Lý thuyết Lựa chọn của Nhà Đầu tư trong điều kiện không chắc chắn

1Expected Utility Theory under Uncertainty Lý thuyết Lựa chọn của Nhà Đầu tư ề ắ ắtrong đi u kiện không ch c ch n 1. Giới thiệu • Chúng ta đã nghiên cứu về lý thuyết sự lựa chọn của nhà đầu tư trong điều kiện chắc chắn • Trong thực tế, quyết định của nhà đầu tư thường được thực hiện trong điều kiện không chắc chắn • Ví dụ: 1. Không chắc chắn về chất lượng (xe cũ) 2. Không chắc chắn về hành vi của đối tác -> Kết quả phụ thuộc vào hành vi của đối tác 2 3. Mua tài sản tài chính (cổ phiếu và trái phiếu) lợi suất phụ thuộc vào biến động thị trường. Đây là nội dung nền tảng của Kinh tế học Tài chính 2Mục tiêu của cá nhân 1) Các cá nhân tối đa hóa độ thỏa dụng kỳ vọng 0.4 10 A t i E(W) = 0.4(10) + 0.6(2) = 5.2 0.3 0.6 0.7 2 2) Sở thích của cá nhân đối với lợi suất và rủi ro 9 4 sse Asset j E(W) = 0.3(9) + 0.7(4) = 5.5 E[U(W)] = 0.4U(10) + 0.6U(2) = ? E[U(W)] = 0.3U(9) + 0.7U(4) = ? Nhà đầu tư thích E[U(W)] cao hơn 3 y x C2 C1 Return Risk Xác suất • Xác suất là khả năng một biến cố có thể xuất hiện sau nhiều phép thử • Nếu αi = là xác suất biến cố i xuất hiện trong tổng số n biến cố có thể xảy ra • 1. αi > 0, i = 1n • 2. ∑ αi = 1 • Giả sử (X) là giải thưởng • X1, X2, X3,...,Xn có xác suất tương ứng αi • α1, α2, α3,...,αn , là xung khắc và hoàn chỉnh ‘i=1 n 4 (mutually exclusive and exhaustive) • Thì giá trị kỳ vọng của giải thưởng là • E(X) = α1X1 + α2X2 + α3X3 + ... + αnXn • E(X) = ∑ αiXi‘i=1n 3Ví dụ 1 • Đánh bạc (X) tung đồng xu • Nếu ngửa, nhận $1 X1 = +1 • Nếu sấp, trả $1 X2 = -1 • E(X) = (0.5) (1) + (0.5) (-1) = 0 • Nếu chúng ta chơi nhiều lần, khả năng chúng ta hòa vốn rất lớn 5 Thí dụ 2 • Đánh bạc (X) tung đồng xu • Nếu ngửa, thắng $10 X1 = +10 • Nếu sấp, thua $1 X2 = -1 • E(X) = (0.5) (10) + (0.5) (-1) = 4.50 • Nếu chúng ta chơi nhiều lần, chúng ta sẽ thắng lớn • Chúng ta sẵn sàng trả bao nhiêu để chơi trò chơi này: Có hể hiề hấ là $4 0 6 • t n u n t .5 • Câu trả lời phụ thuộc vào sở thích đối với rủi ro 4Ván bài công bằng • Nếu the cost to play = expected value of these gambles the outcome – Ván bài công bằng về mặt thống kê - actuarially fair • Thực tiễn chứng minh: 1. Thông thường mọi người đồng ý tung đồng xu trong trường hợp số tiền nhỏ và từ chối chơi trong trường hợp số tiền lớn 7 2. Mọi người sẵn sàng bỏ số tiền nhỏ để chơi bạc không công bằng về mặt thống kê actuarially unfair games (Lotto 649, where cost = $1, but E(X) < 1) nhưng sẽ từ chối chơi nhiều St. Petersburg Paradox • Ván bài (X): • Một đồng xu sẽ được tung n lần cho đến khi ngửa, bạn nhận được $2n hái $2 $4 $8 $2• Trạng t : X1 = X2 = X3 = ... Xn = n • Xác suất: α1 = 1/2 α2 = 1/4 α3 = 1/8 ... αn = 1/2n E(X) = Paradox: Không ai có thể chơi ván bài này công bằng về mặt thống kê “actuarially fair” ∞===∑ ∑ ∑∞ =1 12 2 1 i i iii xα 8 5St. Petersburg Paradox n P(n) Prize Expected payoff 1 1/2 $2 $1 2 1/4 $4 $1 3 1/8 $8 $1 4 1/16 $16 $1 5 1/32 $32 $1 9 6 1/64 $64 $1 7 1/128 $128 $1 8 1/256 $256 $1 9 1/512 $512 $1 10 1/1024 $1024 $1 Giải thích St. Petersburg Paradox • Giả sử U(X) = ln(X) U'(X)=1/x > 0 MU dương • U"(X)=-1/x2 < 0 MU giảm dần • E(U(W)) = E(Σ αi U(Xi)) = (Σ αi ln(Xi)) = 1.39 < ∞ • Các cá nhân có thể trả 1.39 đơn vị độ thỏa dụng để chơi trò chơi này 10 6Lý thuyết Độ thỏa dụng kỳ vọng • Mục đích: Xây dựng lý thuyết ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn xử dụng một số giả định. • Điều kiện để các cá nhân có hành vi có lý chí và nhất quán đòi hỏi phải thỏa mãn 5 tiên đề về xếp thứ tự độ thỏa dụng. • Các tiên đề về độ thỏa dụng kỳ vọng (trung bình) đòi hỏi: 1. Tất cả các cá nhân phải ra quyết định có lý trí, nhất á à đầ đủ 11 qu n, v y 2. Các cá nhân có thể ra quyết định lựa chọn trong hàng ngàn lựa chọn khác nhau 5 Axioms of Choice under uncertainty A1. So sánh được - Comparability (completeness). Trong tập hợp các sự lựa chọn khác nhau, mọi người có thể xác định được hoặc thích x hơn y (x > y) hoặc thích y hơn x (y > x) hoặc thích x như y (x ~ y). A2.Tính chất bắc cầu - Transitivity (consistency). Nếu một người thích x hơn y và y hơn z, thì người đó thích x 12 hơn z. Nếu (x > y và y > z, thì x > z). Tương tự, nếu một người bàng quan giữa x và y và bàng quan giữa y và z, thì người đó bàng quan giữa x và z. Nếu (x ~ y và y ~ z, thì x ~ z). 7A3. Độc lập hoàn toàn - Strong Independence. Giả sử chúng ta có một canh bạc với xác suất α nhận được 5 Axioms of Choice under uncertainty kết cục x và xác suất (1-α) nhận được kết cục z. Canh bạc này có thể viết dưới dạng: G(x,z:α) Độc lập hoàn toàn giữa kết cục x và y có nghĩa là nếu một người bàng quan với canh bạc có kết cục x với xác suất α và kết cục xung khắc (mutually exclusive) z, và canh bạc ế ấ ế ắ 13 thứ hai có k t cục y với xác su t α và k t cục xung kh c z. Nếu x ~ y, thì G(x,z:α) ~ G(y,z:α) Chú ý: Điều kiện xung khắc (mutual exclusiveness) là bắt buộc. A4. Đo lường được Measurability. (CARDINAL UTILITY) Nếu kết cục y không được thích bằng kết cục x (y < x) nhưng được thích hơn kết cục z (y > z), 5 Axioms of Choice under uncertainty thì sẽ tồn tại một xác suất duy nhất thỏa mãn điều kiện: một người sẽ bàng quan với [1] y và [2] Canh bạc giữa x với xác suất α và z với xác suất (1-α). ề á h 14 V mặt to n ọc, Nếu x > y > z hoặc x > y > z , thì sẽ có một giá trị α duy nhất thỏa mãn y ~ G(x,z:α) 8A5.Xếp hạng được - Ranking. (CARDINAL UTILITY) Nếu cả kết cục y và u nằm đâu đó giữa x và z chúng ta có thể thiết kế một canh bạc để một người bàng quan giữa y 5 Axioms of Choice under uncertainty và canh bạc x (với xác suất α1) và