Bài 20 Vài mô hình đơn giản về hệ hạt

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 20 VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN VỀ HỆ HẠT Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động. Nguyên tử như hệ hai hạt Trong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử, ta đã coi hạt nhân là tâm lực bất động và là đối tượng cỏ điển. Điều này được biện hộ bởi việc khối lượng hạt nhân là rất lớn so với electron, và vì thế nó có độ ỳ lớn. Tuy nhiên, việc coi nó là đối tượng cổ điển dù sao cũng khá thô, vì nố vẫn không thể so sánh được với các đối tượng vĩ mô. Vì vậy, để có kết qủa chính xác hơn, ở đây ta sẽ coi cả hạt nhân là đối tượng lượng tử Do các electron đều quá nhẹ so với hạt nhân, nên khi dồn sự chú ý vào một electron (electron quang học), ta có thể coi nguyên tử là hệ hai hạt một electron và một nhạt nhân Ký hiệu m1 là khối lượng hạt nhân, m2 khối lượng electron, ta có phương trình trạng thái dừng của nguyên tử là: Đặt Khi đó là bộ ba tọa độ của khối tâm Phương trình (20.1) trở thành trong đó lấy theo X, Y, Z tức là liên quan đến chuyển động của khối tâm và còn lấy theo x, y, z tức là liên quan đến chuyển động tương đối giữa hai hạt và Cũng như trong bài 18, việc tách biến dẫn đến nghiệm dừng: trong đó thỏa mãn phương trình với là năng lượng của chuyển động tương đối hay nội năng của hệ. Phương trình (20.4) hiển nhiên là phương trình chuyển động của hạt có khối lượng  trong trường xuyên tâm U(r) Các mức năng lượng liên quan đến hằng số Rydberg - Ritz: Trong biểu thức này trước đây ta lấy  bằng khối lượng electron thì ở đây phải lấy  là khối lượng rút gon của hệ. Cũng vơí giá trị  như vậy, các mức nội năng sẽ là: Chú ý rằng ở đây ta đã bỏ qua spin của hạt. 2. Dao động nhỏ của hệ hạt Trước hết xét hệ hai hạt cùng có khối lượng là  Ký hiệu x1, x2 là độ lệch của hai hạt so với vị trí cân bằng. Thế năng của hệ có dạng: và hamiltonian của hệ là trong đó  là tần số dao động riêng của mỗi hạt (khi không có tương tác) x1x2 +… là năng lượng tương tác. Để đơn giản hóa vấn đề, sau đây ta sẽ bỏ qua các số hạng chưa có mặt trong U và (bậc cao hơn các số hạng đã viết) Đặt: ta có: Tương tự: Do đó: Vì vậy: trong đó: Biểu thức (20.8) cho thấy: về mặt toán học, ta có thể thay một hệ hai hạt tương tác bằng một hệ dao động tử độc lập. Phương trình trạng thái dừng sẽ là: Đặt từ phương trình (20.10) ta được hai phương trình: với E1+E2=E. Nghiệm của mỗi phươg trình trên, như đã biết từ bài 10, có dạng: trong đó: , và các mức năng lượng tương ứng là: Do đó, nghiệm của (20.10) sẽ có dạng: ứng với mức năng lượng: Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát Giả sử có N hạt với khối lượng giống nhau là  thực hiện những dao động nhỏ. Ký hiệu ba tọa độ của hạt thứ k là x3k-2, x3k-1, x3k. Khi đó, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2, ta có hàm thế năng của hệ là: Đặt: và chọn các hệ số ik thích hợp, ta có thể đưa U về dạng: Tương ứng, hamiltonian của hệ là: và phương trình trạng thái dừng sẽ là: Nghiệm của (20.18) có dạng: trong đó mỗi đều có dạng (20.11) và các mức năng lượng tương ứng là: