Đề tài Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor
Cho (R; m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Để nghiên cứu cấu trúc của các môđun Noether và môđun Artin, người ta thường quan tâm đến các tập iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố gắn kết tương ứng của chúng. Xuất phát từ một kết quả trong vành các số nguyên Z: nếu với mỗi iđêan I = mZ, trong đó m = p 1 1 : : : p k k là sự phân tích tiêu chuẩn của số nguyên m thì tập AssZ Z=I n Z = fp 1Z; : : : ; p k Zg là ổn định với mọi n, một cách tự nhiên người ta đã đặt ra câu hỏi rằng liệu tính chất này còn đúng khi thay Z bởi một vành giao hoán Noether tuỳ ý hay không. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về vấn đề này mà điển hình là kết quả của M. Brodmann vào năm 1979, trong đó ông đã chứng minh rằng các tập AssR (M=I n M ) và AssR (I n M=I n+1 M ) không phụ thuộc vào n khi n 0: Tiếp theo, vào năm 1986, R. Y. Sharp đã chứng minh kết quả đối ngẫu cho môđun Artin, đó là các tập AttR (0 : A I n ) và AttR (0 : A I n+1 =0 : A I n ) là độc lập với n khi n 0. Chú ý rằng ta luôn có các đẳng cấu M=I n M = Tor R 0 (R=I n ;M ) và (0 : A I n ) = Ext 0 R (R=I n ;A): Vì thế, một cách tự nhiên khi hỏi rằng liệu các kết quả trên có thể mở rộng cho các môđun Ext i R (R=I n ;A) và Tor R i (R=I n ;M ), với i bất kỳ hay không. Câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên được đưa ra bởi L. Melkersson và P. Schenzel vào năm 1993. Họ đã chứng minh được các tập AssR Tor R i (R=I n ;M ) và AttR Ext i R (R=I n ;A) ; n = 1; 2; : : : là ổn định khi n đủ lớn. Đồng thời, họ cũng đặt ra câu hỏi khi nào thì hai tập AttR Tor R i (R=I n ;A) và AssR Ext i R (R=I n ;M ) ; n = 1; 2; : : : là không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn. Tuy nhiên, câu trả lời cho câu hỏi trên lại nhìn chung là phủ định, thậm chí còn tồn tại các tập S? húa b?i Trung tõm H?c li?u - é?i h?c Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 S n AttR Tor R i (R=I n ;A) và S n AssR Ext i R (R=I n ;M ) là vô hạn (Ví dụ của M. Katzman [6, Hệ quả 1.3]). Vì vậy, câu hỏi tiếp theo được đặt ra là tìm điều kiện để các tập [ n>0 AttR Tor R i (R=I n ;A) và [ n>0 AssR Ext i R (R=I n ;M ) hữu hạn. Một phần câu trả lời cho câu hỏi trên đã được đưa ra bởi M. Brodmann và L.T. Nhan năm 2008. ở đó, bằng việc đưa ra khái niệm M -dãy chính quy với chiều > s và độ sâu với chiều > s của M trong I depth >s (I;M ), họ đã chứng minh rằng nếu dimSupp H i I (M ) 6 s với mọi i 6 r thì tập fp 2 [ n>0 AssR Ext t R (R=I n ;M ) j dim(R=p) sg là hữu hạn với mọi t 6 r; trong đó r = depth >s (I;M ): Tiếp theo đó, vào năm 2010, phần còn lại của câu hỏi trên đã được trả lời bởi L. T. Nhan và N. T. Dung [13]. Thông qua khái niệm dãy đối chính quy với chiều > s, nếu ký hiệu (Att R A) s = fp 2 AttR A j dim(R=p) sg thì họ đã chứng minh rằng các tập [ n2N AttR (Tor R t (R=I n ;A)) >s ; [ n 1 ;:::;n k2N AttR (Tor R t (R=(x n 1 1 ; : : : ; x n k k )R;A s là hữu hạn với mọi t 6 r, với n đủ lớn và với mọi bộ số tự nhiên n 1 ; : : : ; n k , trong đó r = Width>s (I;A) là độ rộng với chiều > s của A trong I và (x 1 ; : : : ; x k ) là hệ sinh của I . Mục đích của luận văn này là chứng minh một cách chi tiết các kết quả về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor trong [13]: ''A finitenees result for attached primes of certain Tor-modules''. S? húa b?i Trung tõm H?c li?u - é?i h?c Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị trong đó trình bày lý thuyết đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether của môđun Artin cùng với một số tính chất của hàm tử mở rộng, hàm tử xoắn, dãy chính quy và độ sâu của môđun thường được sử dụng trong các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất của M -dãy đối chính quy với chiều > s và đặc trưng độ dài tối đại của dãy đối chính quy với chiều > s của một môđun Artin thông qua chiều Krull của môđun con xoắn của nó. Khái niệm độ rộng với chiều > s và kết quả về tính chất hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor được trình bày trong chương 3
