Sai lầm nhận dạng mô hình

Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 1 Sai lầm nhận dạng mô hình Khi xây dựng một mô hình hồi qui chúng ta luôn quan tâm biến phụ thuộc sẽ được giải thích thông qua các nhân tố ảnh hưởng nào. Điều này phụ thuộc vào lý thuyết kinh tế, hành vi cơ bản của con người và kinh nghiệm trong quá khứ. Một trong các giả định của OLS là không nhận dạng sai mô hình. Nhận dạng sai mô hình có thể hiểu ở hai khía cạnh sau đây: a) Lựa chọn biến giải thích không đầy đủ hoặc thừa biến giải thích không phù hợp b) Hình thức hàm hồi qui Bài giảng này sẽ thảo luận hai nội dung: những biến hồi qui nào sẽ nên đưa vào hoặc nên bỏ ra ngoài một mô hình cụ thể. Hay nói khác đi chúng ta sẽ xét hai trường hợp sau đây: a) Mô hình hồi qui đã loại bỏ một số biến giải thích quan trọng b) Mô hình hồi qui đã đưa vào một số biến giải thích không phù hợp 1) Sự loại bỏ các biến quan trọng Giả sừ chúng ta quan tâm mô hình sau đây: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 K i K 1 1 K L K L i i Ki K i iY X X X Xβ β β β β ε+ + + += + + + + + + +L L Vần đề đặt ra là liệu tập hợp L biến hồi qui dưới đây là những biến quan trọng ( ) ( ) X X L K 1 K ++ ++ L cần đưa vào mô hình. Nhưng vì một lý do nào đó chúng ta chỉ hồi qui mô hình có dạng sau: 1 2 2 K i + i i KiY X Xβ β β ε= + + +L Để tiện cho việc minh họa chúng ta có thể lấy ví dụ mô hình có hai biến giải thích. Mô hình hồi qui hai biến giải thích có dạng: Mô hình thực ii33i221i ε Xβ Xβ β Y +++= 9.1 Chú ý: chúng ta giả thiết là X2 và X3 là hai biến giải thích quan trọng cần giải thích biến phụ thuộc Y. Có nghĩa là chúng ta mong đợi rằng 3β # 0. Tuy nhiên mô hình mà chúng ta đã ước lượng lại có dạng. Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 2 Dạng mô hình ước lượng ii221i ε Xβ β Y ++= 9.2 Có nghĩa là chúng ta đã loại bỏ một biến giải thích quan trọng là Ứơc lượng bình phương tối thiểu của 2βˆ là X3. Nhớ lại bài giảng hồi qui đơn khi xác định hệ số hồi qui cho biến X2 ∑ ∑= 2 i2 i2i 2 x Yx βˆ 9.3 Các tính chất quan trọng khi loại bỏ biến giải thích quan trọng a) 2 2ˆE β β  ≠  và 2 2ˆE β β  =  chỉ xảy ra khi COV(X2,X3) = 0 Để tính kỳ vọng toán học của ước lượng này, chúng ta thay Yi bằng biểu thức đại số của dạng mô hình thực, vì mô hình đúng của chúng ta là mô hình 9.1: [ ] ( )    +++== ∑ ∑ 2 i2 ii33i221i2i 2 x ε Xβ Xβ β Y x E βˆ E 9.4 [ ] ∑∑+= 2i2 i32i322 x Xx β β βˆ E 9.5 2i 3 2i 32 2 2 2 x xi i i i X x x x =∑ ∑∑ ∑ 9.6 Chúng ta dễ dàng chứng minh 9.5, và từ số của nó chính là từ số của COV(X2,X3) b) 2βˆ không còn được giải thích là ảnh hưởng trực tiếp (ròng) lên biến phụ thuộc Y Chú ý: khi chúng ta bỏ sót biến phù hợp thì hệ cố ước lượng của biến giải thích trong mô hình ước lượng sẽ không còn ý nghĩa giải thích ảnh hưởng trực tiếp (ròng) lên biến phụ thuộc nữa. Chúng ta có thể chứng minh điều này như sau: Chúng ta nhớ trong bài giảng hồi qui đơn khi xác định hệ số độ dốc của hàm hồi qui ii221i ε Xβ β Y ++= 2i 2 2 2 x i i Y x β∧ = ∑∑ 9.7 Do vậy nếu hàm hồi qui đơn có dạng 3 1 22 2 i i iX Xβ β ε= + + thì hệ số hồi qui cho biến X2 cũng được xác định bằng công thức Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 3 Trong đó ước lượng của 2i 3 22 2 2 x i i X x β∧ = ∑∑ 9.8 Hệ số hồi qui này mô tả ảnh hưởng trực tiếp của biến X2 lên biến X3 ( )2i 1 2 2 3 3 i 2 2 2 x i i i i Y X X x β β β εβ∧  = + + +=     ∑ ∑ n n n n n 1 2 3 2 2 2 2 3 2 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 1 2 3n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ˆ i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x X x x X x X x x x x x x β β β ε ε β β β β= = = = = = = = = =  + + +  = = + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ bây giờ lưu ý rằng∑ = n 1 i ix = )XX( n 1 i i∑ = − = 0 và ∑∑ == = n 1 i 2 i n 1 i ii xXx so ∑ ∑ = = n 1 i 2 i n 1 i ii x Xx =1 Do đó, n n n 2 2 2 3 2 i 1 i 1 i 1 2 2 3n n n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ˆ i i i i i i i i i i i i x X x X x x x x ε β β β= = = = = = = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 9.9 Và chúng ta cũng có: n 2 2 i 1 / ( , ) 0i ix n COV Xε ε = = =∑ theo qui luật số lớn và giả định của OLS Chúng ta được: 2 2 3 22 ˆ .β β β β∧= + 9.10 Ý nghĩa quan trọng ở đây là: Ảnh hưởng gộp của X2 lên Y trong mô hình ước lượng 2ˆ β sẽ bằng ảnh hưởng trực tiếp của X2 lên Y ( đó chính 2β ∧ trong mô hình thực) cộng cho ảnh hưởng gián tiếp của X2 lên Y ( đó chính là 3 22.β β ∧ ) Như vậy hệ số ước lượng trong hàm hồi qui thiếu biến giải thích X3 (giả thiết biến này là biến phù hợp) thì hệ số hồi qui 2ˆ β không còn có ý nghĩa giải thích ảnh hưởng trực tiếp (ròng) lên biến phụ thuộc Y. Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 4 Chúng ta có thể minh họa bằng đồ thị và ví dụ bằng số một cách dễ dàng. Mô hình hồi qui này cho thấy HOUSING giải thích khá tốt qua hai biến GNP và INTRATE. Chúng ta tạm thời coi mô hình này là một mô hình thực. Sau đó hồi qui HOUSING theo biến GNP. Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 5 Chúng ta có đủ cơ sở kết luận mô hình này là mô hình ước lượng thiếu biến giải thích quan trọng là INTRATE. (hãy quan sát hệ số xác định điều chỉnh thay đổi như thế nào, hệ số của GNP thay đổi như thế nào, độ lệch chuẩn của hệ số hồi qui GNP thay đổi như thế nào). Hãy thực hiện một hồi qui khác: INTRATE theo GNP Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 6 Dựa vào ba kết quả hồi qui này hãy kiểm tra lại kết quả mà chúng ta đã phát biểu ở phương trình 9.10. c) Phương sai ước lượng của hệ số hồi qui trong mô hình ước lượng bị chệch do đó việc kiểm định giả thiết không có hiệu lực. ( ) 22 22 1ˆ i VAR x β σ  =  ∑ trong mô hình ước lượng 9.11 nhưng thực sự vì 3β # 0 (vì chúng ta đã giả thiết X3 là biến quan trọng phù hợp trong việc giải thích Y nên [ ] ( )( ) 22232i22 σr - 1 x 1 βˆ VAR ∑= 9.12 9.11 là phương sai trong mô hình ước lượng và 9.12 là phương sai khi chúng ta giả thiết 3β # 0. Rõ ràng rằng ( ) 22 22 1ˆ i VAR x β σ  =  ∑ < [ ] ( )( ) 22232i22 σr - 1 x 1 βˆ VAR ∑= 9.14 Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 7 Vì vậy độ lệch chuẩn của ước lượng 2β ∧ sẽ không chính xác (không ổn định, hoặc chệch) và vì vậy việc sừ dụng độ lệch chuẩn của nó cũng sẽ không chính xác nên việc kiểm định giả thiết không hiệu lực. Hãy quan sát các kết quả hồi qui chúng ta sẽ dễ dàng thấy điều đó. Cẩn thận hơn nữa chúng ta xừ dụng kiểm định Wald cho mô hình giới hạn (mô hình ước lượng) và mô hình không giới hạn (mô hình thực) với giả thiết 3β = 0. 