z, và đồng thời bàng quan giữa u và một canh bạc thứ hai, có kết cục x (với xác suất α2) và z, và nếu α1 lớn hơn α2, ta sẽ có y được thích hơn u. Nếu x > y > z và x > u > z 15 và nếu y ~ G(x,z:α1) và u ~ G(x,z:α2), ta có α1 > α2 thì y > u, Hay nếu α1 = α2, thì y ~ u Thêm một giả định • Tất cả mọi người đều tham lam và vì vậy họ thích nhiều của cải hơn ít của cải • 5 tiên đề này cùng với giả định cuối cùng chúng ta có thể xây dựng được hàm độ thỏa dụng 16 max E[U(W)] = max ∑iαiU(Wi) 9Hàm độ thỏa dụng (Utility Functions) • Hàm độ thỏa dụng phải thỏa mãn 2 điều kiện 1. Đảm bảo trật tự (order preserving): nếu U(x) > U(y) => x > y 2. Độ thỏa dụng kỳ vọng có thể sử dụng để so sánh các cơ hội đầu tư rủi ro khác nhau: U[G(x,y:α)] = αU(x) + (1-α) U(y) • Nhận xét: Hàm độ thỏa dụng là duy nhất cho từng cá thể - Không thể so sánh mức độ thỏa mãn của một người với mức độ 17 thỏa mãn của một người khác - Việc so sánh độ thỏa dụng của các cá nhân khác nhau không thể thực hiện được Nếu chúng ta đưa $1,000 cho 2 người, không có cách nào để so sánh ai hạnh phúc hơn ai. One more element: Risk Aversion • Nghiên cứu canh bạc sau đây: • Kết cục a prob = α G(a,b:α) • Kết cục b prob = 1-α • Câu hỏi: Liệu chúng ta thích nhận được giá trị kỳ vọng với khả năng chắc chắn hay chúng ta sẽ chơi canh bạc trên? • Thí dụ, nghiên cứu canh bạc • 10% cơ hội thắng $100 • 90% cơ hội thắng $0 E(canh bạc) = $10 18 • Bạn sẽ nhận $10 chắc chắn hay đánh bạc? Nếu bạn thích đánh bạc, bạn là người yêu rủi ro, risk loving Nếu bạn bàng quan với cả hai lựa chọn, bạn là người trung lập với rui ro risk neutral Nếu bạn thích nhận tiền chắc chắn hơn đánh bạc, bạn là người sợ rủi ro risk averse 10 Preferences to Risk U(W) U(W) U(W) W W Wa ba b a b U(a) U(b) U(a) U(b) U(b) U(a) 19 Risk Preferring Risk Neutral Risk Aversion U'(W) > 0 U''(W) > 0 U'(W) > 0 U''(W) = 0 U'(W) > 0 U''(W) < 0 The Utility Function U(W) 3.00 3.40 2.30 1.61 Let U(W) = ln(W) U'(W) > 0 U''(W) < 0 U'(W) = 1/w U''(W) = - 1/W2 20 W1 5 10 20 30 0 MU dương nhưng Giảm dần 11 U[E(W)] và E[U(W)] • U[(E(W)] là mức thỏa dụng tương ứng với mức tài sản của các cá nhân (mặc dù chúng ta không chắc hắ ề ứ tài ả hú t ẽ ó t t l ic n v m c s n c ng a s c rong ương a , mức tài sản kỳ vọng đã được xác định tại thời điểm hiện tại) • E[U(W)] là mức thỏa dụng kỳ vọng tương ứng với các mức tài sản có thể có trong tương lai. Mối hệ iữ U[E(W)] à E[U(W)] thể hiệ ứ 21 • quan g a v n m c sợ rủi ro của các cá nhân Độ thỏa dụng kỳ vọng • Giả sử chúng ta có hàm thỏa dụng: U(W) = ln(W) • Thì MU(W) là hàm giảm dần • U(W) = ln(W) • U'(W)=1/W • MU>0 • MU''(W) MU giảm dần Thí dụ: 80% cơ hội thắng $5 20% cơ hội thắng $30 22 E(W) = (.80)*(5) + (0.2)*(30) = $10 U[E(W)] = U(10) = 2.30 E[U(W)] = (0.8)*[U(5)] + (0.2)*[U(30)] = (0.8)*(1.61) + (0.2)*(3.40) = 