Phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 33 PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER PHI TUYẾN RỜI RẠC TS. Nguyễn Bá Phi Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học xây dựng Miền Trung Tóm tắt: Bài viết trình bày một trong những cách đơn giản nhất để d n ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên. Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng của phương trình, nó liên quan trực tiếp đến các hệ vật lý cũng được cho thấy. Từ khóa: Phương trình phi tuyến tính Schrödinger, hiện tượng định sứ Anderson, phi tuyến quang học, sự tự bẫy. 1. Đặt vấn đề Sự mất trật tự và tính chất phi tuyến là hai đặc trưng quan trọng, xuất hiện hầu hết trong các loại vật liệu cũng như trong các hệ vật lý. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu sự lan truyền của sóng trong môi trường mất trật tự phi tuyến đã trở thành một trong mảng nghiên cứu rất được các nhà khoa học quan tâm, cả về phương diện lý thuyết lẫn thực nghiệm. Tuy nhiên, cho đến nay, sự hiểu biết của chúng ta về chủ đề mang tính thách thức này vẫn còn mang tính chấp vá, chưa thật sự đầy đủ. Để giải quyết những bài toán liên quan đến ảnh hưởng đồng thời của tính mất trật tự và tính phi tuyến lên quá trình lan truyền của sóng trong một môi trường nào đó, phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – là một trong những phương trình mô hình động học mạng phi tuyến cơ bản nhất, được cho thấy là một công cụ rất hữu ích. Phương trình này thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu do tính ứng dụng rỗng rãi của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, nó là phương trình mô hình đường bao tán sắc thích hợp đối với việc mô tả điện trường trong các ống dẫn sóng [1, 2], sự tự hội tụ (self-focusing) và suy yếu của sóng Langmuir trong vật lý plasma [3], hay đối với việc mô tả sóng nước trong các đại dương [4]. Về mặt lịch sử, việc nghiên cứu phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc đã có từ những năm 50 của thế kỷ trước với mô hình Holstein đối với việc hình thành polaron (một giả hạt – liên quan đến tương tác giữa điện tử và nguyên tử trong chất rắn) trong các tinh thể phân tử [5, 6]. Những ví dụ quan trọng khác phải kể đến là mô hình Davydov đối với sự vận chuyển năng lượng dọc theo các phân tử protein [7] và mô hình các ống dẫn sóng phi tuyến liên kết [8-10]. Bên cạnh đó, phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc còn đóng vai trò trung tâm trong việc phát triển lý thuyết tổng quát đối với các kiểu định xứ có bản chất nội tại được gọi là các “discrete breather”, xảy ra trong các hệ dao động phi điều hòa liên kết [11]. Gần đây, sự quan tâm dành cho phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc được đẩy lên cao hơn nữa do việc quan sát được bằng thực nghiệm hiện tượng định xứ Anderson của ánh sáng trong các mạng quang tử mất trật tự [12-14], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc mô tả sự lan truyền của ánh sáng trong gần đúng gần trục quang học; của các nguyên tử lạnh trong các Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 34 mạng quang học mất trật tự [15, 16], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc được xem là một mô tả gần đúng trường trung bình. Với tầm quan trọng như vậy, tuy nhiên, những tài liệu bằng tiếng Việt liên quan đến phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như ứng dụng của phương trình này trong việc giải quyết một số bài toán vật lý hầu như chưa có theo sự hiểu biết của tác giả bài viết. Nhằm mục đích giúp cho các bạn đọc quan tâm nói chung cũng như các nhà vật lý Việt Nam nói riêng có một tài liệu tiếng Việt liên quan đến vấn đề này để tham khảo, tác giả đã mạnh dạn viết bài viết này. Bố cục của bài viết như sau. Trong mục 1, tác giả đã nêu lên tầm quan trọng của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như sự cần thiết của bài viết. Nội dung chính của bài viết là cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc, được trình bày trong mục 2. Tiếp theo, hai trường hợp giới hạn quan trọng và một vài ứng dụng phương trình này trong việc giải quyết các vấn đề vật lý đã được thực hiện bởi chính tác giả của bài viết, được đưa ra trong mục 3. Cuối cùng, một vài kết luận đối với bài viết được tóm tắt trong mục 4. 2. Cách d n ra phƣơng trình Schrödinger phi tuyến rời rạc Việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có thể dựa trên một số cách khác nhau. Trong bài viết này, tác giả sẽ theo sát một cách làm có thể nói là đơn giản nhất (theo quan điểm của tác giả), nó được đưa ra bởi Alfimov [17] với điểm xuất phát là phương trình Schrödinger phi tuyến liên tục có dạng tổng quát: 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )         x t x t i V x x t x t x t t x       (1) Trong đó ( , )x t là hàm sóng của hệ lượng tử; ( )V x là một hàm thế tuần hoàn với chu kỳ L , nghĩa là, ( ) ( ).V x L V x  Phương này được cho thấy là rất thích hợp đối với việc mô tả quá trình tiến triển của chất cô đặc Bose-Einstein bị giam cầm trong sự có mặt của thế quang học. Trong phạm vi này, dấu của  xác định bản chất tương tác giữa các nguyên tử. Cụ thể, nếu tương tác là hút thì 1   và tương ứng với cái gọi là tính phi tuyến hội tụ (focusing nonlinearity), ngược lại nếu tương tác là đẩy thì 1   và tương ứng với cái gọi là tính phi tuyến phân kỳ (defocusing nonlinearity). Những thuật ngữ này cũng được sử dụng trong lĩnh vực quang học và các lĩnh vực khác. Để đơn giản, chúng ta giới hạn việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc chỉ đối với trường hợp một chiều. Tuy nhiên, những khái niệm tương tự trong bài viết này cũng có thể được tổng quát hóa đối với phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có số chiều lớn hơn một. Trước hết, chúng ta đi khảo sát bài toán trị riêng tuyến tính tương ứng, nghĩa là số hạng cuối cùng bên vế phải của phương trình (1) được bỏ qua. Khi đó, phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian tương ứng có dạng: 2 , , ,2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  k k k d x V x x E k x dx        (2) Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 35 Trong phương trình (2), k, là các hàm Bloch, tức là thõa mãn k, (x) = e ikx uk, (x), trong đó uk, (x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ L và  là chỉ số ký hiệu các vùng năng lượng tương ứng E(k). Vì các vùng năng lượng này là những hàm tuần hoàn ( 2 / ) ( )E k L E k   [18] nên chúng có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier: * , , , , ˆ ˆ ˆ ˆ( ) , , iknL n n n n n E k e          (3) trong đó dấu “*” chỉ việc lấy liên hợp phức đối với số hạng chứa nó. Các hệ số Fourier , ˆ n  trong phương trình (3) được xác định bỡi: /L , /L ˆ ( ) . 2 iknL n L E k e dk           (4) Mặc dù các hàm Bloch vẫn tạo nên một hệ cơ sở trực giao nhưng để thuận lợi hơn đối với việc tính toán giải tích, Alfimov đã sử dụng hệ cơ sở tạo bởi các hàm Wannier thay vì sử dụng hệ cơ sở được tạo thành từ các hàm Bloch. Chúng ta nhớ lại rằng, hàm Wannier với tâm đặt tại vị trí nL ( n là số nguyên) và tương ứng với vùng năng lượng  nào đó được định nghĩa: /L , /L ( ) ( ) . 