Giải tích phức - Nguyễn Trường Thanh

Giải tích phức Nguyễn Tr−ờng Thanh Bộ môn Toán, Tr−ờng Đại Học Mỏ và Địa Chất Đông Ngạc, Từ Liêm, Hà Nội 04/03/2009 Mục lục 1 Số Phức và Hàm Số Phức 4 1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Dạng l−ợng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Các phép toán đối với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Khái niệm về hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Bài tập ch−ơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Đạo hàm và Vi Phân 12 2.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Vài ví dụ về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Khái niệm hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Vi phân hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Tích phân đ−ờng 16 3.1 Tích phân đ−ờng hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.2 Cách tách phần thực và phần ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 23.1.3 Các tính chất tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đ−ờng lấy tích phân và định lí CôSi . 18 3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.4 Công thức tính tích phân CôSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Chuỗi số và chuỗi hàm 23 4.1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.2 Sự tách phần thực phần ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.3 Sự hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Khái niệm tổng quát về chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Chuỗi Taylo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5 Chuỗi Lô răng (Laurent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.6 Điểm bất th−ờng cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 Lý thuyết thặng d− 30 5.1 Khái niệm thặng d− và Các định lí cơ bản của thặng d− . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.1.1 Định nghĩa thặng d− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.1.2 Định lí cơ bản của thặng d− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2 Cách tính thặng d− ứng với các cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2.1 Thặng d− của cực điểm đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2.2 Thặng d− với cực điểm cấp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Thặng d− loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3.1 Không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3.2 Thặng d− loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4.1 Tích phân hàm phức theo đ−ờng cong kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 35.4.2 Tính tích phân xác định hàm số thực b∫ a f(x)dx : . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4.3 Tính tích phân suy rộng +∞∫ −∞ f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.4.4 Tính các tích phân suy rộng +∞∫ −∞ f(x) cos(mx)dx và +∞∫ −∞ f(x) sin(mx)dx . 