Đề tài Đường cong spline bậc ba

NHÓM 2 – ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC BA  Nguyễn Việt Huy G0800800  Nguyễn Văn Giáp Nhỏ G0804467  Cao Tấn Công G0804079  Ngô Hoàng Sang G0801780  Dương Mười G0801290 ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  Hai phương trình thu được từ tọa độ 2 điểm đầu và cuối của mỗi phân đoạn.  Hai phương trình còn lại được xác định bằng các véctơ tiếp tuyến tại một điểm đầu và cuối của mỗi phân đoạn. (H.4.13) ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  Giải hệ phương trình (4.26) và (4.28) ta thu được hệ số đại số ai: P(t)=(2t3-3t2+1)P(0)+(-2t3+3t2)P(1)+(t3-2t2+t)P’(0)+(t3- t2)P’(1) (4.29) 4.5.3 BIỂU DIỄN DẠNG MA TRẬN Các phương trình (4.24) và (4.30) có thể viết lại như sau: với Suy ra Hoặc ở dạng rút gọn: P(t)=[t].[A] dạng đại số P(t)=[t].[M].[G] dạng hình học [t] và [M] không thay đổi với mọi đường cong bậc ba [G] có thể thay đổi để tạo ra đường cong tham số bậc ba mới [M] 4x4 là ma trận Hermit.Ký hiệu và khi đó:P(t)=[t]. . M H  HG  M H  HG 4.5.3 BIỂU DIỄN DẠNG MA TRẬN  Ma trận [A] và có mối liên hệ [A]= . Và biến đổi ngược lại: = .[A]  Trong đó   = và =  VD:Cho P(0)=(1,1) ,P(1)=(3,2) ,P’(0)=(1,1) và P’(1)=(1,0).Xđ:  a.Pt tham số đường cong  b.Tọa độ điểm với t=0,5  Giải: Pt tham số đường cong có dạng:   HG  HG  M H  HG   1M H  2 2 1 1 3 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0               M H   1M H  0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 3 2 1 0             3 2 2 2 1 1 (0) 3 3 2 1 (1) ( ) [ 1] 0 0 1 0 '(0) 1 0 0 0 '(1) P P P t t t t P P                    3 2 2 2 1 1 3 3 2 1 ( ) [ 1] 0 0 1 0 1 0 0 0 P t t t t              1 1 3 2 1 1 1 0             4.5.4.ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3  Đường nối giữa 2 điểm liên tiếp là đường cong tham số bậc 3(với tham số t thay đổi từ 0 đến 1)  Đường cong Spline bậc 3 được biểu diễn bằng đa thức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểm nối chung giữa các phân đoạn  Phương trình bậc k sẽ liên tục tai bậc k-1  Liên tục tham số được biểu diễn bằng chữ C in hoa có chỉ số trên đầu  Tính liên tục C0, không có sự gián đoạn hoặc bước nhảy trên đường cong  Liên tục C1, đường cong sẽ có độ dốc hoặc đạo hàm cấp 1 liên tục  Ở mức độ C2, đường cong sẽ bị uốn cong hoặc có đạo hàm bậc 2 liên tục và tương tự như vậy ở mức độ cao hơn  Trong Autodesk Inventer, để đảm bảo tính liên tục thường sử dụng các ràng buộc sau:  Ràng buộc nối tiếp C0(coincident):chọn lần lượt các điểm cuối của đoạn thẳng và cung tròn để chúng trùng nhau  Ràng buộc tiếp xúc , liên tục C1(tangent):tiếp tuyến 2 đối tượng trùng nhau tại điểm nối, trong trường hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường cong bậc 2  Ràng buộc độ cong, liên tục C2(smooth):độ cong 2 đối tượng trùng nhau tại đểm nối, trong trường hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường con bậc 3 spline  Phương trình tham số của đường con spline bậc 3 cho mỗi phân đoạn, có dạng  Hoặc P(t)=[t].[M]H[G]H  Đối với các phân đoạn thì ma trận [t] và [G]H không đổi  Ma trận hình học [G]H khác nhau trong từng phân đoạn của đường con Spline bậc 3 XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM ĐƯỜNG SPLINE  Đường cong spline phải thỏa mãn tính liên tục của đạo hàm bậc 2.Do đó tại mỗi điểm pi của phân đoạn đạo hàm bậc hai:  Thay biểu thức 4.40 vào 4.38  Thay các giá trị a2 và a3 từ pt 4.31 vào pt 4.41 XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM ĐƯỜNG SPLINE  Sử dụng phương pháp lặp nhiều lần phương trình 4.43 XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM ĐƯỜNG SPLINE  Hoặc dạng ma trận:  Ta cần xác định m vectơ tiếp tuyến nên phải có thêm 2 ràng buộc:  Biết các vectơ tiếp tuyến p’0 và p’m-1 tại các điểm cuối.  Đạo hàm bậc hai tại hai điểm cuối p0 và pm-1 đều bằng 0 (đường cong spline bậc 3 tự nhiên). TRƯỜNG HỢP 1 : BIẾT CÁC VÉCTƠ TIẾP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1  Khi biết các véctơ tiếp tuyến P’0 và P’m-1 tại các điểm cuối ta có hệ phương trình : TRƯỜNG HỢP 1 : BIẾT CÁC VÉCTƠ PHÁP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1  Hoặc biểu diễn dạng ma trận như sau : (4.45) TRƯỜNG HỢP 1 : BIẾT CÁC VÉCTƠ PHÁP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1  Giải phương trình ma trận này sẽ tính được tất cả các véctơ tiếp tuyến : (4.46)  Hoặc [P’i]=[M]-1[G] (4.47) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Phương trình (4.44) được sử dụng lần nữa và đạo hàm bậc 2 được gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuối của đường cong spline bậc 3. TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Tại điểm đầu tiên, P0 (tham số t=0), đạo hàm bậc 2 theo phương trình (4.40) trở thành: 2a2i=0 hoặc a2i=0 (4.48) Thay giá trị a2i từ phương trình (4.31) vào phương trình (4.48): 3(P1 – P0) – 2P’0 – P’1 = 0 (4.49a) Hoặc 2P’0 – P’1 = 3(P1 – P0) (4.49b) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Gán giá trị của đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối, P’’m-1 (tham số t=1), bằng 0, sau đó thay vào phương trình (4.40): 6a3(m-1) + 2a2(m-1) = 0 Hoặc 3a3(m-1) + a2(m-1) = 0 Thay a3 và a2 từ phương trình (4.31) và rút gọn ta thu được: P’m-2 + 2P’m-1 = 3(Pm-1 – Pm-2) (4.50) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Do đó tiếp tuyến của đường cong tại các điểm xác định theo hệ phương trình: (4.51) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Hệ m phương trình với m ẩn số có thể biểu diễn ở dạng ma trận: (4.52) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Từ đây suy ra: (4.53) TÓM TẮT 