2 iknL k L w x nL x e dk            (5) Ngược lại, các hàm Bloch được cho bỡi: , n,( ) ( )e . 2 iknL k n L x w x       (6) Tương tự như các hàm Bloch, các hàm Wannier cũng tạo nên một tập hợp các hàm trực giao và đầy đủ như sau: * , , * , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ). n n nn n n n w x w x dx w x w x x x                          (7) Từ phương trình (4), nếu chúng ta chọn pha của các hàm Bloch một cách hợp lý thì các hàm Wannier là thực và giảm theo hàm mũ khi n [18]. Nếu điều này được thực hiện, khi đó chúng ta có được: * , ,( ) ( ).n nw x w x  Cốt lõi của việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc nằm ở việc tách nghiệm của phương trình (1) trong cơ sở các hàm Wannier , , , ( , ) ( ) ( ).n n n x t c t w x     (8) Thay nghiệm (8) vào phương trình (1) và thực hiện các phép biến đổi đại số ta thu được phương trình 1 2 3 1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 , * , , , , , , , , , ( ) ˆ ,n nn n nn n n n n n n n n n dc t i c c c c W dt                  (9) Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 36 Trong đó: 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , nn n n n n n nW w w w w dx           (10) là các yếu tố ma trận xen phủ. Chúng đối xứng theo tất cả các phép giao hoán đối với các nhóm chỉ số (, 1, 2, 3) và (n, n1, n2, n3). Phương trình (9) có thể được xem là dạng vectơ của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc. Nếu các hệ số Fourier trong (4) giảm đủ nhanh khi n , nghĩa là 1, n,ˆ ˆ| | | |   với 1n  , khi đó các số hạng liên kết từ bậc hai trở đi trong phần tuyến tính của phương trình (9) có thể được bỏ qua. Do vậy, mô hình động học chỉ kể đến một mình các tương tác lân cận gần nhất được đưa ra. Ngoài ra, vì các hàm Wannier vớin, (x) là định xứ và có tâm đặt tại x nL nên chúng ta có thể giả thuyết rằng trong một số trường hợp nào đó, trong số tất cả các hệ số 1 2 3 1 2 3 nn n n W   thì những hệ số 1 2 3 1 2 3 nn n n W   với 1 2 3n n n n   có ảnh hưởng trội hơn các hệ số còn lại. Do vậy, những hệ số 1 2 3 1 2 3 nn n n W   còn lại sẽ được bỏ qua trong phương trình. Khi đó, phương trình (9) được viết lại: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , * 0, , 1, 1, 1, , , , , , ( ) ˆ ˆ ( ) .n nnnnn n n n n n dc t i c c c W c c c dt                        (11) Thêm vào đó, bằng cách giới hạn sự xem xét của chúng ta chỉ đối với một vùng năng lượng , phương trình (11) trở thành phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc liên kết chặt như sau: 2, 0, , 1, 1, 1, , , ( ) ˆ ˆ ( ) .n nnnnn n n n n dc t i c c c W c c dt                (12) Một trong những điểm thuận lợi của cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc ở trên là nó cho thấy một cách trực tiếp làm thế nào để tổng quát hóa gần đúng một vùng cho các trường hợp phức tạp hơn. Chẳng hạn, khi độ mạnh liên kết giữa các vùng năng lượng có thể so sánh được với độ mạnh liên kết trong cùng một vùng, khi đó chúng ta cần phải cộng thêm một vài số hạng liên quan đến vùng năng lượng vào phương trình (12). Nếu các hệ số Fourier trong phương trình (4) giảm không đủ nhanh khi n thì ,ˆn  có giá trị đáng kể đối với 1.n  Khi đó, chúng ta phải kể thêm các số hạng 2, 3,ˆ ˆ, ,...   vào phương trình (12). Tuy nhiên, vì một số lý do vật lý cụ thể, trong hầu hết các nghiên cứu từ trước cho đến nay, một dạng đơn giản hơn đối với phương trình (12) đã được sử dụng: 2 1 1 ( ) ( ) ,n n n n n n n dc t i c J c c c c dt       (13) trong đó n là năng lượng tại nút thứ n của mạng, J là tham số nhảy lân cận bậc nhất và  là hệ số phi tuyến – đặc trưng cho độ mạnh của tính phi tuyến. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 37 3. Ứng dụng của phƣơng trình Schrödinger phi tuyến rời rạc Kích thích định xứ và kích thích lan truyền Trong trường hợp năng lượng nút n có phân bố ngẫu nhiên trong một khoảng giá trị nào đó thì phương trình (13) thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson [19] đối với trường hợp kích thích định xứ. Về mặt thực nghiệm, điều này có thể được thực hiện trong nhiều hệ vật lý khác nhau, chẳng hạn như trong sợi quang học, mảng các ống dẫn sóng, tinh thể quang tử, chất cô đặc Bose-Einstein, Mặc khác, nếu chúng ta tìm nghiệm dừng của phương trình (13) dưới dạng exp( ),n nc iEt  chúng ta sẽ rút ra được phương trình: 2 1 1( ) .n n n n n n nE J            (14) Phương trình này thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson nhưng trong trường hợp kích thích lan truyền. Thật thứ vị để nhắc lại rằng nếu  = 0 thì phương trình (14) thu về phương trình mô hình Anderson một chiều chuẩn. Ảnh hưởng của tính phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson là khác nhau một cách định lượng đối với các kích thích hoặc là định xứ hoặc là lan truyền. Đối với trường hợp trước, sự có mặt của tính phi tuyến làm chậm quá trình bắt đầu định xứ. Ngược lại, đối với trường hợp sau, tính phi tuyến tăng cường vai trò của tính mất trật tự đối với hiện tượng định xứ Anderson, nghĩa là độ giảm theo hàm mũ của hệ số truyền qua trong trường hợp này mạnh hơn trong trường hợp định xứ Anderson thuần tý (khi chưa kể đến tính phi tuyến), ít nhất đối với những hệ có kích thước không quá lớn [20-22]. Hiện tƣợng tự chặn Phương trình (13) với 0n  đối với mọi n sẽ trở thành 2 1 1 ( ) ( ) .n n n n n dc t i J c c c c dt     (15) Phương trình này mô tả rất có hiệu quả ảnh hưởng của các dao động mạng lên động học của điện tử trong lĩnh vực vật lý chất rắn. Trong phạm vi động học điện tử - Hình 1. Hệ số truyền qua (được lấy trung bình theo các cấu hình mất trật tự) là hàm của kích thước hệ được cho thấy đối với trường hợp kích thích lan truyền. Kết quả số cho thấy rằng, hiện tượng định xứ Anderson được tăng cường trong sự có mặt của tính phi tuyến  [20]. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 38 dao động mạng, hiện tượng quan trọng nhất gắn với phương trình (15) là hiện tượng tự chặn – một bó sóng (hoặc một hạt) ban đầu định xứ thì vẫn định xứ trong một vùng hữu hạn quanh nút kích thích ban đầu trong giới hạn thời gian dài. Hiện tượng này xảy ra khi độ mạnh của tính phi tuyến vượt quá giá trị giới hạn 3.5c [23, 24]. 4. Kết luận Bài viết đã trình bày một trong những cách đơn giản nhất để dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên cũng như trong các hệ vật lý do con người tạo ra. u điểm của cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc trong bài viết này là khả năng tổng quát hóa cách làm này đối với những bài toán phức tạp hơn. Bài viết cũng chứa đựng một vài kết quả được xem như là những ví dụ của việc sử dụng phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc trong việc nghiên cứu, giải quyết một số bài toán vật lý. Điều này được thực hiện bởi chính bản thân tác giả. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. Morandotti, H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, M. Sorel, and J. S. Aitchison. 2001. Self-focusing and defocusing in waveguide arrays, Phys. Rev. Lett. 86, 3296. [2] S. Burger, F. S. Cataliotti, C. Fort, P. Maddaloni, F. Minardi, and M. Ingscio. 2002. Quasi - 2D Bose - Einstein condensate in an optical lattice, Europhys. Lett. 57, 1. [3] V. E. Zakharov. 