36 6 Lý thuyết toán tử 38 6.1 Khái niệm về phép tính toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.4 Định lí đồng dạng của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.5 Tính chất tuyến tính của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.6 Tính chất rời chỗ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.7 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.8 Tính chất chậm trễ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.9 Định lí vi phân và tích phân hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.10 Định lí vi phân và tích phân hàm ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.11 Các công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chập) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.11.2 Định lí về ảnh của tích xếp: (Công thức nhân ảnh) . . . . . . . . . . . . . 45 6.11.3 Công thức Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.12 Toán tử Laplace ng−ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.12.1 Định nghĩa và Các định lí tìm hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.12.2 Tr−ờng hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.13 Toán tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.13.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.13.2 Tính chất của toán tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Ch−ơng 1 Số Phức và Hàm Số Phức 1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức 1.1.1 Định nghĩa • Đơn vị ảo là một số mà bình ph−ơng bằng −1 kí hiệu bởi i. Nói cách khác i2 = −1. • Một biểu thức z = x+ iy, x, y ∈ R, đ−ợc gọi là một số phức. Ngoài ra, x gọi là phần thực của z, kí hiệu bởi Re(z), y gọi là phần ảo của z, kí hiệu bởi Imz. Nếu x = 0 thì z = iy gọi là thuần tuý ảo. T−ơng tự, nếu y = 0 thì z = x đ−ợc gọi là thuần tuý thực. Tâp hợp các số phức đ−ợc kí hiệu bởi C := {z = x+ iy : x, y ∈ R}. 1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức • Một số phức z = x+ iy t−ơng ứng 1− 1 với điểm M(x, y) trong hệ toạ độ Đề Các, do đó toàn bộ mặt phẳng goi là Mặt phẳng phức. • Những điểm nằm trên trục hoành có toạ độ (x, 0) ứng với số phứ z = x+ i0 = x là số thực thuần tuý, do đó trục hoành đ−ợc gọi là trục thực. T−ơng tự, trục tung gọi là trục ảo. 4 5Hình 1.1: Mặt phẳng phức 1.1.3 Dạng l−ợng giác của số phức • Mỗi điểm M(x, y) đ−ợc xác định bởi véc tơ −−→OM có mô đun bằng r và tạo với trục −→0x một góc bằng ϕ. Do đó, điểm Mcó thể xác định theo cặp số (r.ϕ). Hơn thế, z = x+ iy = r cos(ϕ) + ir sin(ϕ) gọi là dạng l−ợng giác của số phức z. • Chúng ta qiu −ớc |z| := r = √ x2 + y2, Arg(z) := ϕ, z := x − iy t−ơng ứng đ−ợc gọi là Mô đun, Argumen và số phức liên hợp của số phức z. 1.1.4 Các phép toán đối với số phức 1. Bằng nhau: Hai số phức z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 đ−ợc gọi là bằng nhau nếu x1 = x2, y1 = y2. 2. Số phức liên hợp: z = x− iy = r(cos(ϕ)− i sin(ϕ)) = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)). 3. Phép cộng- Phép trừ: { z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2). Tính chất: 6Hình 1.2: Dạng l−ơng giác của số phức (a) z + z = 2Re(z), z − z = 2Imz. (b) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|. (c) |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|. 4. Phép nhân hai số phức: z1.z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + sin(ϕ1 + ϕ2)) Do đó: |z1z2| = |z1||z2|, arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2). Tính chất: (a) |z1||z2| = |z2||z1|, (Giao hoán). (b) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (Phân phối đối với phép cộng). (c) z1(z2z3) = (z1z2)z3, (Kết hợp). (d) zz = |z|2 = (x2 + y2). 5. Phép chia hai số phức: (a) Phép nghịch đảo: 1 z = 1 r (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = x x2 + y2 − i y x2 + y2 . 7(b) Phép chia hai số phức: z1 z2 = x1x2 + y1y2 x22 + y 2 2 − ix1y2 − x2y1 x22 + y 2 2 = r1 r2 (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)). Tính chất: i. | z1 z2 | = |z1| |z2| . ii. Arg( z1 z2 ) = Arg(z1)− Arg(z2). 6. Phép nhân lên luỹ thừa: zn = (x+ iy)n = n∑ k=0 Cknx k(iy)n−k = rn[cos(nϕ) + i sin(nϕ)]. 7. Phép khai căn: • Định nghĩa: n√z là số phức ω saôch ωn = z. • ω = n√r(cos ϕ+2kpi n + sin ϕ+2kpi n ), k = 0, n − 1. 1.2 Hàm số phức 1.2.1 Khái niệm về hàm phức 1. Định nghĩa: • ω = f(z), z : là đối số, ω : hàm số, f : quy luật. • Miền xác định của hàm f :={ω: sao cho theo quy luật f có thể xác định giá trị t−ơng ứng của ω}:=Df . • Miền xác định của f :={ Mọi giá trị của ω khi đối số z chạy khắp miền xác định }:=Rf . 2. Sự tách phần thực và phần ảo trong quan hệ hàm: Cho hàm số ω = f(z), z = x+ iy. Khi đó ta có thể biểu diễn, ω := u(x, y) + iv(x, y), trong đó u, v là các hàm số thực hai biến. 3. Tính chất hình học của quan hệ hàm: ω = f(z) là một phép biến hình trên mặt phẳng phức. 8Hình 1.3: Phép biến hình Ví dụ 1.1. Cho ω = z2. Tìm ảnh của miền tròn đơn vị. Miền D := {z = x+ iy : x2+y2 ≤ 1}. Ph−ơng trình biên miền D là {(x, y) : x2+y2 = 1}. Xét quan hệ ω = z2 = (x2 − y2) + i2xy. Ta thấy (x2 − y2)2 + (2xy)2 = 1, 2xy có miền giá trị là đoạn thẳng [−1, 1] khi (x, y) chạy trên biên miền D, do đó quan hệ ω = z2 biến hình tròn đơn vị thành chính nó. Ví dụ 1.2. Tìm nghịch ảnh của đ−ờng tròn (u− 1 2 )2 + (v + 1 2 )2 = (1 2 )2 qua phép biến hình ω = 1 z . Trên mặt phẳng phức u, v, đ−òng tròn C : (u− 1 2 )2 + (v + 1 2 )2 = (1 2 )2, có tâm I(1 2 ;−1 2 ), bán kính 1 2 . Ta thấy, ω = 1 z = x x2 + y2 − i y x2 + y2 , u = x x2 + y2 , v = − y x2 + y2 , trong đó (u, v) ∈ C. Từ đây, (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4 (nghịch ảnh của C). 1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản 1. Hàm lũy thừa: Có dạng ω = zn = (x+ iy)n = n∑ k=1 Cknx k(iy)n−k = [r(cosϕ+ i sinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + i sin(nϕ)]. 92. Hàm mũ: Có dạng ω = ez với định nghĩa nh− sau: nếu z = x+ iy thì ω = ex.eiy = ex(cos y + i sin y). • ez1ez2 = ez1+z2 . • ez1 ez2 = ez1−z2 . • (ez)n = enz. • ez+2pii = ez. 3. Các hàm l−ợng giác: Ta kí hiệu sin z := eiz − e−iz 2i ; cos z := eiz + e−iz 2 ; tgz := sin z cos z = 1 i e2zi − 1 e2zi + 1 ; cotgz := cos z sin z = i e2zi + 1 e2zi − 1 . 4. Hàm Logarit: • Định nghĩa: Logarit của số phức z là số ω sao cho eω = z và đựoc kí hiệu ln z := ω. • Nếu z = r(cosϕ+ i sinϕ) = eiϕ thì ω = ln z = r+ iϕ = ln|z|+ iArg(z). (Chú ý: ln z là hàm đa trị.) • Tính chất: ln(z1.z2) = ln(z1) + ln(z2); ln( z1 z2 ) = ln(z1)− ln(z2); ln(zz21 ) = z2 ln z1; • zz = ezlnz 5. Các hàm số l−ợng giác ng−ợc: • Hàm ω = arcsinz : Gọi arcsinz là số phức ω sao cho sinω = z. Khi đó, ω = arcsinz = 1 i ln(iz + √ 1− z2). • Hàm ω = arccosz : Gọi arccosz là số phức ω sao cho cosω = z. Khi đó, ω = arccosz = 1 i ln(z + √ 1− z2). 10 • Hàm ω = arctgz : Gọi arctgz là số phức ω sao cho tgω = z. Khi đó, ω = arctgz = 1 2i ln( 1 + iz 1− iz ). • Hàm ω = arccotgz : Gọi arccotgz là số phức ω sao cho cotgω = z. Khi đó, ω = arccotgz = 1 2i ln( z + i z − i). 1.2.3 Bài tập ch−ơng 1 1. ..... 2. ..... 3. ..... 4. ..... 5. ..... 6. ..... 7. ..... 8. ..... 9. ..... 10. ..... 11. ..... 12. ..... 13. ..... 14. ..... 15. ..... 11 16. ..... 17. ..... 18. ..... 19. ..... 20. ..... 21. ..... 22. ..... 23. ..... 24. ..... 25. ..... 26. ..... Ch−ơng 2 Đạo hàm và Vi Phân 2.1 Định nghĩa đạo hàm Xét hàm số f(z) xác định trong miền D và một điểm z0 = x0 + iy0 ∈ D. Cho z0 = x0 + iy0 một số gia ∆z = ∆x+∆y, t−ơng ứng có số gia của hàm số f : ∆f = f(z0 +∆z)− f(z0) = f((x0 +∆x) + i(y0 +∆y))− f(x0 + iy0). Nếu tỉ số ∆f ∆z tồn tại giới hạn khi ∆z → 0 thì giới hạn đó đ−ợc gọi là đạo hàm của f(z) tại điểm z0. Kí hiệu f ′(z0) = df dz |z=z0 = lim ∆z→0 ∆f ∆z . Chú ý: 1. Giá trị lim ∆z→0 ∆f ∆z luôn là duy nhất theo mọi cách tiến đến 0 của ∆z. 2. Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và ∆z = ∆x+∆y. Khi đó f ′(z0) = lim ∆z→0 ∆f ∆z = lim ∆x→ 0 ∆y → 0 ∆u+ i∆v ∆x+∆y . 12 13 2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm 1. Điều kiện cần: Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tồn tại đạo hàm tại điểm z = x + iy thì tại điểm đó phải tồn tại các đạo hàm riêng của u, v và{ ∂u ∂x = ∂v ∂y , ∂u ∂y = − ∂v ∂x , (Điều kiện CôSi-Riman). Chứng minh. Xét giới hạn ∆f ∆z khi z + ∆z tiến tới z theo chiều song song với trục thực và trục ảo. Sau đó từ tính duy nhất của giới hạn đạo hàm ta có điều phải chứng minh. 2. Điều kiện đủ: Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Nếu hai hàm thực hai biến u, v khả vi (?) và chúng thỏa mãn điều kiện C − R thì hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại z. Chứng minh. (?). 2.3 Vài ví dụ về đạo hàm Ví dụ 2.1. Cho f(z) = z2. Giả sử z = x + iy, ta có f(z) = (x2 − y2) + 2xyi. Do đó u = x2− y2, v = 2xy. Hai hàm u, v đều khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện C −R tại mọi cặp điểm (x, y). Vậy f(z) = z2 tồn tại đạo hàm tại mọi điểm z. Ngoài ra, f ′(z) = ∂u ∂x + i ∂v ∂x = 2x+ i2y = 2z. Ví dụ 2.2. Cho f(z) = ez. Giả sử z = x+ iy, khi đó f(z) = ex+iy = ex(cosx+ sin y), u = ex cos y, v = ex sin y. Ta thấy u, v thoả mãn điều kiện C − R, do