Đề cương bài giảng Toán cơ sở

1 Tr−ờng đại học s− phạm Khoa đμo tạo giáo viên mầm non Nguyễn Thị Tuyết Mai Đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non Trình độ đại học Thái Nguyên - 2009 2 Mục lục Lời nói đầu Ch−ơng 1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp 4 1.2. Các phép toán trên tập hợp 7 1.3. ánh xạ 10 1.4. Quan hệ 13 1.5. Giải tích tổ hợp 18 Bài tập ch−ơng 1 20 Ch−ơng 2. Cấu trúc đại số 2.1. Phép toán hai ngôi 24 2.2. Cấu trúc nhóm 28 2.3. Cấu trúc vành 32 2.4. Cấu trúc tr−ờng 35 Bài tập ch−ơng 2 37 Ch−ơng 3. Định thức, ma trận, hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.1. Ma trận 40 3.2. Định thức 47 3.3. Hệ ph−ơng trình tuyến tính 53 Bài tập ch−ơng 3 59 Ch−ơng 4. Số tự nhiên 4.1. Hệ thống số tự nhiên 64 4.2. Các phép toán trên tập các số tự nhiên 66 4.3. Hệ đếm và cách ghi số đếm 69 Bài tập ch−ơng 4 78 Ch−ơng 5. Đại số véc tơ và hình học giải tích 5.1. Véc tơ 80 5.2. Toạ độ trên đ−ờng thẳng 84 5.3. Ph−ơng pháp toạ độ trên mặt phẳng 85 5.4. Ph−ơng pháp toạ độ trong không gian 87 Bài tập ch−ơng 5 95 Tài liệu tham khảo 96 3 lời nói đầu Một trong những nhiệm vụ của ng−ời giáo viên mầm non là hình thành cho trẻ những biểu t−ợng toán học sơ đẳng. Vì vậy, ng−ời giáo viên mầm non cần phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ. Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần ph−ơng pháp hình thành biểu t−ợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non. Đồng thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d- −ỡng, ph−ơng pháp nghiên cứu khoa học, ... Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói riêng đang trên con đ−ờng xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có đ−ợc một tài liệu học tập, đ−ợc sự phê duyệt của Ban Giám hiệu tr−ờng Đại học S− phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên soạn đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ đại học. Đề c−ơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của toán học nh− số học, đại số, hình học và đ−ợc tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội dung đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học giải tích và giải tích tổ hợp. Tác giả mong nhận đ−ợc những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả về nội dung cũng nh− việc trình bày để đề c−ơng bài giảng này đ−ợc hoàn thiện hơn. 4 Ch−ơng 1: Cơ sở của lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp 1.1.1. Khái niệm tập hợp Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó không đ−ợc định nghĩa, d−ới đây là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp. Những vật, những đối t−ợng toán học,... đ−ợc tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập những tập hợp. Ng−ời ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trong một tr−ờng, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỷ, tập hợp các số thực, tập hợp các nghiệm của một ph−ơng trình, ... Các vật trong tập hợp X đ−ợc gọi là các phần tử của tập hợp X. Kí hiệu x X∈ đọc là “ x là một phần tử của tập X” hoặc “x thuộc X”. Nếu x không thuộc tập X, kí hiệu x X∉ . 1.1.2. Ph−ơng pháp biểu diễn một tập hợp a) Ph−ơng pháp liệt kê Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp. Các phần tử đ−ợc viết trong dấu ngoặc { . }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặc dấu ;). Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d đ−ợc viết d−ới dạng liệt kê là { }, , ,A a b c d= . Ph−ơng pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có không nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử. Trong tr−ờng hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biết đ−ợc một đối t−ợng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên { }0,1,2,3,...= . +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: { }2 0,2,4,6,...= . +) Tập hợp cácc −ớc của 20: { }2 1,2,4,5,10,20= . 5 Chú ý: Một tập hợp đ−ợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tử của nó. b) Ph−ơng pháp nêu tính chất đặc tr−ng Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất đặc tr−ng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta có thể xác định đ−ợc một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không. Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu diễn X nh− sau: { |X x= x có tính chất P} hoặc { }| ( )X x P x= . Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: { }2 | 2 ,x x n n= = ∈ . +) Tập hợp các −ớc của 15: { }| ;15X x x x= ∈ M . +) Tập hợp các bội của 3: { }| 3 ,X x x n n= = ∈ . 1.1.3. Các tập hợp đặc biệt a) Tập hợp rỗng Một tập hợp không chứa phần tử nào đ−ợc gọi là tập rỗng, ký hiệu:∅ Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của ph−ơng trình 2 1 0x + = là tập rỗng. +) Tập các đ−ờng thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng. b) Tập hợp một, hai phần tử Giả sử x là một vật hay một đối t−ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là { }x chỉ gồm một phần tử x đ−ợc gọi là tập hợp một phần tử (tập đơn tử). Giả sử x, y là hai vật hay hai đối t−ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là { },x y chỉ gồm 2 phần tử x, y đ−ợc gọi là tập hợp hai phần tử. T−ơng tự nh− trên ta có thể định nghĩa các tập hợp ba, bốn, ... phần tử, các tập hợp đó cùng với tập hợp rỗng đ−ợc gọi là các tập hữu hạn, còn các tập hợp khác đ−ợc gọi là các tập vô hạn. Ví dụ: +) Tập các −ớc của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử). +) Tập các bội của 3 là tập vô hạn. +) tập các số tự nhiên là tập vô hạn. +) Tập các trẻ trong một lớp là tập hữu hạn. 6 1.1.4. Hai tập hợp bằng nhau a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đ−ợc gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ng−ợc lại. Nh− vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử nh− nhau. Hay x A x B A B x B x A ∀ ∈ ⇒ ∈⎧= ⇔ ⎨∀ ∈ ⇒ ∈⎩ . b) Ví dụ: +) { } { }| , 6 ; | , 2, 3X x x x Y x x x x X Y= ∈ = ∈ ⇒ = M M M . +) X là tập hợp các hình bình hành có một góc vuông, Y là tập các hình chữ nhật thì X = Y. 1.1.5. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X. Một tập hợp A đ−ợc gọi là tập con (hay bộ phận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X. Kí hiệu A X⊂ (hoặc X A⊃ ) và đọc là A chứa trong X, hoặc A là một bộ phận của X, hoặc A là một tập con của X. Quan hệ A X⊂ đ−ợc gọi là quan hệ bao hàm. b) Ví dụ: +) 2 N⊂ +) Tập hợp các hình vuông là tập con của tập hợp các hình chữ nhật. c) Tính chất +) ,A A∅⊂ ∀ +) A A⊂ +) Nếu ,A B B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂ +) Nếu A B⊂ và B A A B⊂ ⇒ = 1.1.6. Họ các tập con của một tập hợp a) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, các tập con của X lập thành một tập hợp, kí hiệu P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X. Tập hợp này bao gồm ít nhất một phần tử chính là tập X. 7 b) Ví dụ: +) Nếu X =∅ thì P(X) = { }∅ . +) Nếu { }X a= thì P(X) = { }{ }, a∅ . +) Nếu { },X a b= thì P(X) = { } { } { }{ }, , , ,a b a b∅ . Chú ý: Ta có thể chứng minh đ−ợc rằng nếu X là một tập hợp hữu hạn gồm n phần tử thì P(X) là một tập hợp hữu hạn gồm 2n phần tử. 1.2. Các phép toán trên tập hợp 1.2.1. Hợp của các tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp X, Y đ−ợc gọi là hợp của hai tập hợp X, Y, kí hiệu X Y∪ . Theo định nghĩa { |X Y x x X∪ = ∈ hoặc }x Y∈ . Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr−ờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp 1 2, ,..., nA A A . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong n tập hợp 1 2, ,..., nA A A đ−ợc gọi là hợp của các tập hợp 1 2, ,..., nA A A , kí hiệu 1 2 ... nA A A∪ ∪ ∪ . b) Ví dụ: +) { } { } { }, , , , , , , , , , , .X a b c d Y d e f X Y a b c d e f= = ⇒ ∪ = +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì X Y∪ là tập các số tự nhiên chia hết cho 2. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A A A∪ = , A A∪∅ = +) Nếu B A⊂ thì A B A∪ = +) A B B A∪ = ∪ +) ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ 1.2.2. Giao của các tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai 8 tập hợp (phần tử chung của) X, Y đ−ợc gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệu X Y∩ . Theo định nghĩa { |X Y x x X∩ = ∈ và }x Y∈ . Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr−ờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp 1 2, ,..., nA A A . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tất cả n tập hợp 1 2, ,..., nA A A đ−ợc gọi là giao của các tập hợp 1 2, ,..., nA A A , kí hiệu 1 2 ... nA A A∩ ∩ ∩ . b) Ví dụ: +) { } { } { }, , , , , , .X a b c d Y d e f X Y d= = ⇒ ∩ = +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì X Y∩ là tập các số tự nhiên chia hết cho 6. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A A A∩ = , A∩∅ =∅ +) Nếu B A⊂ thì A B B∩ = +) A B B A∩ = ∩ +) ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ 1.2.3. Hiệu của hai tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp X nh−ng không thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là hiệu của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu \X Y . Theo định nghĩa \ { |X Y x x X= ∈ và }x Y∉ . b) Ví dụ: +) { } { } { } { }, , , , , , \ , , , \ , .X a b c d Y d e f X Y a b c Y X e f= = ⇒ = = +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì \X Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 3, \Y X =∅ . c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) \ , \A A A A=∅ ∅ = . +) Nếu B A⊂ thì \ ; \B A A B=∅ đ−ợc gọi là phần bù của B trong A và kí hiệu \ AA B C B= . 9 +) \ ( \ )B B A A= . +) Nếu B A⊂ thì \ \C A C B⊂ . 1.2.4. Tích Đề Các của hai tập hợp. a) Định nghĩa: +) Một dãy gồm 2 phần tử a, b sắp thứ tự đ−ợc gọi là một cặp sắp thứ tự, kí hiệu (a, b). +) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng. Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là tích Đề Các của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu X Yì . Theo định nghĩa {( , ) | , }X Y x y x X y yì = ∈ ∈ . Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho tr−ờng hợp nhiều tập hợp: Định nghĩa: Cho các tập hợp 1 2, ,..., nA A A . Ta định nghĩa 1 2 3 1 2 3( ) ,A A A A A Aì ì = ì ì 1 2 3 4 1 2 3 4( ) ,...,A A A A A A A Aì ì ì = ì ì ì 1 2 1 2 1... ( ... )n n nA A A A A A A−ì ì ì = ì ì ì . Tích Đề Các ...X X Xì ì ì của n tập hợp X kí hiệu nX . Tích Đề Các 2X X Xì = còn đ−ợc gọi là bình ph−ơng Đề Các của tập hợp X. b) Ví dụ: { } { } { }, , , 1,2 ( ,1),( ,2),( ,1),( ,2),( ,1),( ,2) ;X a b c Y X Y a a b b c c= = ⇒ ì = { }(1, ),(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(2, )Y X a b c a b cì = . c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: Aì∅ =∅ +) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các X Yì bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y. *) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nh−ng có tính chất kết hợp. 1.2.5. Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp a) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ +) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ Hệ quả: Với các tập A, B bất kỳ ta có: 10 +) ( )A A B A∩ ∪ = +) ( )A B B B∩ ∪ = b) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) \ ( ) ( \ ) ( \ )A B C A B A C∪ = ∩ +) \ ( ) ( \ ) ( \ )A B C A B A C∩ = ∪ 1.3. ánh xạ 1.3.1. Khái niệm ánh xạ a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một quy tắc cho t−ơng ứng mỗi phần tử x thuộc tập hợp X với một và chỉ một phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu :f X Y→ hoặc fX Y⎯⎯→ ( )x f xa ( )x f xa Tập hợp X đ−ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y đ−ợc gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. b) Ví dụ: +) { } { }, , , , , ,X a b c d Y d e f= = t−ơng ứng: a d b d c e d f a a a a là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. +) { } { }, , 1,2,3X a b Y= = t−ơng ứng: 1 2 a b a a là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. +) Xét tập hợp các số tự nhiên, t−ơng ứng: 2n na là một ánh xạ từ đến . +) Xét tập hợp các số thực, t−ơng ứng: 2 3 2x x x− +a là một ánh xạ từ đến . 11 +) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong lớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ). +) T−ơng ứng từ tập các con ng−ời trên trái đất đến tập các con ng−ời trên trái đát theo quy tắc mỗi ng−ời phụ nữ t−ơng ứng với con đẻ của mình không phải là một ánh xạ vì một ng−ời phụ nữ có thể có nhiều hơn một con. Nh−ng nếu theo quy tắc mỗi ng−ời với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi ng−ời đều có một và chỉ một mẹ đẻ. Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà ta đã học trong ch−ơng trình phổ thông. Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồn và tập đích là tập hợp số thực hoặc bộ phận của nó và số f(x) t−ơng ứng với x đ−ợc xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức l−ợng giác, chẳng hạn 2( ) 3 2 4f x x x= − + hay ( ) 2sin 4cos2f x x x= + . +) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f(x) t−ơng ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thức đại số, không bắt buộc là số. 1.3.2. ảnh và tạo ảnh a) Định nghĩa: Giả sử :f X Y→ là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y. x là một phần tử bất kỳ của X, A là một tập con bất kỳ của X, B là một tập con bất kỳ của Y. Ta gọi: +) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x. +) ( ) { |f A y Y x A= ∈ ∃ ∈ sao cho ( ) }f x y= là ảnh của tập hợp A bởi f. +) 1( ) { | ( ) }f B x X f x B− = ∈ ∈ là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f. b) Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp { }, , ,X a b c d= đến tập hợp { }, ,Y d e f= xác định bởi: ; ; ;a d b d c e d fa a a a { }, , , { , }A a b c X B e f Y= ⊂ = ⊂ . Ta có ( ) { , }f A d e= , 1( ) { , }f B c d− = . 12 Nhận xét: +) ( )f ∅ =∅ với mọi ánh xạ f. +) 1( ( ))A f f A−⊂ với mọi bộ phận A của X. +) 1( ( ))B f f B−⊃ với mọi bộ phận B của Y. 1.3.3. Đơn ánh a) Định nghĩa: ánh xạ :f X Y→ đ−ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi , 'x x thuộc X, nếu ( ) ( ')f x f x= thì 'x x= hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y. Hay định nghĩa t−ơng đ−ơng: ánh xạ :f X Y→ đ−ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi , 'x x thuộc X, nếu 'x x≠ thì ( ) ( ')f x f x≠ . Một đơn ánh còn đ−ợc gọi là ánh xạ một đối một. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một đơn ánh. +) ánh xạ 3: ,f x x→ a là một đơn ánh. +) ánh xạ 2: , 3 2f x x x→ − + a không là đơn ánh vì có f(1) = f(2) = 0 mà rõ ràng 1 2≠ . +) ánh xạ ,X X x x→ a là một đơn ánh và gọi là ánh xạ đồng nhất của X, kí hiệu xid hoặc 1x . +) Nếu X Y⊂ thì ánh xạ ,X Y x x→ a là một đơn ánh và gọi là đơn ánh chính tắc từ X đến Y hay ánh xạ nhúng chính tắc X vào Y. 1.3.4. Toàn ánh a) Định nghĩa: ánh xạ :f X Y→ đ−ợc gọi là một toàn ánh nếu với mọi phần tử y thuộc Y, có ít nhất một phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y. Hay nói cách khác f là toàn ánh nếu ( )f X Y= . Một toàn ánh còn đ−ợc gọi là một ánh xạ lên. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn 13 ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ. +) ánh xạ ,X X x x→ a là một toàn ánh. +) ánh xạ : 2 , 2f n n→ a là một toàn ánh. +) ánh xạ 2: , 3 2f x x x→ − + a không là toàn ánh vì chẳng hạn có 2− ∈ mà không có phần tử x nào thuộc sao cho f(x) = -2. +) Nếu X Y⊂ thì ánh xạ ,X Y x x→ a không là một toàn ánh. 1.3.5. Song ánh a) Định nghĩa: ánh xạ :f X Y→ đ−ợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 – 1) nếu nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nói cách khác ánh xạ :f X Y→ là một song ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X sao cho f(x) = y. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ. +) ánh xạ đồng nhất là một song ánh. +) ánh xạ : 2 , 2f n n→ a là một song ánh. +) ánh xạ *: , 1f n n→ + a là một song ánh. 1.4. Quan hệ 1.4.1. Quan hệ hai ngôi a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng. Mỗi tập con S của tập tích Đề Các X Yì đ−ợc gọi là một quan hệ hai ngôi trên X Yì . Nếu ( , )x y S∈ ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy . Nếu ( , )x y S∉ ta nói x không có quan hệ S với y và viết $x y . Một quan hệ hai ngôi trên X Xì đ−ợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâp X. b) Ví dụ: +) Tập con { }( , ) |S x y x y= ∈ ì = xác định quan hệ bằng nhau trên . 14 +) Tập con { }( , ) |S x y x y= ∈ ì ≤ xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng n trên . c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi x X∈ , x có quan hệ S với chính nó. +) S đ−ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu với mọi ,x y X∈ mà x có quan hệ S với y thì y có quan hệ S với x. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu với mọi ,x y X∈ mà x có quan hệ S với y và y có quan hệ S với x thì x = y. +) S đ−ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu với mọi , ,x y z X∈ mà x có quan hệ S với y và y có quan hệ S với z thì x có quan hệ S với z. Hay ta có thể phát biểu ngắn gọn hơn: +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu ,x X xSx∀ ∈ . +) S đ−ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu , ,x y X xSy ySx∀ ∈ ⇒ . +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu , , ,x y X xSy ySx x y∀ ∈ ⇒ = . +) S đ−ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu , , , ,x y z X xSy ySz xSz∀ ∈ ⇒ . Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. +) Quan hệ chia hết cho trên tập * các số tự nhiên khác 0 có các tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. 1.4.2. Quan hệ t−ơng đ−ơng a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ−ợc gọi là quan hệ t−ơng đ−ơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 15 Quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập X th−ờng ký hiệu , nếu ,x y X∈ , x t−ơng đ−ơng với y thì ta viết x y . Ví dụ: +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số là một quan hệ t−ơng đ−ơng. +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên là những quan hệ t−ơng đ−ơng. +) Quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3 trên tập số tự nhiên là một quan hệ t−ơng đ−ơng. b) Lớp t−ơng đ−ơng *) Định nghĩa: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng . a là một phần tử thuộc X. Tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t−ơng đ−ơng với a đ−ợc gọi là lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a trên quan hệ t−ơng đ−ơng , kí hiệu [ ]a . Theo định nghĩa [ ] { }|a x X x a= ∈ , nh− vậy lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a thuộc X là tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t−ơng đ−ơng với a. *) Ví dụ: +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên các tập hợp số là quan hệ bằng nhau. Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a là [a] = {a} +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập các học viên của lớp mầm non ...là quan hệ cùng họ thì lớp t−ơng đ−ơng của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tất cả các học viên có họ Nguyễn. +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 0 là [0] = {0, 3, 6, 9,...}. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 1 là [1] = {1, 4, 7, 10,...}. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 2 là [2] = {2, 5, 8, 11, 14,...}. *) Tính chất: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng , a, b, x, y là các phần tử thuộc X. Ta có: +) [ ]a a∈ . +) [ ]a ≠∅ . +) Nếu [ ],x y a x y∈ ⇒ . +