Sách giao bài tập Toán cao cấp - Phạm Thanh Hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÁI NGUYÊN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN: TOÁN LÝ PHẠM THANH HIẾU SÁCH GIAO BÀI TẬP Học phần : Toán cao cấp Số tín chỉ : 02 Mã số : MAT121 Thái Nguyên, 2017 1 CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1. Nêu khái niệm các loại ma trận, cho ví dụ? 2. Nêu các phép toán về ma trận và các tính chất? 3. Khái niệm định thức và các tính chất, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và các bước tính? 4. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính, các loại hệ phương trình tuyến tính đặc biệt (hệ thuần nhất, hệ Cramer, ). 5. Nêu phương pháp biến đổi sơ cấp để giải hệ phương trình tuyến tính? II. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài tập 1: Thực hiện phép nhân hai ma trận:                               60 53 74 5124 159 ) 72 510 611 43 ) ba                       04 91 75 563 704 175 )c Bài tập 2: Tính các định thức sau: 631 723 510 ); 613 200 352 ); 420 310 121 ); 111 143 021 ); 143 301 121 )       edcba Bài tập 3: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận (nếu có):                                        121 011 322 ; 211 331 521 ; 321 504 321 CBA                                                    6183 3422 4083 2121 ; 3212 4311 0023 0012 ; 3000 0200 4210 4321 FED Bài tập 4: Giải phương trình ma trận:                         3 2 0 214 112 211 )1 X ;                          114 302 511 231 113 012 )2 X                          014 302 511 231 113 012 )3 X ;                      1 2 1 093 172 021 )4 X 2                          8710 7210 031 012 423 321 )5 X ;                          521 234 311 111 012 111 )6 X                        2112 3210 1021 120 112 011 )7 X ;                       13215 726 211 101 111 )8 X Bài tập 5: Tìm hạng của ma trận:             212 121 311 )1                 11314 33232 10322 23114 )2                   192483 3254 4653 3411 )3                32101 22330 32321 21211 )4 Bài tập 6: Giải hệ phương trình: )( 12 12 12 12 )1 4321 4321 4321 4321 I xxxx xxxx xxxx xxxx            )( 432 632 423 132 )2 4321 4321 4321 4321 I xxxx xxxx xxxx xxxx            3 2 3 3) 2 3 6 3 4 11 x y z x y z x y z             2 3 1 4) 3 4 2 3 5 2 2 x y z x y z x y z              1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 5 1 5) 3 0 2 3 8 3 3 x x x x x x x x x x x x               4 1 3 2 0 6) 5 2 0 7 7 4 2 x y z x y z x y z x y z                 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 3 7) 3 2 5 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                      1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 5 2 4 2 8) 7 4 3 5 5 7 4 6 3 x x x x x x x x x x x x               1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 5 2 9) 3 2.5 4 10 4 3 2 2 x x x x x x x x x            1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 7 10) 2 5 2 22 3 8 24 x x x x x x x x x x x x               3 11)            3442 364 6252 322 4321 421 4321 4321 xxxx xxx xxxx xxxx 12)            5234 1223 1322 5432 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 13)            0343 23 0 232 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 14)            74 11332 2 724 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 15)            32 7722 02 2 321 4321 431 4321 xxx xxxx xxx xxxx CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1. Nêu định nghĩa giới hạn và các tính chất? 2. Nêu một số giới hạn cơ bản và một số dạng giới hạn vô định? 3. Định nghĩa sự liên tục của hàm số? Mối liên hệ với giới hạn? 4. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và các quy tắc tính đạo hàm của một số hàm sơ cấp? 5. Nêu khái niệm hàm số nhiều biến, so sánh với khái niệm hàm số một biến, cho ví dụ? 6. Nêu khái niệm đạo hàm riêng của hàm số 2 biến? So sánh với đạo hàm của hàm số một biến? II. BÀI TẬP CHƯƠNG 2: Bài tập 1: Tính các giới hạn sau: 1) 23 2 3 lim           x x x x ; 15 2 2 23 22 )3; 1 2 )2 2                     x x x x x x Lim x x Lim ; ; 3 12 lim)6; 2 8 )5; 1 1 )4 2 3 3 2 3 1              x xx x x Lim x x Lim xxx . 2 2 )9; 2 2 )8; 11 )7 220       x x Lim x x Lim x x Lim xxx 10) 2 1 1 lim 2 2 x x x x            2 2 2 2 3 lim)11 x x x x            13) 1 32 12 lim           x x x x 4 14) 12 32 31 lim           x x x x x x x x 31 12 52 lim)15           12 2 2 32 12 lim)16             x x x x 17) 32 54 14 lim           x x x x 18) 32 2 2 2 54 14 lim             x x x x 19) 32 3 3 3 54 14 lim             x x x x 20) 12 3 3 3 32 31 lim             x x x x 21)   2 2 1 2 0 31lim x x x x    22) 3 3 2 3 0 3 1lim x x x x            23) x x x x 31 52 52 lim           24) 231 2 2 52 52 lim x x x x             25) x x x x 35 14 74 lim           26) 235 2 2 14 74 lim x x x x             27) 331 3 3 52 52 lim x x x x             28) 335 3 3 14 74 lim x x x x             29) 45 57 27 lim           x x x x 30) 425 2 2 57 27 lim             x x x x Bài tập 2: a) Tìm giới hạn của hàm số (nếu có): . 1 1 )3; 1 1 )2; 2 5 lim)1 12       x x Lim x x Lim x xxx b) Vẽ đồ thị của các hàm số . 1 1 ; 2 5      x x y x y Sau đó giải thích kết quả giới hạn trên dựa vào đồ thị hàm số. Bài tập 3: Chi phí của việc loại bỏ đi p% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trong hồ nhỏ được tính bởi hàm số: ;1000; 100 .25000    p p p C Trong đó: C là chi phí (tính bằng đôla); p là phần trăm của tác nhân. a) Để loại bỏ 50% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trên cần chi phí hết bao nhiêu? b) Nếu chi phí 100.000$ thì loại bỏ được bao nhiêu phần trăm tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước. c) Tính . 100 CLim p  Giải thích kết quả đó. Bài tập 4: a) Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó. ; 53,14 31,2 )()2; 32,1 215 )()1 22             xx xx xfy xx xx xfy 5 ;2)()4;3)()3  xxfyxxfy b) Vẽ đồ thị mỗi hàm số trên và giải thích tính liên tục trên đồ thị hàm số. Bài tập 5: Chi phí của việc bỏ đi %x tác nhân gây ô nhiễm môi trường từ các ống khói của các nhà máy có thể mô hình bằng: . 100 2 x x C   Trong đó: C là chi phí (tính bằng Triệu đôla), x là phần trăm của tác nhân. a) Tìm miền xác định của hàm số trên. Miền xác định trên cho chúng ta biết gì về mức độ ô nhiễm? b) Vẽ đồ thị hàm số trên. Hàm số đó có liên tục trên miền xác định của nó không? Giải thích kết quả đó. c) Để loại bỏ được 75% tác nhân gây ô nhiễm cần chi phí hết bao nhiêu? Bài tập 6: Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau đây: . )1ln( )18;ln.1)17;ln)13()16 );( 2 1 )15;1)14;)1()13 ;cottan)12; 1 cos)11;1sin)10 ;tan21)9; sin sin )8; cossin cossin )7 ;cot.)6;52)5; 1 1 )4 ; 1 2 )3);35)(1()2;)5()1 2 222 422 222 2 2 22327 x x yxxyxxy eeyexyexy xxy x x yxy xy x x x x y xx xx y xxyxxy x x y x x yxxyxxy xxxx                  Bài tập 7: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: .2sin)42()9;)2()8;).123()7 ; 12 5 )6; 32 2 )5; 32 1 )4 ; )1)(1( 1 )3; 1 1 )2; 1 1 )1 22332 222 xxxyexxyexxy xx y xx x y xx y xx y x y x y xx                Bài tập 8: Hệ số góc của tiếp tuyến (hay còn gọi là độ dốc) của hàm số tại một điểm cho biết gì? Nêu các cách tính hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại một điểm. Áp dụng giải bài toán thực tế sau: Từ năm 1998 đến năm 2003, doanh thu R ( Triệu đôla/năm) của công ty Microsoft Corporation được mô hình bởi hàm số: .138,635,2188,6302945,5630343,174 23  ttttR Khi t=8 chỉ ra là năm 1998. Doanh thu của công ty đã thay đổi với tốc độ như thế nào vào thời điểm năm 1999? Bài tập 9: Ta biết rằng vận tốc trung bình của một vật mà di chuyển trong khoảng thời gian xác định được đo bởi: vtb= (quãng đường vật đi được)/ (thời gian để đi được quãng đường trên). 6 = t s   . )()( 0 0 tt tsts    Khi đó vận tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho mức độ chuyển động nhanh hay chậm của vật tại 1 thời điểm đó) là giới hạn hữu hạn: ).(' )()( lim)( 0 0 0 0 0 ts tt tsts tv tt      Gia tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho tốc độ biến thiên của vận tốc) là giới hạn hữu hạn: ).('')('lim)( 0 tstv t v ta t      Áp dụng giải bài toán sau: Một vật rơi tự do theo phương trình ,2gts  trong đó 2/8,9 smg  là gia tốc trọng trường. a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s) đến tt  , trong các trường hợp .001.0;05.0;1.0 ststst  b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s. c) Tìm gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t =5s. Bài tập 10: Khái niệm tỷ lệ biến đổi còn được dùng trong kinh tế học. Các nhà kinh tế học đã chỉ ra rằng lợi nhuận biên, doanh thu biên, chi phí biên (phản ánh tốc độ biến thiên của lợi nhuận, doanh thu, chi phí đối với xđơn vị sản phẩm được sản suất hay được bán ra) . Do đó nó được đo bằng giới hạn của tỷ số giữa sự thay đổi về tổng lợi nhuận (hay tổng doanh thu, tổng chi phí) và sự thay đổi về tổng số đơn vị sản phẩm được sản suất hay được bán ra, tức là: Nếu kí hiệu P = tổng lợi nhuận; R = tổng doanh thu; C = tổng chi phí thì ta có: P = R - C; và Lợi nhuận biên = dx dP x P Lim x     0 ; Doanh thu biên = dx dR x R Lim x     0 ; Chi phí biên = dx dC x C Lim x     0 Áp dụng làm bài toán sau: Lợi nhuận thu được từ bán x cái đồng hồ báo thức được mô hình bởi hàm số: P = xx 100002.0 3  . a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản suất của 50 chiếc. b) Lợi nhuận thực tế tăng lên bao nhiêu khi tăng mức sản suất từ 50 đến 51 chiếc. So sánh con số đó với lợi nhuận biên và rút ra kết luận. Bài tập 1: Tính các đạo hàm riêng cấp 1 : 1) 2 3( , ) sin(2 ) xyf x y x y e  ; 2) 22 4( , ) os( ) xf x y c x y e  ; 3) 2 4 5( , ) 3x yf x y e x y  ; 4) 3 3 4 2( , ) 5x yf x y e x y  ; 5) 3 3 2( , ) cos(5 )x yf x y e x  ; 6) 2 2 2( , ) cos(5 ) (3 )f x y y x y y   ; 7) 2 5( , ) ( 3 )f x y x y  ; 8) ( , ) 2 3f x y x y  ; 7 9) ;.),( 2yxexyxf  10) ;),( 22 yx xy yxf   ;ln),()12;ln),()11 22 yxyxf yx yx yxf     );ln(),()14;),()13 2 22 yxyxf yx xy yxf    15) 2)( ln),( yx yx yxf    ; 16) 22 4 ),( yx xy yxf   ; 17) yx xy yxf   ln),( ; 18) 22arctan),( yxyxf  ; 19) 2)()(),( yxeyxyxf  ; Bài tập 12: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số : );ln()6;.)5;)4 ;)3;9)2;4)1 2223 yxzeyxez yx x z yx xy zyxzyxz xy      ; 2 )9);1ln()8;)()7 22 223222 xy yx zyxzyxz   10) z = xyyxf arcsin),(  ; 11) yx eyxf  ),( ; 12) yx x yxf  ),( ; 13) )ln(),( 22 yxyxf  ; 14) 221),( yxyxf  ; 15) )arctan(),( yxyxf  ; Bài tập 13: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến số : 1) )cos(),( xyxyeyxf  ; 2) )sin(),( xyxyeyxf  ; 3)  yxxyxf  .ln),( ; 4) 22ln),( yxyxf  ; 5) 22 ),( yx eyxf   ; 6) yxxeyxf 32sin),(  . III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của đạo hàm, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau 1. Một người nông dân cần quây 3 chuồng nuôi bò liền nhau có cùng diện tích là 15m 2 bằng dây thép gai. Hỏi người nông dân nên quây chuồng có kích thước như thế nào để vừa đủ yêu cầu về diện tích mỗi chuồng mà tốn ít dây thép nhất? 2. Một người chăn nuôi bò sữa có 200m rào để quây hai chuồng bò bằng nhau hình chữ nhật. Hỏi người đó nên quây chuồng có kích thước như thế nào để diện tích mỗi chuồng là lớn nhất? 3. Một công ty vừa xác định tổng doanh thu (đôla) cho một sản phẩm được cho bởi hàm số sau: xxxR 52500450 23  8 Trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất )0( x . Hỏi công ty nên đưa ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để có được doanh thu lớn nhất. 4. Sự lây lan của virut có thể được mô hình bởi: .120,12 23  tttN Với N là số lượng người bị nhiễm (hàng trăm người), t là thời gian tính bằng tuần. a) Theo anh (chị) dự đoán tối đa có bao nhiêu người bị nhiễm virut trên? b) Virut sẽ lây lan nhanh nhất vào thời điểm nào? 5. Giá dâu tây trong tuần đầu tiên của vụ thu hoạch là 4$ trên một thùng dâu tây (1 thùng =36 lít). Trong mỗi tuần tiếp theo giá sẽ giảm đi 0,1$ trên mỗi thùng. Người trồng dâu tây ước tính rằng hiện tại tuần đầu có khoảng 120 thùng dâu tây trên cánh đồng có thể thu hoạch được và lượng dâu tây đến kì thu hoạch đang tăng lên với tỷ lệ 4 thùng trên một tuần. Hỏi người trồng dâu tây nên thu hoạch vào thời điểm nào để nhận được khoản tiền lớn nhất? Thời điểm đó người ta thu được bao nhiêu thùng dâu tây? Và số tiền lớn nhất mà người trồng dâu tây có thể nhận được là bao nhiêu? 6. Khi rác thải đổ xuống ao, sự phân hủy của rác thải tiêu hao oxy. Mức oxy có trong ao khi rác thải bị oxy hóa được mô hình bởi: .0; 1 1 2 2     t t tt O Với t là thời gian tính bằng tuần. a) Khi nào mức oxy là thấp nhất? Mức đó là bao nhiêu? b) Khi nào mức oxy là cao nhất? Mức đó là bao nhiêu? CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT: 1. Nêu khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định, cho ví dụ? 2. Nêu các phương pháp tính tích phân (tính trực tiếp, tích phân từng phần, đổi biến) 3. Nêu định nghĩa và các tính chất của tích phân xác định, cho ví dụ? 4. Nêu các phương pháp tính tích phân xác định và so sánh với các phương pháp tính tích phân bất định? 5. Nêu các ứng dụng của tích phân xác định trong hình học, vật lý, kinh tế,...? II. BÀI TẬP CHƯƠNG 3: 9 Bài tập 1: Tính các tích phân         ; 12 )3; 6 7 )2; 1 11 )1 3 424 22 dx x x dx xx x dx x xx        ;)13()6; )21( 4 )5;2)4 243 22 3 32 dxxx x xdx dxxx        ; 1 )9; 43 1 )8; 41 3 )7 34 3 3 2 2 dx xx xx dx xx x x xdx      ; 54 )12; 43 )11;51)10 22 4 x dx x dx dxx      dxex x xdx xdxe xx 06.02 .5)15; cos1 )14;cos.)13      ; 1 )18; 4 )17; 23 )16 2 2 2 2 2 dx x x dx x x x dx     x dx x xdx dx xx xx 32 3 3 sin )21; sin cos )20; cossin cossin )19       ; ln. )24; 2 )23; 1 )22 23 3 2 xx dx dx e e e dx x x x      x dxxex x dxxx x dx x x x ).5( )27; sin )cos( )26; ln ) 1 (ln )25 352 2 2 2 xd x xx    4 22 1 11 28)   241 3 x xdx 29)  xdxe x cos.2 30)    dx xx x 43 1 3 2 31)   dxex x06.0.5 10 Bài tập 2: Tính các tích phân: . 1. )24; 1 )23; cos1 2cos2sin )22 ; cos1 sin )21; ln1 )20;)19 . 1 12 )18; cos1 sin )17; ln )16 ; 32 )15; cossin cossin )14;ln)13 ;cos.)12;)11; 1 )10 ; 2sin )9; cos1 )8; sin1 cos )7 ; 2 24 )6; 1 2 )5;ln)4 ;)3; 1 3 )2; 1 )1 2 1 21 0 32 0 3 2 0 3 1 2 0 22 1 0 3 22 01 3 0 1 2 2 0 3 1 2 2 0 1 0 1 0 3 4 2 0 2 0 12 10 2 1 0 3 2 1 3 1 231 0 2 1 0 2                                               x xex dx e xxe dx x xx dx x xx xx dx dxxa dx x xx dx x xx dx x xxxx x dx dx xx xx xdxx xdxedx ee e x xdx x dx x dx x xdx dx xx x dx x x dxx dx x xxx dx x edx x x x x x ea e e x xx x e e x         25)            1 0 2 2 1 3 dx xx e x ; 26) dx xx x   12 10 2 2 14 ; 27)   2/ 0 sin1 cos dx x x 28)   2/ 0 3 cossin cossin dx xx xx ; 29)  2 0 cos  xdxex ; 30)   e dx xx dx 1 2ln1 31)   1 0 dx ee e xx x ; 32)   1 0 1 dx x x 33)  e xdxx 1 2 ln ; 34)   1 0 3 2 1 dx x x 11 Bài tập 3: Tính các tích phân suy rộng:               0 2 2 22 2 0 4 2 0 232 2 2 .)6; 1 )5; 1 )4 ; 1 1 )3; )1( arctan )2; 1 sin. 1 )1 dxex xx dx xx dx dx x x dx x x dx xx x a  Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu )(xf liên tục trên [-a; a] thì a) 0)(   a a dxxf , nếu )(xf là hàm lẻ; b)    aa a dxxfdxxf 0 )(2)( , nếu )(xf là hàm chẵn. Bài tập 4: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ;4xy  trục hoành và hai đường thẳng .2;1  xx Bài tập 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 432  xxy và trục Ox. Bài tập 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 22 xy  và .xy  III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của tích phân xác định, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau 1. Tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn theo một đơn vị thời gian t được đo bởi: ; 25.01 3000 tdt dP   Trong đó, t là thời gian tính bằng đơn vị ngày. Khi t = 0 thì số vi khuẩn p = 1000. a) Viết phương trình mô tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t. b) Số vi khuẩn là bao nhiêu sau 3 ngày. c) Sau bao lâu số vi khuẩn sẽ lên đến 12 000 con. 2. Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi: , 1 100 02,050   x x dx dR Với x là số lượng hàng hóa đã bán. a) Tìm hàm doanh thu R biết khi .00  Rx . b) Tìm tổng doanh thu khi bán được 1500 sản phẩm. c) Phải bán được bao nhiêu sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230 đôla. 3. Mức lương trung bình cho một người quản lý ( S đôla) ở Mỹ được thay đổi với tỷ lệ: ;.7,2621 07,0 te dt dS  12 Với t = 5 tương ứng với năm 1995. Năm 2001, mức lương trung bình cho người quản lý đã là 118,496 đôla. a) Tìm hàm số mô tả mức lương trung bình của người quản lý mỗi năm. b) Năm 1999, mức lương trung bình của người quản lý là bao nhiê