1972. Collapse of Langmuir waves, Sov. Phys. JETP 35, 908. [4] M. Onorato, A. R. Osborne, M. Serio, and S. Bertone. 2001. Freak Waves in Random Oceanic Sea States, Phys. Rev. Lett, 86, 5831. [5] T. Holstein. 1959. Studies of polaron motion: Part I. The molecular-crystal model, Ann. Phys. 8, 325. [6] T. Holstein. 1959. Studies of polaron motion: Part II. The “small” polaron, Ann. Phys. 8, 343. [7] A. Davydov. 1977. Soliton and energy transfer along protein molecules, J. Theor. Biol. 66, 379. [8] D. Hennig and G. P. Tsironis. 1999. Wave transmission in nonlinear lattices, Phys. Rep. 307, 333. Hình 2. Sự phụ thuộc của xác suất tìm thấy hạt (hoặc bó sóng) ( )oR t tại vị trí kích thích ban đầu theo thời gian được cho thấy. Giá trị giới hạn của tham số phi tuyến mà trên đó hiện tượng tự chặn xảy ra được xác định là 3.5c [24]. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 39 [9] F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev, and Y. Silberberg. 2008. Discrete soliton in optics, Phys. Rep. 463, 1. [10] D. N. Christodoulides, F. Lederer, and Y. Silberberg. 2003. Discretizing light behavious in linear and nonlinear waveguide lattices, Nature 424, 817. [11] S. Flach and C. R. Willis. 1998. Discrete Breathers, Phys. Rep. 295, 181. [12] T. Schwatz, G. Bartal, S. Fishman, and M. Segev. 2007. Transport and Anderson localization in disordered two-dimensional photonic lattices, Nature 446, 52. [13] Y. Lahini, A. Avidan, F. Pozzi, M. Sorel, R. Morandotti, D. N. Christodoulides, and Y. Silberberg. 2008. Anderson Localization and Nonlinearity in One-Dimensional Discreted Photonic Lattices, Phys. Rev. Lett. 100, 013906. [14] Y. Lahini, F. Pozzi, M. Sorel, R. Morandotti, D. N. Christodoulides, and Y. Silberberg. 2009. Direct Observation of a Localization Transition in Quasi-Periodic Photonic Lattices, Phys. Rev. Lett. 103, 013901. [15] J. Billy, V. Josse, Z. Zuo, A. Bernard, B. Hambrecht, P. Lugan, D. Clément, L. Sanchez-Palencia, P. Bouyer, and A. Aspect. 2008. Direct observation of Anderson localization of matter-waves in a controlled disorder, Nature 453, 891. [16] G. Roati, C. D’Errio, L. Fallani, M. Fattori, C. Fort, M. Zaccanti, G. Modugno, M. Modugno, and M. Ingucio. 2008. Anderson localization of a non-interacting Bose- Einstein condensate, Nature 453, 895. [17] G. Alfimov, P. G. Kevrekidis, V. V. Konotop, and M. Salerno. 2002. Wannier function analysis of the nonlinear Schrodinger equation with a periodic potential, Phys. Rev. E 66, 046608. [18] W. Kohn. 1959. Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions, Phys. Rev. 115, 809. [19] P. W. Anderson. 1958. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys. Rev. 109, 1492. [20] B. P. Nguyen, K. Kim, F. Rotermund, and H. Lim. 2011. Enhanced localization of waves in one-dimensional random media due to nonlinearity: Fixed input case, Physica B 406, 4535. [21]. B. P. Nguyen and K. Kim. 2011. Influence of weak nonlinearity on the 1D Anderson model with long-range correlated disorder, Eur. Phys. J. B 84, 79. [22] B. P. Nguyen and K. Kim. 2012. Anomalously suppressed localization in the two- channel Anderson model, J. Phys.: Condens. Matter 24, 135303. [23] M. Johannson, M. Hornquist, and R. Riklund. 1995. Effects of nonlinearity on the time evolution of single-site localized states in periodic and aperiodic discrete systems, Phys. Rev. B 52, 231. [24] B. P. Nguyen and K. Kim. 2013. Wave packet dynamics in one-dimensional nonlinear Schrödinger lattices: Local vs. nonlocal nonlinear effects, J. Kor. Phys. Soc. (accepted for publication).