng, người ta thu được bảng số liệu 1. Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin cậy 95%; 2. Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ/ha trở lên là những thửa ruộng có năng suất cao. Hãy ước lượng tỉ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ tin cậy 97%. Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 5 Ước lượng trung bình tổng thể Bài toán: Trên một tổng thể, tỷ lệ 𝑝 các phần tử có tính chất A chưa biết. Mẫu cụ thể kích thước 𝑛 có tỷ lệ là 𝑓. Ta tìm khoảng ước lượng cho 𝑝 với độ tin cậy 1 – 𝛼. Ước lượng tỷ lệ tổng thể Giải quyết: Chỉ xét 𝑛 ≥ 30. Ta có 𝐹~ 𝑁 𝑝, 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 . Suy ra 𝐹 − 𝑝 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 ~ 𝑁 0,1 Ước lượng tỷ lệ tổng thể Ta tìm 𝜖 sao cho 𝑃 𝐹 − 𝜖 < 𝑝 < 𝐹 + 𝜖 = 1 − 𝛼, hay 𝑃 0 ≤ 𝐹 − 𝑝 𝑝 1 − 𝑝 𝑛 < 𝜖 𝑝 1 − 𝑝 𝑛 = 1 − 𝛼 2 . Chọn 𝜖 𝑝 1 − 𝑝 𝑛 = 𝑧𝛼: 𝑃 0 < 𝑍 < 𝑧𝛼 = 1 − 𝛼 2 Suy ra khoảng ước lượng ngẫu nhiên 𝐹 − 𝑧𝛼 𝑝 1 − 𝑝 𝑛 , 𝐹 − 𝑧𝛼 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 . Khoảng ước lượng thực nghiệm 𝑓 − 𝑧𝛼 𝑓 1 − 𝑓 𝑛 , 𝑓 − 𝑧𝛼 𝑓(1 − 𝑓) 𝑛 . Ví dụ: Để ƯL tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu. 1. Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu trong kho với độ tin cậy 94%. 2. Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin cậy. Ước lượng tỷ lệ tổng thể BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí nghiệp thì thấy lương trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng. Giả sử lương công nhân tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 𝜎 = 0.075 triệu đồng. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp. Đáp số:  (1,5 0,0245;1,5 0,0245) Bài 2: Điểm trung bình môn XSTK của 100 sinh viên trong một đợt thi cuối kỳ là 5,5 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh s = 2,5: 1. Hãy ƯL điểm trung bình của toàn bộ sinh viên dự thi với độ tin cậy 97%; 2. Với sai số 0,25 điểm. Hãy xác định độ tin cậy BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Bài 3: Tuổi thọ của một loại bóng đèn tuân theo luật phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn 100 giờ. 1. Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy tuổi thọ trung bình của mỗi bóng là 1000 giờ. Hãy ƯL tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên với độ tin cậy 95%; 2. Với độ chính xác 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy; 3. Với độ chính xác 25 giờ, độ tin cậy 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng? BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Bài 4: Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực tuân theo luật phân phối chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của một bao là 48kg, và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 1. Với độ tin cậy 95%, hãy ƯL trọng lượng trung bình của một bao bột mì trong cửa hàng; 2. Với độ chính xác 0,26kg. Hãy xác định độ tin cậy; 3. Với độ chính xác 160g, độ tin cậy 95% thì cần kiểm tra bao nhiêu bao? 2 2s (0,5kg) . BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Bài 5: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt, mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn. 1. Với độ tin cậy 95%, hãy ƯL tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng; 2. Muốn ƯL tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu? 3. Muốn ƯL tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ chính xác 1% và độ tin cậy đạt được là 99% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt? 4. Muốn ƯL tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy đạt được là 99,70% thì độ chính xác đạt được là bao nhiêu? BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Bài 6: Đo đường kính 100 chi tiết do một máy sản xuất, kết quả cho ở bảng sau: Đường kính (mm) Số chi tiết Đường kính (mm) Số chi tiết 19,5 – 20,0 3 21,5 – 22,0 23 20,0 – 20,5 5 22,0 – 22,5 14 20,5 – 21,0 16 22,5 – 23,0 7 21,0 – 21,5 28 23,0 – 23,5 4 Quy định những chi tiết có đường kính từ 20,5mm đến dưới 22,5mm là những chi tiết đạt chuẩn. 1. ƯL đường kính trung bình của những chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%; 2. ƯL tỷ lệ chi tiết đạt chuẩn với độ tin cậy 95,5%; 3. Muốn ƯL đường kính trung bình của chi tiết có độ chính xác 0,08mm và ƯL tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn có độ chính xác 5% với cùng độ tin cậy 99% thì cần đo thêm bao nhiêu chi tiết nữa?