1.97 Vì vậy, U[(E(W)] > E[U(W)] -- bất trắc giảm lợi suất 12 The Markowitz Premium U(W) 3.40 U(W) = ln(W) U[E(W)] = U(10) = 2.30 E[U(W)] = 0.8*U(5) + 0.2*U(30) = 0.8*1.61 + 0.2*3.40 = 1.97 Vì vậy, U[E(W)] > E[U(W)] Bất trắc giảm độ thỏa dụng U[E(W)] = 2.30 1.61 E[U(W)] = 1.97 23 Certainty equivalent: 7.17 Các cá nhân sẽ nhận giá trị 7.17 chắc chắn hơn là bất trắc trong canh bạc W1 5 10 30 0 CE = 7.17 2.83 The Certainty Equivalent • Giá trị kỳ vọng của tài sản là10 • E[U(W)] = 1.97 • Các nhà đầu tư sẽ sẵn lòng nhận giá trị bao nhiêu tương đương với cuộc chơi bất trắc • Ln(CE) = 1.97 • Exp(Ln(CE)) = CE = 7.17 • Cá nhân này sẽ nhận 7.17 với xác suất chắc chắn hơn là đánh bạc nhận 10 24 • Sai khác là (10 – 7.17 ) = 2.83, có thể coi là lợi suất bù rủi ro (risk premium) – Số tiền cá nhân sẵn sàng trả để tránh rủi ro 13 The Risk Premium • Lợi suất bù rủi ro, Risk Premium: – Lượng tiền cá nhân sẵn sàng từ bỏ để tránh phải đánh bạc • Nghiên cứu lại canh bạc: 80% cơ hội thắng $5 20% cơ hội thắng $30 E(W) = (.80)*(5) + (0.2)*(30) = $10 Giả sử các cá nhân có sự lựa chọn giữa đánh bạc và giá trị kỳ vọng của canh bạc E[U[W)] = 1.97 Certainty equivalent = $7.17 Nhà đầu tư sẵn sàng trả tối đa $2.83 để tránh đánh bạc ($10 - $7.17) nghĩa là sẽ 25 trả phí bảo hiểm $2.83. THIS IS CALLED THE MARKOWITZ PREMIUM Ln(CE)=1.97, nghĩa là U(CE)=E[U(W)], CE=7.17, RP=10-7.17=$2.83 The Risk Premium Risk Premium = Tài sản trung bình nhà đầu tư nhận được khi tham gia đánh bạc - Giá trị tài sản nhà đầu tư sẽ chấp nhận nếu nhận được tài sản chắc chắn và không phải đánh bạc(the certainty equivalent) Tổng quát, Nếu U[E(W)] > E[U(W)] sợ rủi ro (RP > 0) Nếu U[E(W)] = E[U(W)] trung lập với rủi ro (RP = 0) Nếu U[E(W)] < E[U(W)] yêu thích rủi ro (RP < 0) 26 Sợ rủi ro xảy ra khi hàm lõm strictly concave Trung lập với rủi ro khi hàm tuyến tính linear Yêu thích rủi ro khi hàm lồi convex 14 The Arrow-Pratt Premium • Nhà đầu tư sợ rủi ro Giả ử hà độ hỏ d lõ à ă dầ U(W) 3.40 • s m t a ụng m v t ng n • Các cá nhân thích nhiều hơn ít (MU > 0) • MU giảm dần A More Specific Definition of Risk Aversion W = tài sản hiện tại Canh bạc Z có lợi suất kỳ vọng bằng không ( ) W U[E(W)] = 2.30 0 1.61 E[U(W)] = 1.97 2.83 27 E Z = 0 Lợi suất bù rủi ro π(W,Z) là bao nhiêu cần phải đưa vào canh bạc để một nhà đầu tư bàng quan với canh bạc và lợi suất trung bình của canh bạc. 1 5 10 30CE = 7.17 The Arrow-Pratt Premium π Là hàm số thỏa mãn điều kiện sau: E[U(W + Z)] = U[ W + E(Z) - π( W Z)] (*), LHS: Độ thỏa dụng kỳ vọng của mức tài sản hiện tại, trong điều kiện đánh bạc RHS: Độ thỏa dụng với mức tài sản hiện tại + Giá trị kỳ vọng của canh bạc - 28 Sử dụng chuỗi Taylor (Taylor series) cho (*) để xác định π(W,Z) Lợi suất bù rủi ro 15 29 Absolute Risk Aversion • Arrow-Pratt Measure đo lường Local Risk Premium xác định từ (*) ) (W)U (W)U - ( 2 1 = 2Z ′ ′′σπ • Đinh nghĩa ARA là Mức sợ rủi ro tuyệt đối (Absolute Risk Aversion) • Hệ số này được xác định là mức sợ rủi ro tuyệt đối vì nó xác định mức sợ rủi ro cho một mức tài sản cụ thể ARA > 0 đối ới tất ả á hà đầ t ủi (U'>0 U''<0) (W)U (W)U - = ARA ′ ′′ 30 • v c c c n u ư sợ r ro , • ARA sẽ thay đổi thế nào với mỗi mức tài sản? • Nghĩa là $1000 có thể vô nghĩa với người giàu, nhưng rất có ý nghĩa với người nghèo => ARA sẽ giảm khi tài sản tăng 16 Relative Risk Aversion (W)U (W)U*W - = RRA ′ ′′ 31 Quadratic Utility Quadratic Utility - U(W) = a W - b W2 U'(W) = a - 2bW U"(W) = -2b -U"(W) 2b ARA = --------- = --------- U'(W) a -2bW d(ARA) ------- > 0 dW quadratic utility có đặc điểm ARA tăng và RRA tăng Hàm độ thỏa dụng parabol không phù hợp với kiểm định thực tế của Friend và Blume (1975) 32 2b RRA = --------- a/W - 2b d(RRA) ------- > 0 dW 17 Kiểm định thống kê • Kiểm định thống kê thực nghiệm của Friend và Blume (1975) chỉ ra rằng ARA giảm dần và RRA không đổi bằng 2 • Power Utility Function U(W) = -W-1 U'(W) = W-2 > 0 U"(W) = -2W-3 < 0 ARA = 2/W => dARA/dW < 0 U(W) = -1/W 33 RRA = 2W/W = 2 => dRRA/dW = 0 Hàm độ thỏa dụng lũy thừa phù hợp với kiểm định thống kê thực nghiệm của Friend và Blume (1975) Ví dụ • U=ln(W) W = $20,000 • G(10,-10: 50) 50% thắng 10, 50% thua 10 • Tính lợi suất bù rủi ro cho canh bạc này? • Tính lợi suất bù rủi ro sử dụng phương pháp Markowitz và phương pháp Arrow-Pratt 34 18 Arrow-Pratt Measure • π = -(1/2) σ2z U''(W)/U'(W) • σ2z = 0.5*(20,010 – 20,000)2 + 0.5*(19,090 – 20,000)2 = 100 • U'(W) = (1/W) U''(W) = -1/W2 • U''(W)/U'(W) = -1/W = -1/(20,000) • π = -(1/2) σ2z U''(W)/U'(W) = -(1/2)(100)(-1/20,000) = $0.0025 35 Phương pháp Markowitz • E(U(W)) = Σ piU(Wi) • E(U(W)) = (0.5)U(20,010) + 0.5*U(19,990) • E(U(W)) = (0.5)ln(20,010) + 0.5*ln(19,990) • E(U(W)) = 9.903487428 • ln(CE) = 9.903487428 → CE = 19,999.9975 36 • Lợi suất bù rủi ro là RP = $0.0025 • Vì vậy, cả 2 phương pháp AP và Markowitz đều cho kết quả lợi suất bù rủi ro sát nhau 19 Markowitz Approach E(U(W)) = 9.903487 37 19,990 20,01020,000 CE Khác biệt giữa hai phương pháp • Lợi suất bù rủi ro (Markowitz premium) cho kết quả chính xác, lợi suất bù rủi ro AP cho kết quả gần đúng • AP giả định lượng thay đổi tài sản nhỏ và đối xứng trong cả hai kết cục tốt hoặc xấu. • Trong thực tế, đôi khi rất khó có thể xác định hàm độ hỏ d h há AP h ậ iệ để í h 38 t a ụng, p ương p p t u n t n t n toán • Mức chính xác của phương pháp AP giảm dần khi biến động tài sản lớn và không đối xứng 20 39 Stochastic Dominance • First-order stochastic dominance 40 21 Stochastic Dominance • Second-order stochastic dominance 41 Mean & Variance Indifference Curve Return 42 Risk