Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu hữu hiệu ideal (GVPO)I

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Natural Sci., 2011, Vol. 56, No. 3, pp. 25-31 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CỰC TIỂU HỮU HIỆU IDEAL (GV PO)I Trần Văn Sự Trường Đại học Quảng Nam E-mail: vansudhdntt@gmail.com 1. Giới thiệu và một số kết quả liên quan Cho D là tập con khác rỗng của không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X. Y cũng là một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và C là nón trong Y. Kí hiệu 2Y chỉ họ các tập con của Y và F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị. Miền của ánh xạ đa trị F kí hiệu là domF := {x ∈ D|F (x) 6= ∅}. Bài toán đặt ra là tìm x ∈ D sao cho (GV PO)I : F (x) ∩ αMin(F (D)|C) 6= ∅. Bài toán trên còn được gọi là bài toán tối ưu α vector tổng quát tương ứng với D, F và C. Điểm x được gọi là một nghiệm của bài toán (GV OP )I , các phần tử của αMin(F (D)|C) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán (GV OP )α với α tương ứng là I, P, Pr, W mà khi ghép lại ta có tương ứng các tập IMin(F(D) | C), PMin(F(D) | C), PrMin(F(D) | C), WMin(F(D) | C) chỉ tập các điểm hữu hiệu Ideal, hữu hiệu Pareto (hay hữu hiệu), hữu hiệu Proper và hữu hiệu yếu tương ứng. Trong bài báo này chúng tôi chỉ xét trường hợp α = I. Sau đây là các khái niệm và các kết quả cần thiết cho bài báo. Kí hiệu ⊂ thay cho kí hiệu ⊆ để chỉ tập con. Định nghia 1.1. [2, 3] Tập con C ⊂ Y được gọi là một nón trong Y nếu tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0. Nếu tập C có tính chất T thì ta nói nón C có tính chất T. Định nghia 1.2. [2, 4] Cho ánh xạ đa trị F : D −→ 2Y . Khi đó i. F được gọi là C-bị chặn nếu với mọi W là lân cận của 0 trong Y, tồn tại t > 0 sao cho F (D) ⊂ tW + C. ii. F được gọi là compac nếu F (D) là tập compac tương đối trong Y. 25 Trần Văn Sự iii. F được gọi là C-usc (t.ư C-lsc) tại điểm x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của 0 trong Y, tồn tại U là lân cận của x0 trong D sao cho F (x) ⊂ F (x0)+W +C (tương ứng F (x) ⊂ F (x0) +W − C) với mọi x ∈ U ∩ domF . iv. F được gọi là C-usc (t.ư C-lsc) nếu F là C-usc (t.ư C-lsc) tại mọi điểm x0 thuộc D. v. F là C-liên tục nếu F là C-usc và C-lsc tại mọi điểm x0 thuộc D. Cho A là tập con khác rỗng của Y và C là một nón trong Y. Khi đó theo Luc [2] ta có Bổ đề 1.1. [2, 3, 4] Với mọi y ∈ A thì y ∈ IMin(A|C)⇐⇒ A ⊂ y + C ⇐⇒ x− y ∈ C (∀x ∈ A). Trong bổ đề này chúng ta hiểu rằng y là một tập hợp gồm một phần tử y, thay vì viết {y} ta viết y cho gọn. Các kết quả trong bài báo chứng minh chủ yếu dựa vào kết quả định lí ở tài liệu tham khảo [1]. Định lí 1.1. [1] Cho C là một nón lồi đóng trong Y và F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị compact. Khi đó nếu có điều kiện (*) (∀xβ −→ x0, yβ ∈ F (xβ) + C, yβ −→ y0 =⇒ y0 ∈ F (x0) + C), thì F là C-usc tại x0. Ngược lại, nếu F là C-usc tại x0 với F (x0) không rỗng, F (x0) + C đóng thì lại có được kết quả (*). 