Đề cương ôn tập Toán khối 11

Phần I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hằng đẳng thức lượng giác: * * *sin² α + cos² α = 1 *tan α . cot α = 1 *1 + tan² α = (α ≠ π/2 + kπ, ) * 1 + cot² α = (α ≠ kπ, ) 2. Giá trị lượng giác cung (góc) liên quan: a. Cung đối nhau cos (–α) = cos α sin (–α) = –sin α tan (–α) = –tan α cot (–α) = –cot α b. Cung bù nhau sin (π – α) = sin α cos (π – α) = –cos α tan (π – α) = –tan α cot (π – α) = –cot α c. Cung hơn kém π sin (π + α) = –sin α cos (π + α) = –cos α tan (π + α) = tan α cot (π + α) = cot α d. Cung phụ nhau sin (π/2 – α) = cos α cos (π/2 – α) = sin α tan (π/2 – α) = cot α cot (π/2 – α) = tan α 3. Công thức cộng cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb sin (a – b) = sina cosb – sinb cosa sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa tan (a – b) = tan (a + b) = 4. Công thức nhân hai và nhân ba sin 2a = 2sina cosa cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a tan 2a = sin 3a = 3sin a – 4sin³ a cos 3a = 4cos³ a – 3cos a 5. Công thức hạ bậc cos² a = sin² a = sina cosa = 6. Công thức biến tích thành tổng cosa cosb = [cos (a – b) + cos (a + b)] sina sinb = [cos (a – b) – cos (a + b)] sina cosb = [sin (a – b) + sin (a + b)] 7. Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2coscos cosu – cosv = –2sinsin sinu + sinv = 2sincos sinu – sinv = 2cossin tanu+ tanv= tanu- tanv= II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Kiến thức cần nhớ 1. Hàm số sin: y = sinx TXĐ: D = R TGT: [–1; 1] Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số lẻ 2. Hàm số sin: y = cosx TXĐ: D = R TGT: [–1; 1] Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số chẳn 3. Hàm số sin: y = tanx TXĐ: D = R\{} TGT: (– ¥; + ¥) Hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số lẻ 5) Hàm số sin: y = cotx TXĐ: D = R\{} TGT: (– ¥; + ¥) Hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số lẻ B. Bài tập Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1) y = 2) y = 3) y = tan( x – ) 4) y = cot( – x ) 5) y = 6) y = Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất 1) y = 2cos3x – 6sin3x 2) y = (2 - )sin2x + cos2x 3) y = (sinx – cosx)2 + 2cos2x + 3sinx.cosx 4) y =(sinx – 2cosx)(2sinx + cosx) -1 5) y = (3.sinx + 4.cosx ).(3.cosx – 4.sinx) + 1 6) y = 3.sin2x+4.sinxcosx–5.cos2x+2 7) y = 2.(sin4x + cos4x ) + 2.sinx.cosx.cos2x 8) y = 9) y=( sinx –cosx )2 +2.cos2x + 3.sinx.cosx 10) y = 2 11) y = 3 – 2 sinx III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. Kiến thức cần nhớ + sinu = sinv + cosu = cosv + tanu = tanv + cotu = cotv * Chú ý: + sin x = 0 x = kπ, với + sin x = 1 x = π/2 + k2π, với + sin x = –1 x = –π/2 + k2π, với + cos x = 0 x = π/2 + kπ, với + cos x = 1 x = k2π, với + cos x = –1 x = (2k + 1)π, với B. Bài tập 1. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) tan (3x – 30°) = – 2. Giải phương trình sau. a. sin (2x – 1) = sin(x + 3) b. sin (3x + 30°) = cos 2x c. sin (4x) + cos (5x – π/2) = 0 d. 2sin x + sin 2x = 0 e. sin² 2x + cos² 3x = 1 f. tan 3x = tan (5x + π/4) g. sin (2x + 50°) = –cos (x + 120°) h. tan (x – π/5) + cot x = 0 IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1. Giải phương trình sau. a) b) c) d) 2. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) 3. Giải phương trình sau. a) b) c) d) 4. Giải phương trình sau. a) b) c) d) 5. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) 6. Giải phương trình sau. a) sin6x+cos4x=cos2x b)sin()-3cos()=1+2sinx c) d) 2tanx+cot2x=2sin2x+ V. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. A. Kiến thức cần nhớ Phương trình có dạng asin x + bcos x = c (1) Chia hai vế phương trình (1) cho ta có (2) Đặt cos α = ; sin α = Phương trình (2) trở thành: sin x cos α + sin α cos x = sin(x + α) = là PTLG cơ bản *Chú ý: phương trình có nghiệm a² + b² ≥ c² B. Bài tập 1. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) 2. Giải phương trình sau. a) b) c) d) 3. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) g) h) k) l) 4. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) VI. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. A. Kiến thức cần nhớ Phương trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d * cos x = 0 là nghiệm hay không? * cos x 0 chia hai vế của phương trình cho cos² x ta được a tan² x + b tan x + c = d(1 + tan² x) B. Bài tập 1. Giải phương trình sau. a) b) c) 2. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) 3. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) g) h) 4. Giải phương trình sau. a) b) c) d) VII. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC. 1. Giải phương trình sau. a) b) c) d) 2. Giải phương trình sau. a) b) c) d) 3. Giải phương trình sau. a) b) c) d) e) f) g) h) 4. Giải phương trình sau. 1)cos2x- cos8x+ cos4x=1 2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4)sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0 5) 3sinx+2cosx=2+3tanx 6) sin2x+cos2x+cosx=0 7) 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8) 9) 2cos2x-8cosx+7= 10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+cos2x 11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14) 2sin3x-=2cos3x+ 15)cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16)cos2x-2cos3x+sinx=0 17) tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-)=0 18)sin2x=1+cosx+cos2x 19)1+cot2x= 20) 2tanx+cot2x=2sin2x+ 21) cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22) 1+tanx=sinx+cosx 23) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 24) 2= 25) 2tanx+cotx=  CHƯƠNG II: TỔ HỢP-XÁC SUẤT A. Kiến thức cần nhớ I. QUI TẮC ĐẾM . 