2) Mô hình ước lượng bao gồm các biến không phù hợp Để phân tích trường hợp này, chúng ta trở lại một lần nữa với mô hình có hai biến hồi qui, chỉ có lần này chúng ta giả định rằng X3 là không có quan hệ đến Y (có nghĩa là 0 β3 = ). Hay nói khác đi biến X3 là biến thừa trong mô hình ước lượng. Mô hình thực ii221i ε Xβ β Y ++= Mô hình ước lượng ii33i221i ε Xβ Xβ β Y +++= Mô hình ước lượng có các tính chất sau: a) Ước lượng của các hệ số hồi qui khác (ngoại trừ X3) không chệch và nhất quán (consistency) Một lần nữa, chúng ta lấy các hệ số ước lượng và tính các kỳ vọng của chúng: Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2i32i23i2i2 i32ii3i 2 3ii2i 2 xx - x x xx xY- x xY βˆ ∑∑∑ ∑∑∑∑= 9.15 Thay Yi bằng mô hình thực và biến đổi một chút: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2i32i23i2i2 i32ii3i 2 3ii2i 2 i32i 2 3i 2 i2 2 i32i2 2 3i 2 i22 2 xx - x x xxxε - x xε xx - x x xx β - x x β βˆ ∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ += 9.16 Rõ ràng, số hạng thứ nhất là 2β và số hạng thứ hai có kỳ vọng bằng không, vì thế ước lượng này là không chệch. Nhìn vào phần thứ nhì của biểu thức 9.16 chúng ta dễ dàng tìm ra được ( ) 2 333 23 2 22 33 23 ( / )( / ) - ( / )( / ) ( / )( / ) - / x xS n S n S n S n S n S n S n ε ε Và khi n càng lớn thì 2 ( / )xS nε và 3( / )xS nε hội tụ về COV (ε, X) = 0 . Từ đó ta có thể thấy rằng ước lượng này có tính nhất quán Bây giờ hãy xét ước lượng hệ số cho biến không phù hợp nhưng lại được đưa vào mô hình: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2i32i23i2i2 i32ii2i 2 2ii3i 3 xx - x x xx xY- x xY βˆ ∑∑∑ ∑∑∑∑= Một lần nữa, thay Yi bằng mô hình thực và biển đổi một chút ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2i32i23i2i2 i32ii2i 2 2ii3i 3 xx - x x xx xε- x xε 0 βˆ ∑∑∑ ∑∑∑∑+= Kỳ vọng của ước lượng này bằng không. b) Phương sai của ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ cao hơn khi không có biến không phù hợp trong mô hình nên ước lượng không hiệu quả vì không có phương sai nhỏ nhất. Xem biểu thức 9.14. c) Phương sai của các ước lượng không chệch nên việc kiểm định giả thiết vẫn hiệu lực Kết luận: Do đó chúng ta thấy rằng khi chúng ta đưa các biến không phù hợp vào, chúng ta nhận được các ước lượng không chệch của tất cả các hệ số , nhưng chi phí phải trả là những phương sai tối thiểu lớn hơn so với trường hợp mà chúng ta đã không đưa biến không phù hợp vào mô hình. Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 9 Ví dụ cho trường hợp mô hình ước lượng thừa biến giải thích không phù hợp Chúng ta đưa thêm vào mô hình hai biến bất kỳ nào đó như POP và UNEMP Nhận xét các kết quả của bảng hồi qui này. Quan trọng là hai biến đưa vào mới. Giả thiết hai biến mới là hai biến thừa, chúng ta lại thực hiện kiểm định Wald Chương Trình Giảng Dạy Kinh Tế Fulbright Niên Khóa 2007 - 2008 Các phương pháp phân tích Sai lầm nhận dạng mô hình Nguyễn Trọng Hoài 10