I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này II. Toạ độ trụ Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. M được xác định duy nhất bởi bộ ( r, z ) ( r, z ) được gọi là tọa độ trụ của điểm M. Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ
39 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 325 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân bội ba - Đặng Văn Vinh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến
Chương 4: Tích phân bội ba
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 – Tọa độ trụ
0.3 – Tọa độ cầu
0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
0.5 – Ứng dụng cơ học
0.4 – Ứng dụng hình học
I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( , , )f f x y z xác định trên vật thể đóng, bị chặn E
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1 2, ,..., .nE E E
Thể tích tương ứng mỗi khối 1 2( ), ( ),..., ( ).nV E V E V E
Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm ( , , ).i i i iM x y ziE
Lập tổng Riemann:
1
( ) ( )
n
n i i
i
I f M V E
, không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Milim n
n
I I
được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E.
( , , )
E
I f x y z dxdydz
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân bội ba
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc
thì khả tích trên miền này.
3) ( , , ) ( , , )
E E
f x y z dxdydz f x y z dxdydz
2) E
E
V dxdydz
4) ( )
E E E
f g dxdydz f dxdydz gdxdydz
5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 không dẫm lên nhau:
1 2E E E
fdxdydz fdxdydz fdxdydz
6) ( , , ) , ( , , ) ( , , )
E E
x y z E f x y z g x y z f g
Định lý (Fubini) ( , , )
E
I f x y z dxdydz
Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y.
Mặt phía trên:
2( , )z z x y
1( , )z z x y
Mặt phía dưới:
Hình chiếu:
Hình chiếu: D
2
1
( , )
( , )
( , , )
z x y
D z x y
f x y z dz dxdy
( , , )
E
I f x y z dxdydz
2( , )z z x y
1( , )z z x y
0Pr xy E D
Ví dụ
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi( )
E
I x z dxdydz
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 21, 2 , 0x y z x y z
2 2: 1D x y
Mặt phía trên: 2 22 ( , ) 2z x y x y
0z
2 2
2 2
2
01
( )
x y
x y
I x z dz dxdy
2 2
2 2
2
2
1 0
2
x y
x y
z
zI x dxdy
2 2
2 2 2
2 2
1
(2 )
(2 )
2x y
x y
I x x y dxdy
2 2
2 2 2
1
(2 )
2x y
x y
I dxdy
Đổi sang tọa độ cực.
2
2
2 1
0 0
2
2
r
I d r dr
7
6
Ví dụ
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
21 , 1y x z x
Mặt phía trên:
2
2 ( , ) 1z x y x
0z
21
0
x
OAB
I zdz dxdy
và các mặt phẳng tọa độ, (phần )0z
Tam giác OAB
A
B
21
0
x
OAB
I zdz dxdy
2
2
1 1
0 0
1
2
x x
I dx dy
11
60
A
O
B
212
0
2
x
OAB
z
I dxdy
2
21
2OAB
x
I dxdy
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi(2 3 )
E
I x y dxdydz
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
, 1 , 0, 0.y x z y x z
Mặt phía trên: 1z y
0z
1
0
2 3
y
D
I x y dz dxdy
1 1
0
2 3 (1 )
x
I dx x y y dy
1
0
(2 3 )
y
D
I x y dxdyz
2 3 (1 )
D
I x y y dxdy
11
60
I
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi( 1)
E
I z dxdydz
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2, , 0, 1. x y z x z x
Mặt phía trên: z x
0z
0( 1)
x
D
I z dz dxdy
2
21 1
1 2y
x
I dy x dx
2
0
2
x
D
z
I z dxdy
2
2D
x
I x dxdy
38
35
I
II. Toạ độ trụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
( , , )M x y z
1( , ,0)M x y
r
z
y
x
z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )r z
( , , )r z được gọi là tọa độ trụ của điểm M.
Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang
tọa độ trụ:
cos
sin
x r
y r
z z
' ' '
' ' '
' ' '
r z
r z
r z
x x x
J y y y
z z z
r
1( , )z z r
2 ( , )z z r
Đổi biến sang tọa độ trụ.
cos
sin
x r
y r
z z
( , , )
E
I f x y z dxdydz
Mặt phía dưới: 1( , )z z r
Mặt phía trên: 2( , )z z r
Hình chiếu: D
Xác định cận của D:,r
1 2
1 2
:D
r r r
2 2 2
1 1 1
( , )
( , )
( cos , sin , )
r z r
r z r
I d rdr f r r z dz
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi2 2
E
I x y dxdydz
Hình chiếu xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 24, 1 , 1.z z x y x y
Mặt phía trên: 4z
21z r
2 2: 1D x y
2
2 1 4
0 0 1 r
I d dr r dzr
0 2
:
0 1
D
r
2
2 1 42
10 0 r
I d dr r z
2 1
2 2
0 0
(3 )d r r dr
12
5
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 2 2 2, 2 , 1.z x y z x y x y
Mặt phía trên: 22z r
2z r
2 2: 1D x y
Cận của D:
0 2
:
0 1
D
r
y2
2
2 1 2
0 0
r
r
I d dr z dzr
2
2
222 1
0 0 2
r
r
z
d r dr
3
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E: 2 2
E
I x z dxdydz
2 22 , 2.y x z y
Chiếu xuống x0z
Mặt trên: 2y
Mặt dưới:
2
2
r
y
Hình chiếu: 2 2: 4D x z
2
2 2 2
2
0 0 / 2r
I d dr r dyr
II. Toạ độ cầu
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
( , , )M x y z
1( , ,0)M x y
y
x
z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )
( , , ) được gọi là tọa độ cầu của điểm M.
Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
' ' '
' ' '
' ' '
x x x
J y y y
z z z
2| | sinJ
cosz
sinr
II. Toạ độ cầu
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi:
1 2
1 2
1 2
( , , )
E
I f x y z dxdydz
2 2 2
1 1 1
2( sin cos , sin sin , co ) s ns i
d d f d
Chú ý: 0
0 2
0
or
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi2 2 2
E
I x y z dxdydz
Xác định cận:
2 2 2 2 2, .z x y x y z z
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
0
4
0 2
0 osc
/ 4 2 cos
0 0 0
2 sinI d d d
1 2
10 80
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz
Xác định cận:
2 2 2 2 2, 1.z x y x y z
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
3
4
0 2
0 1
1
0 0
2
2
3 / 4
cos sinI d d d
y
x
z
8
xy
z
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi( )
E
I y z dxdydz
Xác định cận:
2 2 20, 2 ( 0) z x y z y z
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
2
0
0 2sin sin
2sin sin
/ 2 0 0
2( sin sin c sinos )+I d d d
Cách 2.
Xác định cận:
sin cos
sin sin
cos
1
x
y
z
2
0 2
0 1
2 1
/ 2 0
2
0
(1 sin sin co is ) s n+I d d d
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng
x
y
z
Gốc tọa độ dời về đây
xy
z
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi2 2 2 3/ 2( )x y z
E
I e dxdydz
Xác định cận:
2 2 20, 1 ( 0) y x y z y
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
0
2
0 1
3 2
2 1
0 0
sinI d d e d
1
2
3
e
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz
Xác định cận:
2 2 21, 2 ( 1) z x y z z z
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
0
2
0 2
0 ?
Phải chia khối E ra làm 2 khối. Công việc tính toán rất phức tạp.
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng
sin cos
1
sin sin
cos
x
y
z
2
0 2
0 1
2 1
/ 2 0
2
0
(1 cos n) siI d d d
Gốc tọa độ dời về đây
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
2 2
1
E
I dxdydz
x y
Đổi sang tọa độ trụ:
2 2 2 2 20, 4, ( 0)1 z x y z x y z
Sử dụng tọa độ cầu công việc tính toán
phức tạp hơn nhiều.
Xác định cận:
cos
sin
x r
y r
z z
0 2
0 1r
20 4z r
22 1 4
0 0 0
r r
I d dr dz
r
Ví dụ
Đổi sang tọa độ cầu rồi tính
2 2 2
0 0 0
2 4 4x x y
I dx dy xdz
Vẽ khối EXác định vật thể E:
2
2 2
2 0
4 0
4 0
x
x y
x y z
z
x
y
Đổi biến sang tọa độ cầu:
Xác định cận:
2
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
3
2
0 2
3 / 2 2
2
/ 2 0
sin cos sinI d d d
3 / 2 2
2 2
/ 2 0
sin cosI d d d
3 / 2
2
/ 2
1
sin cos
4
d d
I
z
x
y
zx
y
Ví dụ
Đổi sang tọa độ trụ rồi tính 22 2 4
2 2
0 0 0
x x
I dx dy z x y dz
Vẽ khối EXác định vật thể E:
2
0 2
0 2
0 4
x
y x x
z
x
y
Đổi biến sang tọa độ trụ:
Xác định cận: 0
2
cos
sin
x r
y r
z z
0 2cosr
0 4z
2cos/ 2 4
0 0 0
I d dr z r r dz
422cos/ 2
2
0 0 0
2
z
I d r dr
128
9
I
z
x
y
III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.
Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn,
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
1
E
E
V dxdydz
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
1 2
2 2 2 2 2 2 2 21; 4, x y z x y z z x y
E
V dxdydz
Sử dụng tọa độ cầu
/ 4
2
2 2
0 0 1
sinV d d d
14 7 2
3 3
V
Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!!
0
4
0 2
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
0 2cosr
2 2 2 ; 3, 3x y x x z x z
E
V dxdydz
2 3 cos/ 2
/ 2 0 cos 3
osc r
r
V d dr r dz
4V
2 2
cos 3 3 cosr z r
y
x
z
Sử dụng tọa độ trụ
cos
sin
x r
y r
z z
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
0 3r
2 2 2 2 2 24; 4x y z x y z z
E
V dxdydz
Sử dụng tọa độ trụ
2
2
2 3 4
0 0 2 4
r
r
V d dr dzr
10
3
V
0 2
2 22 4 4r z r
x
z
y
Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều.
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
2 , 1, 0.y x y z z
E
V dxdydz
1
0
y
Parabol
dz dxdy
2
11 1
1 0
y
x
dx dy dz
Bài tập
Bài tập