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai hành động. Hành động thứ nhất có thể thực hiện bởi n cách; hành động thứ 2 có thể thực hiện bởi m cách (2 hành động này độc lập nhau ).Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; Ứng với mỗi cách chọn ở công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. Chú ý : quy tắc cộng và nhân có thể mở rộng nhiếu hành động. II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: (sử dụng máy tính nPr) 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: ( sử dụng máy tính nCr) c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Nhận xét: - Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. - Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. - Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. - Số hạng tổng quát (hay thứ k + 1) kí hiệu Tk+1 thì: Chú ý: là khai triển theo số mũ của a giảm dần. là khai triển theo số mũ của a tăng dần. B. Bài tập Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? Bài 2: Có 4 con đường nối điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC? Bài 3: Ở Việt Nam,mọi học sinh đã tốt nghiêp THPT đều có quyền dự thi vào một trường đại học (có 35 trường) hoặc một trường cao đẳng (có 25 trường) hoặc một trường trung học chuyên nghiệp (có 21 trường). Hỏi mỗi học sinh đã tốt nghiệp có bao nhiêu cách chọn thi. Bài 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bài 5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu: 1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được. 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. Bài 6: Có n người ngồi quanh một bàn tròn (n >3). Có bao nhiêu cách xếp sao cho: 1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau. 2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bài 7: Một lớp học có 33 học sinh.Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 ban cán sự gồm 3 người (lớp trưởng, lớp phó, bí thư), biết rằng học sinh nào cũng có thể được chọn. Bài 8: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn Bài 9: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bài 10: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. Bài 11: Tìm tổng các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bài 12: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. Bài 13: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau Bài 14: Có 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. a) Với 6 số đó, ta lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? b) Với yêu cầu như câu a) nhưng số tạo thành là các số chẵn? c) Với yêu cầu như câu a) nhưng số tạo thành phải lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 4000 Bài 15: Có bao nhiêu biển số xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy ký tự gồm:một chữ cái,tiếp đến là một số khác 0 và cuối cùng là năm chữ số. Bài 16: Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? Bài 17: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và các số đó nhỏ hơn số 345? Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Trong các số đã lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? Bài 19: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 20: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Bài 21: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 thành lập được bao nhiêu số có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Bài 22: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Bài 23:Thầy giáo có 4 quyển sách toán , 5 quyển lý , 6 quyển hóa đôi một khác nhau.Có bao nhiêu cách chọn ra 4 quyển sách có đủ 3 loại để tặng cho 4 học sinh ,mỗi học sinh 1 quyển.(đs: 17280) Bài 24: Ông A có 7 người bạn muốn mời 4 người đi dự tiệc nhưng trong đó có 2 ngườ ghét nhau không muốn dự tiệc chung . Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời? Bài 25:Có 16 học sinh gồm 3hs giỏi , 5 hs khá , 8 hs tb. Có bao nhiêu cách chia số hs đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 hs sao cho mỗi tổ đều có hs giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 hs khá . Bài 26: Cho 2 đường thẳng song song song. Trên đường thẳng thứ nhất có 10 điểm, trên đường thẳng thứ hai có 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? Bài 27: Có 12 người , trong đó có 2 cặp vợ chồng.Chọn ra 5 người , có bao nhiêu cách trong mỗi trường hợp sau: a)Không có cặp vợ chồng nào b)Có đúng 1 cặp vợ chồng. Bài 28: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 Có bao nhiêu số có 5 chử số đôi một khác nhau Là số chẵn Một trong 3 số đầu tiên phải bằng 1 Chia hết cho 5 Số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau Bài 29: Có 4 người Mỹ, 4 người Pháp, 4 người Anh,4 người Nhật cần chọn ra 6 người đi dự hội nghị.Hỏi có mấy cách chọn sao cho a)Mõi nước đều có đại biểu b)Có đúng 2 nước tham dự c)Không có nước nào có hơn 2 đại biểu Bài 30: Khai triển các biểu thức : Bài 31 : Cho biểu thức a)Tìm hệ số chứa trong khai triển b)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển c)Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển Bài 32: GPT a/ b/ c, d, e, Bài 33: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: (x2 + 1)n bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. Bài 34: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10 1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x) 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) Bài 35 : Biết hệ số