Dạy Văn Hóa Toán học cho học sinh

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 3-7 This paper is available online at DẠY VĂN HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GS.TS. Bùi Văn Nghị Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội E-mail: nghibuivan@gmail.com Tóm tắt. Quan điểm của chúng tôi là giảng dạy Toán học không chỉ dạy để giải quyết vấn đề hoặc các bài tập mà còn giảng dạy văn hóa Toán học cho học sinh. Điều quan trọng trong việc giảng dạy toán là làm cho học sinh thấy được ý nghĩa của các kiến thức toán học, nhìn thấy Toán học kết nối với cuộc sống thực. Chúng ta cần phải làm cho học sinh thấy các ý tưởng tuyệt vời trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn đặt ra từ thực tiễn. Từ khóa: Văn hóa toán học, dạy học môn Toán, kiến thức Toán học. 1. Mở đầu Ngày nay, trên thế giới, quan điểm về dạy học môn Toán ở trường phổ thông đang có nhiều thay đổi. Theo Rachel Sorensen, các giáo viên ngày nay cần phải giúp học sinh phát triển các kĩ năng mà họ sẽ sử dụng hàng ngày để giải quyết các vấn đề, bao gồm khả năng giải thích các ý tưởng, khả năng tìm kiếm thông tin cần thiết, khả năng làm việc với những người khác về một vấn đề trong các tình huống khác nhau [4]. Zemelman, Daniels và Hyde (1998) cho rằng mục tiêu của giáo viên toán là giúp cho tất cả học sinh nhận thấy rằng Toán học là hữu ích và có ý nghĩa đối với bản thân, giúp cho các em tự tin rằng mình có thể hiểu và áp dụng được Toán học. Có một nguyên tắc, định hướng giảng dạy là: tập trung vào các ý tưởng Toán học trước khi dạy các kĩ năng cụ thể. Giáo viên giảng dạy có hiệu quả nếu biết làm cho học sinh đề xuất các quan niệm, biết tổ chức các nhóm hợp tác làm việc, biết khuyến khích học sinh giao tiếp Toán học và sử dụng nhiều phương án, nhiều chiến thuật. Hội đồng quốc gia giáo viên Toán (NCTM, 2000) đề ra yêu cầu học Toán đối với học sinh trường trung học là: có khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải quyết vấn đề (các vấn đề đó có thể nảy sinh trong Toán học hoặc từ thực tiễn), biết điều chỉnh và áp dụng một loạt các chiến lược thích hợp để giải quyết, giám sát và phản ánh được quá trình giải quyết vấn đề. 3 Bùi Văn Nghị Hiện nay, các giáo viên toán của chúng ta mất rất nhiều thời gian để trang bị cho học sinh những tri thức đã được quy định trong chương trình và tập trung chủ yếu vào việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. Bởi vậy, rất khác so với những vấn đề mà thế giới đang quan tâm, như đã trình bày ở trên. Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một quan điểm là: Dạy học môn Toán không chỉ là dạy giải toán mà là dạy văn hóa Toán học cho học sinh. Trong đó, văn hóa Toán học bao gồm tổng thể những tri thức giá trị, tri thức phương pháp của Toán học và những giá trị tinh thần ẩn chứa trong những tri thức đó. 2. Nội dung nghiên cứu Để đạt được mục đích dạy văn hóa Toán học cho học sinh, chúng tôi đề xuất dạy học môn Toán ở trường phổ thông theo phương hướng sau: Thứ nhất, làm cho học sinh thấy được những ý tưởng có giá trị lớn trong việc giải quyết những vấn đề khó đặt ra từ thực tiễn. Chẳng hạn, tư tưởng “vi phân” (chia nhỏ) và “giới hạn”: Với các đơn vị đo độ dài, người ta có thể đo được độ dài của những đoạn thẳng bất kì. Vậy ta có thể đo độ dài của những đường cong hữu hạn như thế nào? Một giải pháp được đề xuất là: dùng dây áp trùng khít vào đường cong đó để thay độ dài của đường cong bằng độ dài của đoạn dây, giống như đo độ dài vành xe đạp. Tương tự, với các đơn vị đo diện tích, người ta có thể đo được diện tích của những đa giác phẳng bất kì. Vậy ta có thể đo diện tích của những hình phẳng được giới hạn bởi những đường cong như thế nào? Đo thể tích của những khối được giới hạn bởi những mặt cong như thế nào? Với tư tưởng “vi phân” và “giới hạn” các nhà Toán học đã đưa ra cách tính diện tích hình thang cong, từ đó tính được diện tích của hình phẳng bất kì khi biết phương trình của những đường cong biên của chúng. Để tính diện tích mặt