2. Các kết quả mới của bài báo Trong bài báo tôi qui ước: X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff; D là tập con khác rỗng của X và EPIF := {(x, α) ∈ D × Y |F (x) ⊂ α + C}, trong đó F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị và Y luôn được sắp thứ tự bởi nón C. Để thuận lợi cho việc nghiên cứu tiếp theo tôi đưa ra định nghĩa cho một ánh xạ đa trị F có tính chất CS. Định nghia 2.1. Ánh xạ đa trị F : D −→ 2Y được gọi là có tính chất (CS) nếu tồn tại x0 ∈ D và một lân cận U của điểm x0 trong D sao cho IMin(F (U)|C) 6= ∅. Sau đây là các điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị F để int(EPIF ) 6= ∅. Định lí 2.1. Cho C là nón thứ tự trong Y. Nếu nón C lồi và có phần trong khác rỗng, ánh xạ đa trị F thỏa mãn tính chất (CS) thì EPI(F) có phần trong khác rỗng. 26 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu hữu hiệu ideal (GV PO)I Chứng minh. Giả sử ánh xạ đa trị F có tính chất (CS) thì tồn tại phần tử x0 ∈ D và một lân cận U của x0 sao cho IMin(F (U)|C) 6= ∅. Gọi α0 ∈ IMin(F (U)|C) thì theo [2] ta có F (U) ⊂ α0 + C. Tiếp theo đặt Vα0 := {(x, z) ∈ D × Y |x ∈ U, α0 ∈ z + intC}. Chứng minh tiếp tập Vα0 6= ∅, Vα0 ⊂ EPIF, Vα0 là tập mở. Ta chọn phần tử e thuộc phần trong của C và đặt z = α0−e, khi đó (U, {z}) ⊂ Vα0 và do đó Vα0 6= ∅. Lấy tùy ý cặp tọa độ (x, z) ∈ Vα0 khi đó tồn tại lân cận mở Uα0 của x trong D và hơn nữa theo giả thiết phần trong của C không rỗng nên tồn tại lân cận mở Vα0 của z sao cho (U0, V0) ⊂ Vα0 . Suy ra Vα0 là tập mở. Cuối cùng, lấy tùy ý cặp (x, z) ∈ Vα0 , ta có x ∈ U và α0 ∈ z + int(C) nên suy ra được kết quả sau: f(x) ⊂ α0 + C = (α0 − z) + z + C ⊂ intC + z + C ⊂ z + C. do C là nón lồi trong Y. Do đó (x, z) ∈ EPIF. Từ đây kết luận (EPI(F )) có phần trong khác rỗng. Định lí 2.2. Cho D là tập con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y và F compac. Giả sử tồn tại một điểm x ∈ D và một lân cận U của điểm x trong D sao cho F (x) ∩ IMin(F (U)|C) 6= ∅. Khi đó F là C-usc tại x. Chứng minh. Áp dụng định lí 1.1 [1]. Gọi xβ là một dãy tùy ý trong D hội tụ về x và yβ là một dãy tùy ý trong F (xβ) + C hội tụ về y0. Chúng ta chứng minh y0 ∈ F (x) + C. Theo Tấn và Lin [1] thì F là C-usc tại x. Ta có xβ −→ x nên tồn tại β1 > 0 sao cho xβ ∈ U với mọi β ≥ β1. Lấy y ∈ F (x)∩IMin(F (U)|C) thì F (U) ⊂ y+C và y ∈ F (x). Với mọi β ≥ β1 ta có yβ ∈ F (xβ) +C ⊂ F (U) +C. Suy ra yβ ∈ y +C. Vì y+C đóng trong Y do C là nón đóng nên y0 ∈ y + C. Suy ra y0 ∈ F (x) + C. Vậy F là C-usc tại x và định lí được chứng minh xong. Định lí 2.3. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị C-usc, C ⊂ Y là nón lồi trong Y và x0 ∈ D ∩ domF.. Khi đó F là C-bị chặn tại điểm x0 khi và chỉ khi F là C-bị chặn trong một lân cận nào đó của điểm x0 trong D. Chứng minh. Chiều ngược lại của định lí là hiển nhiên và chúng ta chỉ chứng minh cho chiều thuận. 27 Trần Văn Sự Giả sử F là C-bị chặn tại điểm x0, khi đó với mọi W là lân cận lồi của gốc tọa độ O trong Y, tồn tại t0 > 0 sao cho F (x0) ⊂ t0W + C. Mặc khác, F là C- usc nên F là C-usc tại điểm x0, khi đó với mọi W là lân cận lồi của gốc tọa độ O trong Y (chọn W như ở trên), tồn tại U là lân cận của x0 trong D sao cho F (x) ⊂ F (x0) +W + C với mọi x ∈ U ∩ domF. Do C là nón lồi trong Y nên có được ngay F (x) ⊂ t0W +W + C. Do cách chọn W là một tập lồi và C là nón lồi trong giả thiết nên suy ra F (x) ⊂ tW + C với t := t0 + 1 và điều này đúng với mọi x ∈ U ∩ domF. Vậy F là C-bị chặn trong một lân cận U của x0 trong D và định lí được chứng minh xong. Định lí 2.4. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị, C ⊂ Y là nón đóng trong Y, F(x) đóng và khác rỗng với mọi x ∈ D. Khi đó nếu F là C-usc tại x0 ∈ D thì tồn tại một lân cận U của x0 trong D sao cho F (x0) ∩ IMin(F (U)|C) 6= ∅. Chứng minh. Giả sử F là C-usc tại điểm x0 ∈ D. Gọi W là lân cận bất kì của gốc tọa độ O trong Y, tồn tại U là lân cận của x0 trong D sao cho F (x) ⊂ F (x0)+W+C với mọi x ∈ U ∩ domF. Do F (x0) đóng, nón C đóng và W là lân cận tùy ý của gốc tọa độ O trong Y nên suy ra F (x) ⊂ F (x0) + C với mọi x ∈ U ∩ domF. Lấy y ∈ F (x) tùy ý ta có y ∈ F (x0) + C nên tồn tại y0 ∈ F (x0) sao cho y ∈ y0 + C. Theo định nghĩa điểm hữu hiệu Ideal suy ra y0 ∈ IMin(F (x)|C). Mặt khác x ∈ U ∩ domF tùy ý nên suy ra y0 ∈ IMin(F (U) ∩ domF )|C. Vậy F (x0) ∩ IMin(F (U)|C) 6= ∅ và định lí được chứng minh xong. Định lí 2.5. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y có phần trong khác rỗng, F (x) đóng khác rỗng với mọi x ∈ D. Kí hiệu EPIF := {(x, α) ∈ D × Y |F (x) ⊂ α + C}. Khi đó nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho F là C-usc tại x0 ∈ D thì EPIF có phần trong khác rỗng. Chứng minh. Theo định lí 2.4 thì tồn tại một lân cận U nào đó của x0 trong D sao cho IMin(F (U)|C) 6= ∅. Áp dụng định lí 2.1, suy ra EPIF có phần trong khác rỗng và định lí được chứng minh xong. Mệnh đề 2.1. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y có phần trong khác rỗng, F (x) đóng khác rỗng với mọi x ∈ D. Khi đó nếu F là C-usc thì F là C-bị chặn. 28 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu hữu hiệu ideal (GV PO)I Chứng minh. Lấy x0 ∈ D tùy ý. Ta có F là C-usc tại x0. Theo định lí 2.5 ta suy ra EPIF có phần trong khác rỗng. Theo định lí 2.1 tồn tại U là một lân cận nào đó của x0 trong D sao cho IMin(F (U)|C) 6= ∅. Chứng minh F (U) là C-bị chặn trong Y. Lấy tùy ý phần tử α0 ∈ IMin(F (U)|C) , t > 0 sao cho với mọi W là lân cận của gốc tọa độ O trong Y, ta có α0 ∈ tW. Từ đó suy ra F (U) ⊂ tW + C. Theo định nghĩa điểm hữu hiệu Ideal đối với nón C, F (U) là C-bị chặn trong Y. Tiếp theo ta có x0 ∈ U nên F (x0) ⊂ F (U). Vậy F (x0) là C-bị chặn trong Y. Do x0 ∈ D tùy ý nên F là C-bị chặn trong Y và mệnh đề được chứng minh xong. Định lí 2.6. Cho D là tập con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị compac, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y, F (x) đóng khác rỗng với mọi x ∈ D. Khi đó nếu D là tập compac, F là C-usc tại x0, F (x0) + C đóng và mọi dãy trong D đều hội tụ về phần tử x0 thì bài toán (GV OP )I có nghiệm. Chứng minh. Theo định lí 2.4 thì tồn tại một lân cận U nào đó của phần tử x0 trong D sao cho IMin(F (U)|C|) 6= ∅. Ta có F (x0) ⊂ F (U) nên suy ra IMin(F (U)|C) ⊂ IMin(F (x0)|C). Vậy IMin(F (x0)|C) 6= ∅. Lấy y0 ∈ IMin(F (x0)|C). Theo một kết quả đã biết bên trên ta có y0 ∈ F (x0) và F (x0) ⊂ y0 + C. Ta chứng minh F (x0) +X ⊂ y0 + C. Lấy y ∈ F (x0) +C tùy ý thì tồn tại z ∈ F (x0) và c ∈ C sao cho y = z+ c. Do z ∈ F (x0) nên z − y0 ∈ C. Ta có phân tích sau y = (z − y0) + y0 + c ∈ C + y0 + C ⊂ C + y0 do C là nón lồi. Vậy y ∈ y0 + C. Điều này đúng với mọi y ∈ F (x0) + C và ta kết luận F (x0) +X ⊂ y0 + C. (*) Tiếp theo ta chứng minh F (D) ⊂ y0 + C. Với mọi y ∈ F (D) suy ra y ∈ F (D) nên tồn tại dãy yα ⊂ F (D) sao cho yα −→ y (**). Ta có yα ∈ F (D) nên với mỗi α tồn tại xα ∈ D sao cho yα ∈ F (xα) với xα ∈ D. Suy ra yα ∈ F (xα) + C với xα ∈ D. Vì D compac nên không mất tính tổng quát của bài toán chúng ta giả sử xα −→ x′0 ∈ D. Do F C-usc nên theo Tan và Lin [1] suy ra y ∈ F (x′0) +C. Theo giả thiết mọi dãy trong D đều hội tụ về x0 nên y ∈ F (x0)+C. Theo (∗) trên thì y ∈ y0+C. Vì điều này đúng với mọi y ∈ F (D) nên F (D) ⊂ y0 + C. Theo định nghĩa điểm hữu hiệu Ideal đối với nón C suy ra y0 ∈ IMin(F (D)|C) hay là F (x0)∩ IMin(F (x0)|C) 6= ∅. Định lí được chứng minh xong. Định lí 2.7. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị compac, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y, F (x) khác rỗng với mọi x ∈ D. Giả sử mọi dãy trong D đều hội tụ về nghiệm x0 của bài toán (GV OP )I thì F là C-usc tại x0. 29 Trần Văn Sự Chứng minh. Giả sử mọi dãy trong D đều hội tụ về nghiệm x0 của bài toán (GV OP )I . Ta có x0 ∈ D và F (x0)∩IMin(F (D)|C) 6= ∅. Lấy y0 ∈ F (x0) sao cho F (D) ⊂ y0+C. Với mọi dãy xβ ⊂ D, xβ −→ x0, yβ ∈ F (xβ) + C, yβ −→ y′0 ta chứng minh y′0 ∈ F (x0) + C. Khi đó theo Tấn và Lin [1] thì F là C-usc tại x0. Trước tiên ta chứng minh F (D) + C ⊂ y0 + C. Lấy tùy ý y ∈ F (D) + C tồn tại z ∈ F (D), c ∈ C sao cho y = z + c. Do z ∈ F (D) nên z − y0 ∈ C. Ta có phân tích sau y = (z − y0) + y0 + c ∈ C + y0 +C ⊂ y0 +C do C là nón lồi. Do đó y ∈ y0 +C. Điều này đúng với mọi y ∈ F (D) + C ta kết luận F (D) + C ⊂ y0 + C. Ta có yβ ∈ F (xβ) + C ⊂ F (D) + C ⊂ y0 + C. Suy ra yβ ∈ y0 + C với mọi β. Do C là nón đóng và yβ −→ y′0 nên y′0 ∈ y0 + C ⊂ F (x0) + C. Vậy y′0 ∈ F (x0) + C. Định lí được chứng minh xong. Áp dụng định lí 2.6 và 2.7 chúng ta có thể đưa ra điều kiện cần và đủ để bài toán (GV OP )I có nghiệm. Định lí 2.8. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị compac, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y, F (x) khác rỗng đóng với mọi x ∈ D. Giả sử D compac và mọi dãy trong D đều hội tụ về phần tử x0 ∈ D. Khi đó hai điều kiện sau đây là tương đương i. Bài toán (GV OP )I nhận x0 làm nghiệm. ii. F là C-u.s.c tại điểm x0. Chứng minh định lí 2.8, ta sử dụng ngay định lí 2.6 và 2.7. Để kết thúc bài báo này chúng tôi đưa ra thêm một điều kiện đủ để bài toán (GV OP )I có nghiệm. Định lí 2.9. Cho D là tập con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị compac, C ⊂ Y là nón lồi đóng trong Y, F (x) khác rỗng và đóng với mọi x ∈ D. Giả sử D compac. Khi đó bài toán (GV OP )I có nghiệm nếu F là C-usc và tập F (x) + C đóng với mọi x thuộc D. Chứng minh. Lấy vector y ∈ F (D) tùy ý. Chọn dãy yα ⊂ F (D) sao cho yα −→ y. Với mỗi α, ta có yα ∈ F (D) nên tồn tại xα ∈ D sao cho yα ∈ F (xα). Như vậy chúng ta đã chọn được dãy xα trong D và theo giả thiết D compac nên không mất tính tổng quát của bài toán chúng ta giả sử rằng xα −→ x0 ∈ D. Ta có yα ∈ F (xα) + C với mọi giá trị α nằm trong chỉ số I nào đó. Theo Tấn và Lin [1] ta có y ∈ F (x0)+C (***). Vì F là C-usc nên F là C-usc tại x0. Theo định lí 2.2 và 2.3, gọi U là một lân cận của x0 trong D sao cho F (x0) ∩ IMin(F (U)|C) 6= ∅. 30 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu hữu hiệu ideal (GV PO)I Từ F (x0) ⊂ F (U) suy ra IMin(F (U)|C) ⊂ IMin(F (x0)|C) và điều này khẳng định rằng IMin(F (x0)|C) 6= ∅. Lấy y0 ∈ IMin(F (x0)|C). Theo một kết quả trong [2] ta có y0 ∈ F (x0) và F (x0) ∈ y0 + C (****). Kết hợp (***) và (****) cùng với tính lồi của nón C ta có y ∈ y0 + C. Vậy F (D) ⊂ y0 + C hay y0 ∈ IMinF (D) + C). Điều này kéo theo y0 ∈ F (x0) ∩ IMinF (D) + C). Theo định nghĩa về nghiệm của bài toán (GV OP )α thì x0 là nghiệm của bài toán (GV OP )α và định lí được chứng minh xong. 3. Kết luận Bài báo đã nghiên cứu một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (GV PO)I, các trường hợp khác như α = P, α = Pr, α =W trong bài báo của chúng tôi xem như là một vấn đề mở. Chúng tôi sử dụng nón có đỉnh ở gốc tọa độ và dãy suy rộng, sự hội tụ của dãy được hiểu là sự hội tụ của dãy suy rộng. Kết quả bài báo là một số điều kiện đủ cho bài toán dạng Ideal. Từ khóa : Bài toán (GV PO)I, bài toán dạng Ideal, dãy suy rộng. T [1] Lai-Jin Lin and Nguyen Xuan Tan, 1989. On Systems of Quasivariational Inclu- sion Problems of Type I and Related Problems. National Changchua University of Education, Changchua, 50058, Taiwan and Institute of Mathematics, 10307 Hanoi, Vietnam and Dinh The Luc, Theory of Vector Optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, 319. [2] Luc D.T., 1989. Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems. Spring Verlag, Berlin, Germany, Vol. 319. [3] Minh N. B., Tan N. X., 2005. On the Existence of solutions of quasivariatinal inclusion problems of stampacchia type. Adv. Nonlinear Var. Inequal. Vol. 8, pp. 1-16. [4] Nguyễn Đông Yên, 2007. Giáo Trình Giải Tích Đa Trị. Nxb Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội. ABSTRACT On the existence of solutions of general α vector optimization problem The purpose of this article is to prove some new results regarding continuation of multi-valued mapping and giving enough condition on the existence of solutions of the general vector α optimization problems. 31