đó hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại mọi điểm và f ′(z) = ∂u ∂x + i ∂v ∂x = ex cos y + ex sin y = ez. Ví dụ 2.3. Cho hàm f(z) = z.Imz.Rez. Ta thấy f(z) = x2y + xy2. Điều kiện C − R thoả mãn khi x = y = 0. Do đó, hàm f(z) chỉ có đạo hàm tại z = 0, 14 2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm • Cho hàm f(z), giả sử tại z nào đó tồn tại f ′(z) 6= 0. Đoạn MN nối từ điểm z tới điểm z+∆z, đoạn M1N1 nối từ điểm f(z)tới điểm f(z)+∆f. Các vec tơ −−→ MN, −−−→ M1N1 t−ơng ứng với số phức ∆z, ∆f. Ta thấy lim M→N |−−−→M1N1| |−−→MN | = lim ∆→0 |∆f ∆z | = |f ′(z)|. Vậy mô đun của đạo hàm đặc tr−ng cho sự thay đổi kích th−ớc tuyến tính tại điểm z thông qua hàm f(z). Ví dụ 2.4. Cho f(z) = z2 + z+3. Ta thấy f ′(z) = 2z+1, do đó |f ′(1)| = 3. Vậy hàm f(z) làm thay đổi kích th−ớc tuyến tính tại điểm z = 1 lên 3 lần. • T−ơng tự, lim ∆z→0 [arg(∆f)− arg(∆z)] = lim ∆z→0 arg ∆f ∆z = argf ′(z) 2.5 Khái niệm hàm giải tích • Định nghĩa 1: Hàm f(z) giải tích trong một miền D nếu đơn trị và có đạo hàm liên tục trên D. Đôi khi ta nói hàm f(z) giải tích tại điểm z0, điều nay f có nghĩa là f(z) giải tích trong một lân cận mở nào đó chứa điểm z0. • Định nghĩa 2: Hàm f(z) giải tích trong miền D đóng (kể cả biên) nếu nó giải tích bên trong một miền mở nào đó chứa D. • Điều kiện cần và đủ để hàm f(z) = u(x, y + iv(x, y) giải tích trong D là các hàm u, v tồn tại các đạo hàm riêng cấp một liên tục và thoả mãn điều kiện C − R trên D. 2.6 Vi phân hàm biến phức • Định nghĩa: Cho hàm f(z) xác định trong miền D và điểm z0 ∈ D. Nếu số gia của hàm số ∆f = A∆z + α(∆z), trong đó A là hằng số, α(∆z) là vô cùng bé cấp cao hơn ∆z, thì ta 15 nói hàm f(z) khả vi tại điểm z0 và biểu thức A∆z gọi là vi phân của hàm số tại z0, kí hiệu df = A∆z. • Hoàn toàn t−ơng tự nh− đối với hàm biến số thực ta cũng chứng minh đ−ợc df = f ′(z0)dz. Ngoài ra sự tồn tại đạo hàm và tính khả vi của hàm số tại một điểm là t−ơng đ−ong. Ch−ơng 3 Tích phân đ−ờng 3.1 Tích phân đ−ờng hàm biến phức 3.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức cho đ−òng song trơn AB trơn (hoặc trơn từng khúc) và hàm f(z) xác định trên đ−ờng cong đó. Chia đ−òng cong AB thành n phần một cách tuỳ ý bởi những điểm chia A ≡ z0,z1, ..., zk, ..., zn ≡ B. Trên cung thứ tự thứ k là zk−1, zk ta chọn tùy ý một điểm ξk. Gọi ∆zk = zk − zk−1. Lập tổng: In = n∑ k=1 f(ξk)∆zk. Cho n → ∞ sao cho max∆zk → 0. Nếu In dần tới một giới hậm I không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn ξk thì giá trị đó đ−ợc gọi là tích phân đ−ờng của hàm f(z) trên cung AB, kí hiệu ∫ AB f(z)dz = lim max∆zk→0 n∑ k=1 f(ξk)∆zk. 16 17 3.1.2 Cách tách phần thực và phần ảo • Giả sử z = x+ iy, zk = xk + iyk, ξk = αk + iβk, k = 0, n và f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Ta có In = n∑ k=1 f(αk + iβk)[zk − zk−1] = n∑ k=1 [u(αk, βk)∆xk − v(αk, βk)∆yk] + i[v(αk, βk)∆xk + u(αk, βk)∆yk]. Từ đây, lim n→∞ In = ∫ AB f(z)dz = ∫ AB u(x, y)dx− v(x, y)dy + i ∫ AB v(x, y)dx+ u(x, y)dy. Ví dụ 3.1. Tính ∫ AB z2dz với AB là đ−ờng thẳng có ph−ơng trình y = x đi từ điểm A(0, 0) tới B(1, 1). Ta thấy f(z) = z2 = x2 − y2 + 2xyi, do đó∫ AB f(z)dz = ∫ AB (x2 − y2)dx− 2xydy + i ∫ AB 2xydx+ (x2 − y2)dy = 1∫ 0 [(x2 − x2)− 2x.x]dx+ i 1∫ 0 [2x.x+ (x2 − x2)]dx = −2 3 + i 2 3 Ví dụ 3.2. Tính ∫ AB z2dz với AB là một phần t− đ−ờng tròn đơn vị trong góc phần t− thứ nhất và A(1.0), B(0, 1). 3.1.3 Các tính chất tích phân 1. ∫ C Af(z)dz = A ∫ C f(z)dz. 2. ∫ C f(z) ± g(z)dz = ∫ C f(z)dz ± ∫ C g(z)dz. 3. ∫ AB f(z)dz = − ∫ BA f(z)dz. 4. ∫ AB f(z)dz = ∫ AC f(z)dz + ∫ CB f(z)dz. 5. ∫ AB dz = zA − zB. 6. Bất đẳng thức đánh giá tích phân: Nếu với mọi z ∈ AB ta có |f(z)| ≤ M và cung AB có đọ dài l thì: | ∫ AB f(z)dz| ≤Ml. 18 3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đ−ờng lấy tích phân và định lí CôSi Định lý 3.1. Điều kiện cần và đủ để ∫ AB f(z)dz không phụ thuộc vào đ−ờng lấy tích phân trong một miền D nào đó là: Trong miền đó các hàm u, v tồn tại các đạo hàm riêng thỏa mãn điều kiện C − R: ∂u ∂x = ∂v ∂y ; ∂u ∂y = −∂v ∂x . Chứng minh. Dùng công thức tách phần thực và phần ảo của hàm phức f(z), sau đó dùng tính chất tích phân đ−ờng loại 2. Định lý 3.2 (Định lí CôSi cho miền đơn liên). Nếu f(z) giải tích trong miền D đóng, đơn liên có chu tuyến C thí ∫ C f(z)dz = 0. Chứng minh. ..... Định lý 3.3 (Định lí CôSi cho miền đa liên:). Nếu f(z) giải tích trong miền D đóng, đa liên thì tích phân theo chu tuyến ngoài cùng bằng tổng tích phân theo các chu tuyến bên trong với điều kiện các tích phân lấy theo chiều ng−ợc kim đồng hồ∮ C f(z)dz = ∮ C1 f(z)dz + ∮ C2 f(z)dz Chứng minh. Ta có thể giả thiết miền D gồm hai biên C1, C2. Ta nối C1, C2 bởi cung AB tuỳ ý và coi miền D là đơn liên. Theo đinh lí 3.2 ta có,∮ C1 f(z)dz + ∫ AB f(z)dz + ∮ C−2 f(z)dz + ∫ BA f(z)dz = 0. Từ đây, ∮ C1 f(z)dz = ∮ C2 f(z)dz. 19 3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích 3.3.1 Nguyên hàm • Định nghĩa: Ta gọi F (z) là nguyên hàm của f(z) trong miền D nếu trong miền đó F ′(z) = f(z). • Hoàn toàn t−ơng tự đối với hàm biến số thực ta cũng có kết quả sau: Mọi nguyên hàm của hàm f(z) chỉ chênh nhau một hằng số. 3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích • Giả sử f(z) giải tích trong miền D. Khi đó tích phân đ−ờng trong D chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối, do đó ta có thể kí hiệu : ∫ AB f(z)dz = z∫ z0 f(t)dt. • Nếu cố định z0 và cho z chạy trong D thì giá trị tích phân sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào sự biến thiên của z, hay nói cách khác đây là một hàm theo biến z ∈ D. Kí hiệu: F (z) = z∫ z0 f(t)dt, z ∈ D. Định lý 3.4. Nếu f(z) giải tích trong miền D thì F (z)cũng giải tích trong miền D và F ′(z) = f(z). Chứng minh. Ta thấy ∆F = F (z +∆z)− F (z) = z+∆z∫ z f(t)dt = f(z)∆z + z+∆z∫ z [f(t)− f(z)]dt. Mặt khác, | 1 ∆z z+∆z∫ z [f(t)− f(z)]dt| ≤ 1|∆z| .|∆z|. maxt∈[z,z+∆z] |f(t)− f(z)| = maxt∈[z,z+∆z] |f(t)− f(z)|. 20 Khi ∆z → 0, max t∈[z,z+