xung quanh hình trụ, hình nón, các nhà Toán học đã đưa ra cách tìm giới hạn của diện tích xung quanh lăng trụ đều, chóp đều nội tiếp trụ, hình nón đó, khi số cạnh đáy của lăng trụ đều, chóp đều nội tiếp đó tăng lên vô hạn [5]. Cũng tương tự, để tính thể tích các khối trụ, khối nón, các nhà Toán học đã đưa ra cách tìm giới hạn của tính thể tích các khối lăng trụ đều, khối chóp đều nội tiếp khối trụ, khối nón đó, khi số cạnh đáy của các khối lăng trụ đều, chóp đều nội tiếp đó tăng lên vô hạn. Nếu ta coi diện tích hình tròn (O;R) là giới hạn của tổng n tam giác cân với đỉnh là O, hai cạnh bên là hai bán kính, cạnh đáy là những cung vô cùng bé của đường tròn (O;R), khi n tăng lên vô hạn, ta sẽ được diện tích hình tròn (O;R) bằng diện tích tam giác có đường cao bằng R, cạnh đáy bằng độ dài đường tròn: S = 1 2 2piR.R = piR2. 4 Dạy văn hóa Toán học cho học sinh Tương tự, nếu ta coi thể tích khối cầu (O;R) là giới hạn của tổng n khối nón với đỉnh là O, các đường sinh là các bán kính R, các mặt đáy là các mảnh vô cùng bé của mặt cầu (O, R), khi n tăng lên vô hạn, ta sẽ được thể tích khối cầu (O;R) bằng thể tích khối nón có đường cao bằng R, diện tích mặt đáy bằng diện tích mặt cầu: V = 1 3 4piR2.R = 4 3 piR2 Một ví dụ khác: Trong một phạm vi nào đó, hai đường thẳng là song song khi chúng đồng phẳng và không cắt nhau. Nhưng, nếu ta xem như chúng là hai đường thẳng cắt nhau ở vô tận, chẳng hạn hai sợi dây dọi cắt nhau ở tâm trái đất, thì ta có Hình học của Lobasepski, cơ sở Toán học của thuyết tương đối Anhxtanh. Thứ hai, làm cho học sinh thấy được ý nghĩa của những kiến thức Toán học, thấy được cái mà Toán học đem lại cho sự tiến bộ về kinh tế xã hội của nhân loại. Lấy ví dụ: Định lí Vi-et đối với đa thức được dạy ngay từ Trung học Cơ sở và rất dễ hiểu đối với học sinh. Tuy nhiên, đa số giáo viên chỉ dạy định lí Vi-et như là một định lí quan trọng của Toán học với nhiều áp dụng trong giải bài tập nhất là bài tập trong các kì thi. Điều quan trọng hơn là phải cho học sinh thấy rằng định lí Vi-et là cơ sở hình thành lí thuyết mã hóa vào cuối thế kỉ XIX và lí thuyết mật mã ngày nay. Có lẽ khó có thể tìm được ai trên thế giới mà chưa từng dùng điện thoại di động hay là thẻ ngân hàng. Bảo mật cho tất cả những cái đó chính là lí thuyết mật mã trên các đường cong đại số mà gốc rễ của chúng chính là định lí Vi-et quen thuộc. Thứ ba, làm cho học sinh thấy rõ giá trị thực tiễn của những tri thức Toán học. Giá trị của văn hóa Toán học được thể hiện rõ nét ở tính thực tiễn của nó. Tuy nhiên, với chương trình, nội dung môn Toán còn quá tải như hiện nay thì khó có thể làm cho học sinh thấy rõ giá trị thực tiễn của những tri thức Toán học. Với kiến thức về tỉ số phần trăm, ngay từ lớp 8 Trung học Cơ sở, chúng ta đã có thể cho học sinh làm bài toán so sánh việc gửi tiết kiệm lãi suất 12% một năm với việc gửi tiết kiệm với lãi suất 9% một tháng theo kiểu lãi kép thì gửi cách nào có lợi hơn. Trong dạy học Thống kê, cần tập luyện cho học sinh bước đầu vận dụng thống kê vào thực tiễn. Cụ thể là rèn luyện cho học sinh bước đầu biết trình bày các số liệu thống kê, hiểu ý nghĩa và biết cách tìm các số đặc trưng của các số liệu, tìm thấy các ứng dụng của thống kê trong đời sống, xã hội. Bảng phân bố tần số, tần suất cho ta biết mỗi số liệu thống kê (mỗi giá trị của dấu hiệu) xuất hiện bao nhiêu lần và chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm của tổng số số liệu. Nếu đó là bảng phân bố tần số, tần suất điểm kiểm tra của các học sinh trong lớp thì ta biết chiếm tỉ lệ cao nhất là loại điểm nào, phần lớn các học sinh trong lớp được từ mấy điểm trở lên. 5 Bùi Văn Nghị Số trung bình cộng, số trung vị cho ta những thông tin cô đọng về mẫu số liệu, đại diện cho mẫu số liệu. Nếu trung bình cộng của các điểm kiểm tra ở lớp này cao hơn lớp kia thì ta có thể nói rằng kết quả làm bài kiểm tra của lớp này hơn lớp kia.... Chúng ta có thể yêu cầu học sinh thống kê điểm kiểm tra, chiều cao, cân nặng, sở thích cá nhân, mức tiêu thụ điện