của trong khai triển bằng 90 . Tìm số hạng thứ 4 Bài 36: Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. a) Xác định không gian mẫu. b) Xác định các biến cố: A:"Hai bi cùng màu trắng". B:"Hai bi cùng màu đỏ" C:"Hai bi cùng màu" D:"Hai bi khác màu" Bài 37: Một lớp học có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp,và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các biến cố: a, A:”Sinh viên đựoc chọn học tiếng Anh” b, B:”Sinh viên đựoc chọn học tiếng Pháp” c, C:”Sinh viên đựoc chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” d, D:”Sinh viên đựoc chọn không cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” Bài 38: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu đỏ và 2 quả xanh; hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lẫy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả.Tính xác suất sao cho: a, Cả hai quả đều đỏ b, Hai quả khác màu c, Hai quả cùng màu Bài 39(B-2012): Trong một lớp gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng ghi bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Bài 40(A-2013): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Bài 41(B-2013): Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu. Bài 42(A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác xuất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn. Bài 43(B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và ba 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. CHƯƠNG III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân I. Chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp A. Kiến thức cần nhớ Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: · Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. · Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ³ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ³ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ³ p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. B. Bài tập: Với mọi số nguyên dương n, CMR: a)1.2 + 2.5 + + n(3n - 1) = n2(n + 1) b) a) chia hết cho 6. b) chia hết cho 3. chia hết cho 133 , II. DÃY SỐ 1. Dãy số Dạng khai triển: (un) = u1, u2, , un, 2. Dãy số tăng, dãy số giảm · (un) là dãy số tăng Û un+1 > un với " n Î N*. Û un+1 – un > 0 với " n Î N* Û với "n Î N* ( un > 0). · (un) là dãy số giảm Û un+1 < un với "n Î N*. Û un+1 – un 0). 3. Dãy số bị chặn · (un) là dãy số bị chặn trên Û $M Î R: un £ M, "n Î N*. · (un) là dãy số bị chặn dưới Û $m Î R: un ³ m, "n Î N*. · (un) là dãy số bị chặn Û $m, M Î R: m £ un £ M, "n Î N*. B. Bài tập Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: a) b) c) Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: a) b) c) d) Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp: a) b) c) d) e) ĐS: a) b) c) d) e) Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi: a) b) c) d) e) f) Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi: a) b) c) d) e) f) III. CẤP SỐ CỘNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng Û un+1 = un + d, "n Î N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: với n ³ 2 3. Tính chất các số hạng: với k ³ 2 4. Tổng n số hạng đầu tiên: = B. Bài tập Bài 1. Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a. 2, 5, 8,. .. Tìm u15. b. 4, . .. Tìm u20. Bài 2. Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3. Cho cấp số cộng Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Bài 4. Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Bài 5. Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Bài 6. Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Bài 7. Cho cấp số cộng (un). Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Bài 8. Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 9. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. Bài 10. Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3. Tính a10. Bài 11. Tính u1, d , S20 trong các cấp số cộng sau đây: a. b. c. d. Bài 17. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, . Hỏi có bao nhiêu hàng? III. Cấp Số Nhân A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân Û un+1 = un.q với n Î N* (q: công bội) 2. Số hạng tổng quát: với n ³ 2 3. Tính chất các số hạng: với k ³ 2 4. Tổng n số hạng đầu tiên: B. Bài tập Bài 1. a. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 6 số hạng biết u1 = 243 và u6 = 1. b. Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730. Tìm u1 và u6. Bài 2. Cho cấp số nhân có u3 = 18 và u6 = –486. Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q của CSN đó. Bài 3. Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: Bài 4. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48. Bài 5. Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: Bài 6. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. Bài 8 : Cho CSN (un) sao cho: a. Tìm u1 và q b. Tinh u15, u20 c. Tinh S10 Chương IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: ; ; 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b · (nếu b ¹ 0) b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a thì a ³ 0 và lim c) Nếu ,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + = 1. Giới hạn đặc biệt: 2. Định lí: a) Nếu thì b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0 c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0 thì lim = d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a thì lim(un.vn) = * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: · Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất c