Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2009 – vòng sơ khảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------------*
*------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) Câu 1. Tìm cực trị của hàm số:
=  + ln () Câu 2. Tìm giới hạn sau: lim→  − 2 −  + 1 Câu 3. Cho hệ vectơ a1 = (2, 3, 5); a2 = (3, 7, 8); a3 = (1, -6, 1); a4 = (7, -2, m). Tìm m để vectơ a4 biểu diển tuyến tính qua các vectơ a1, a2, a3. Câu 4. Cho Ak = 0, với k ∈ N\{0; 1} và E là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Chứng minh rằng: (E – A)-1 = E + A2 + ... + Ak-1 Câu 5. Tính định thức:    0 … 0 01  +   … 0 00 1  +  … 0 0… … … … … …0 0 0 … 1  +   ----------&&---------- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------------*
*------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2010 – VÒNG SƠ KHẢO Câu 1. Tìm giới hạn I = lim→(2010 + )/ Câu 2. Cho hàm số f(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 2010) Tính f’(2010). Câu 3. Cho 4 vectơ X1 = (2, 1, -3, 2); X2 = (-2, 0, 1, 1); X3 = (1, 2, -1, 0); X4 = (-1, 3, -2, 4) a) Tìm hạng và một cơ sở của hệ vectơ. b) Hãy biểu diễn tuyến tính các vectơ còn lại qua cơ sở đã chỉ ở câu a). Câu 4. Giải hệ phương trình tuyến tính !"# "$ 3 + 4 − 5( + ) + * = 52 − 2 + 3( − ) − 2* = −1−5 − 6 + 7( − 2) − * = −8 + 2 − ( + * = 22 + 3 − 3( + ) + 2* = 5 . Câu 5. Tìm cực trị của hàm số y = sin5x + cos5x trên đoạn /0, 1( 2. -----------&&----------- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------------*
*------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2011 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) Câu 1. Cho 3 = 4√( +  −1 √( − 6. Tính A2011. Câu 2. Cho f(x) = 72111 1211 1121  + 12 7. Tìm x để f(x) max. Câu 3. Cho hệ phương trình: 8 + 2
+ 9 = 33 −
− 9 = 22 +
+ 39 = . 1) Tìm điều kiện của a và b để hệ có nghiệm duy nhất. 2) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm. Câu 4. Tìm lim→ √:√:. Câu 5. Cho f(x) = x2 + 3|x-1|. Tính f’(3) và f’(-3). Hàm số có đạo hàm tại x = 1 không? --------------------&&---------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2009 Câu 1. TXĐ: {x : cosx > 0} (1)
; = − < = 0 = −1 ()?@  = AB ⇒  = 2B.
;; = − − 1 ;
"(2B) = −2 < 0 Suy ra y đạt cực đại tại x = n2B và ymax = y(n2B) = 1. Câu 2. lim→ :GHIJH = lim→ K:G.MNGHIJH =O PQR lim→ K:G.MNG(IJ)H:GH = 1. Câu 3. Để a4 biểu diễn tuyến tính qua a1, a2, a3 thì phương trình sau phải có nghiệm a4 = k1 a1 + k2a2 + k3a3 Hay hệ: 8 2A + 3A + A( = 73A + 7A − 6A( = −25A + 8A + A( = S . có nghiệm Do r(A) = 2 nên r(3̅) = 2 suy ra m = 15. Câu 4. Ta có: (E – A)(E + A + A2 + ... + Ak-1) = E – Ak = E (gt) Suy ra: (E – A)-1(E – A)(E + A + A2 + ... + Ak-1) = (E – A)-1E Suy ra: (E – A)-1 = E + A + A2 + ... + Ak-1 (đpcm). Câu 5. Nhân cột 1 với –b và cộng vào cột 2 ta có: UJ =  10.0  + 1.0 0 + .0 …………… 000.1 000. +   =  10.0 01.0 0 + .. …………… 000.1 000. +   (cột 2 – cột 1 x b) =   1..0  + ..0 …………… 00..1 00.. +   = a.Dn-1 Suy ra Dn = aDn-1 = a2Dn-2 = ... = an-2D2 = an. ----------&&---------- HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2010 Câu 1. Ta có: ln I = lim→ ln(2010 + ) =OPQR lim→2010  ln 2010 + 12010 +  =OPQR lim→ 2010  ln 20102010 ln 2010 + 1 =OPQR lim→2010  ln( 20102010 ln 2010 = ln 2010 Vậy I = 2010. Câu 2. Đặt g(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 2009) suy ra f(x) = g(x)(x – 2010). Suy ra f’(x) = g(x) + g’(x)(x – 2010) suy ra f’(2010) = g(2010) = 2010! Câu 3. a) Biến đổi mà trận có các cột là các vectơ đã cho 3 = V 12−10 21−32 −2011 −13−24 W → V 1000 2−100 −2−170 −1−3140 W Do U,,(,,( = −7 ≠ 0 và định thức cấp 4 bằng 0 nên r(A) = 3 hay r{X1, X2, X3, X4} = 3 Dễ thấy {X1, X2, X3} là một cơ sở của hệ vectơ {X1, X2, X3, X4}. b) Giả sử X 4 = aX1 + bX2 + cX3 suy ra a = 1, b = 2, c = 1 Vậy: X 4 = X1 + 2X2 + X3 Câu 4. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng 3 Y = Z[ \ 32−512 4−2−623 −537−1−3 1−1−201 1−2−112 ||||| 5−1−825 _`^ về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy nhất của hệ: (x1, x2, x3, x4, x5) = (1, 0, 0, 1, 1). Câu 5. Ta có: y’ = 5sin4x.cosx – 5cos4x.sinx = 5sinx.cosx(sin3x – cos3x)
; = 0⇔ a < = 0 = 0< = . ⇔ a  = 0 = B/2 = B/4 (U  ∈ >0, 2B3 c). Lập bảng biến thiên (hoặc tính đạo hàm cấp 2 tại các điểm tới hạn) ta có: Hàm số có 2 điểm cực đại (0, 1) và (1 , 1); có 1 điểm cực tiểu d1) , √) e. ----------&&---------- HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2011 Câu 1. Cách 1. Ta có: 3 = f 1g + < 1g < 1g−2< 1g  1g − < 1gh. Bằng quy nạp chứng minh được: An = f J1g + < J1g < J1g−2< J1g  J1g − < J1g h. Suy ra: A2011 = 4 i1g + < i1g < i1g−2< i1g  i1g − < i1g 6=4 − √( −  − 1 − √( + 6. Cách 2. Ta có: A6 = -E (ma trận đơn vị cấp 2) Suy ra A2011 = (A6)335.A = 4− √( −  − 1 − √( + 6. Câu 2. Khai triển theo cột 4, ta có: f(x) = -x2 – 2x + 7. Suy ra f(x) đạt giá trị max là 8 khi x = -1. Câu 3. 1) Để hệ có nghiệm duy nhất thì r(A) = r(3̅) = 3. Xảy ra khi det(A) ≠ 0 hay a ≠ 21/2. 2) Dễ thấy r(A) ≥ 2, để hệ vô số nghiệm thì r(A) = 2, hay det(A) = 0 suy ra a = 21/2. Thay a = 21/2, biến đổi ma trận 3̅ về f200 410 2160 61 − 3h Suy ra b = 3. Câu 4. TXĐ: R TH1: x → +∞ Ta có: lim→ √:√: = lim→ k lG:mlGk lG:n =  TH2: x → −∞ Ta có: lim→H √:√: = lim→H √:√: . H√:H√: = lim→H √:oH√:p = lim→H− k1 +  . o + 1 − √ + 1p = +∞. Câu 5. +) Khi x > 1, f(x) = x2 + 3x – 3, f’(x) = 2x + 3 nên f’(3) = 9. Khi x < 1, f(x) = x2 - 3x + 3, f’(x) = 2x - 3 nên f’(-3) = -9. +) Với x = 1, f’(1+) = 5, f’(1-) = -1 nên hàm số không có đạo hàm tại x = 1. ---------------------&&----------------------