hàng tháng của gia đình..., lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, tìm các số đặc trưng. Sau đó giáo viên nên đặt ra thêm các câu hỏi: - Các em có nhận xét gì về kết quả đã tìm được? - Kết quả tìm được có ý nghĩa gì? - So sánh các kết quả ta kết luận được điều gì? - Từ kết quả thu được rút ra được kết luận gì, có kiến nghị gì? Qua những việc làm cụ thể như trên chắc hẳn học sinh sẽ thấy rõ hơn ý nghĩa của những tri thức Toán học. Trong bài báo Nghiên cứu khoa học ở trường phổ thông [1], tôi đã đề xuất việc tổ chức cho học sinh tham gia những đề tài nghiên cứu giải quyết những bất cập ở tầm vi mô và vĩ mô, như vấn đề giao thông, giới tính, bạo lực. . . nhằm đưa tri thức học đường vào đời sống, mà ở Hoa Kì người ta đã tổ chức trao giải nghiên cứu khoa học thường niên như vậy trong hàng chục năm qua [5]. Chúng ta có thể làm được công việc đó hay không? Kết quả của các cuộc thi tuổi trẻ sáng tạo ở nước ta phần nào đã chứng tỏ học sinh chúng ta hoàn toàn có thể làm được việc đó [6]. Vấn đề là chúng ta phải thay đổi chương trình, nội dung, phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông như thế nào? Trong bài báo Liên hệ Toán học với thực tiễn [2] chúng tôi đã trình bày việc áp dụng những kiến thức Toán học thông thường để giải thích một số hiện tượng thực tiễn trong cuộc sống, như là: Vì sao mặt nước trong chiếc cốc hình trụ đặt nghiêng là hình elíp? Vì sao vết cắt xiên phẳng một ống tre là một đường elíp? v.v... Thứ tư, phát triển tư duy cho học sinh trong giáo dục Toán học Chúng ta đều biết rằng nhiệm vụ cơ bản của việc dạy học là trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năng, giáo dục nhân cách và phát triển tư duy cho học sinh. Chúng tôi cho rằng: điều quan trọng nhất trong dạy học môn Toán là “phát triển tư duy cho học sinh”. Bởi vì thực tiễn đã chứng tỏ rằng: những gì của môn Toán còn đọng lại ở học sinh sau khi rời ghế nhà trường không phải là những tri thức toán học, những bài toán, mà là tư duy Toán học. Có thể kể ra những loại hình tư duy quan trọng nhất trong Toán học sau đây: tư duy sáng tạo, tư duy lôgic, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy trừ tượng. . . Trong quá trình dạy học môn Toán ta có thể hướng dẫn học sinh xây dựng được những quy trình có tính thuật toán để giải một số lớp bài toán, có thể tạo ra những tình huống mở để phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. . . 6 Dạy văn hóa Toán học cho học sinh 3. Kết luận Dạy học môn Toán ở nước ta hiện nay còn nặng về trang bị những tri thức Toán học và rèn luyện kĩ năng giải toán, ít chú ý đến dạy văn hóa Toán học cho học sinh. Cần phải làm cho học sinh thấy được những ý tưởng có giá trị lớn trong việc giải quyết những vấn đề khó đặt ra từ thực tiễn, thấy được ý nghĩa, giá trị của những tri thức Toán học, những cái mà Toán học đem lại cho sự tiến bộ về kinh tế xã hội của nhân loại. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Nghị, 2011. Scientific Research of high school students. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội, ISSN 0868 - 3719, volume 56, 1/2011, trang 47. [2] Bùi Văn Nghị, 2010. Connecting mathematics with real life. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội, ISSN 0868 - 3719, Vol. 55, 1/2010, trang 3 - 7. [3] Đoàn Quỳnh (chủ biên), 2009. Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao. Nxb Giáo dục, Hà Nội, trang 51. [4] [5] Contest Registration and Instructions. [6] Trao giải thưởng cuộc thi sáng tạo thanh, thiếu niên nhi đồng lần thứ VI. ABSTRACT Teaching the culture of mathematics to students Our point of view is: The teaching of mathematics teaching is not just teaching students how to solve problems or do exercises. It should also be the teaching of the culture of mathematics. It is important that mathematics students can see the usefulness of the mathematics and connect mathematics with real life. We need to make students see the great ideas involved in solving difficult problems posed in their lessons. 7