Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân & ứng dụng

TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 4 ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: Ví dụ 1. ( ) ( ) ( ), ,F x f x x a b¢ = " Î ( ) ( ) laø moät nguyeân haøm cuûa treân laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R. 2t an 1 t an \ 2 1 2 lnx x x x R n a a p · + ì üï ïï ï+í ý ï ïï ïî þ · TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu: Được xác định như sau: F(x) là một nguyên hàm của f(x). C: hằng số tùy ý. ( )f x dxò ( ) ( )f x dx F x C= +ò TÍNH CHẤT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) . ) i f x dx f x ii k f x dx k f x dx iii f x g x dx f x dx g x dx ¢é ù =ê úë û = é ù+ = +ê úë û ò ò ò ò ò ò CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 1. 2. 3. 4. 5. 6.x x k dx x dx dx dx xx a dx e dx a b a = = = = = = ò ò ò ò ò ò VÍ DỤ 2. Tính các tích phân sau ( ) ( )2 1 2 2 1 . . 3 1 3 1 . x xxa dx b e e dx x x x x c dx x ++ - + + - ò ò ò VÍ DỤ 3. Tính các tích phân sau ( )3 4 2 5 . cos 2 . 2 1 . 1 . a x x dx b x dx c x x dx + + + ò ò ò VÍ DỤ 4. Tính các tích phân sau 2 1 2 2 0 0 1 2 2 2 0 2 ) 4 ) 1 ) ) 1 1 x a x dx b dx x dx dx c d x x x - + + - ò ò ò ò VÍ DỤ 5. Tính các tích phân sau ( )) ln ) 2 1 sin ) cos ) arct an a x xdx b x xdx c x xdx d x xdx +ò ò ò ò TÍCH PHÂN HÀM MŨ Công thức: Ví dụ 6. Tính các tích phân sau: ( ) ( ) ( ) 1 x x ax b ax b u u i e dx e C ii e dx e C a iii e du e C + + = + = + = + ò ò ò 4 0 2 4 3 0 ) 3 ) 4 ) ) D a . x x I x T x a A e dx b B e x dx c C xe dx d e dx- - = = = = ò ò ò ò VÍ DỤ 7. Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi qua điểm (1;0) và: Đáp án: 3xdy e dx += ( )3 22 xy e e+= - VÍ DỤ 8. 1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm. 2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phí cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm. VÍ DỤ 9. Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày. Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày. Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch. Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến 41.000 người. VÍ DỤ 10. Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi: Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp. Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$ Đáp số: ( ) 0,01' 0, 015 xp x e -= - ( ) 0,011, 5 3, 44xp x e -= + PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Tăng trưởng giới hạn Tăng trưởng không giới hạn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Nghiệm của PTVP là hàm số??? 2 0,01 2 6 4 ' 400 " ' 5 2 xdy x x y e dx dy dy ky y xy x xy dx dx -= - = - = - + = = PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài toán lãi kép liên tục Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu A là số tiền có được sau thời gian t Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời gian đó. Ta có mô hình: R: hằng số phù hợp ( ). 0 , 0dA r A A P A P dt = = > PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ta có mô hình: Mặt khác: Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r và t là thời gian đầu tư. ( ) 1 1 . 1 ln .rt C dA dA dA r A r dt rdt dt A dt A dt dA rt A rt C A t e e A = Û = Û = Û = Û = + Û = ò ò ò ( ) ( )00 . .r C rtA e e P A t P e= = Þ = LUẬT TĂNG TRƯỞNG THEO HÀM MŨ Định lý. Nếu = và (0) = 0 thì = 0 Trong đó: Q0: khối lượng tại t=0 r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối t: thời gian Q: khối lượng tại thời điểm t Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ PHÂN Rà PHÓNG XẠ Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không đổi trong mô của nó. Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238 Ví dụ 11. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương (làm tròn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm VÍ DỤ 12. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010 (t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian. A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởng của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% là tốc độ tăng trưởng lien tục. B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030? Đáp số: a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người. VÍ DỤ 13. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụng được cho dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăng trưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Nam tăng gấp đôi? Đáp số: 0,69%. Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi suất r (%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiền gửi tăng lên gấp đôi? TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy ) ta luôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thể đạt được M. Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu của mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa M. Ta có mô hình ( ) ( )0 0dy k M y y dt = - = TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN Một cách tương tự ta có: ( )1 kty M e -= - ( ) ( ) ln . 0 0 kt C C kt C dy dy k M y kdt dt M y dy kdt M y kt C M y M y e M y e e y M e - - - - - = - Û = - Û = Û - - = + - Û - = Û - = = Û = ò ò VÍ DỤ 14. Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện tập được xấp xỉ bởi: Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là? Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập ( )0,0450 1 ty e -= - MỘT SỐ MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG MŨ TĂNG TRƯỞNG MŨ Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng Tăng trưởng không giới hạn Tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với lượng hiện tại = , > 0; 0 = = . Tăng trưởng ngắn hạn (người, vi khuẩn) Tăng trưởng của tiền khi tính lãi liên tục Phân rã theo hàm mũ Tốc độ phân rã tỷ lệ với ượng hiện tại = − , > 0 0 = = . Cạn kiệt tài nguyên thiên nhiên Phân rã phóng xạ Hấp thụ ánh sáng (trong nước) Áp suất khí quyển (t là chiều cao) TĂNG TRƯỞNG MŨ Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng Tăng trưởng giới hạn Tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với hiệu của lượng hiện tại và một giá trị cố định = ( − ) , > 0; 0 = = (1 − ) Bán hàng thời trang Khấu hao thiết bị Tăng trưởng công ty Học tập Tăng trưởng Logistic Tốc độ phân rã tỷ lệ với lượng hiện tại và hiệu của lượng hiện tại và một giá trị cố định = ( − ) , > 0 0 = 1 + = 1 + Tăng trưởng dân số dài hạn Bán hàng mới Sự lan truyền của tin đồn Tăng trưởng công ty Bệnh dịch VÍ DỤ 15. SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người. Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe được tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và: Gọi t là thời gian tính theo phút. A) Tìm công thức x(t) B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn. C) Tìm giới hạn: ( ) ( )0, 001 400 0 1 dx x x x dt = - = ( )lim t x t ® + ¥ SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX nghe được tin đồn? ( ) ( ) ( ) 0,4 0, 001 400 0 1 400 1 399 t dx x x x dt x t e - = - = = + ( ) ( ) ( ) 0,4*5 0,4*20 400 5 7, 272889 1 399 400 20 352, 7805 1 399 lim 400 t x e x e x t - - ® ¥ = = + = = + = TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Diện tích dưới đường cong Diện tích phần hình được tô màu là bao nhiêu? Tính xấp xỉ bằng tổng diện tích hình chữ nhật DIỆN TÍCH DƯỚI ĐƯỜNG CONG Tổng bên trái - Left Sum Tổng bên phải – Right Sum Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5 NHẬN XÉT Chia đoạn [1;5] thành 16 đoạn ta có: Chia thành 100 đoạn ta có: 100 100 14, 214 14, 545L A rea R= < < = 16 16 13, 59 15, 09L A rea R= < < = ĐÁNH GIÁ SAI SỐ Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tế và giá trị xấp xỉ Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánh giá được nó. Ví dụ. Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16 thì sai số tối đa bao nhiêu? ĐỊNH LÝ Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b] Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau. Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởi hàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b Chặn trên của sai số là: ( ) ( ) ( ) ( ). . b a f b f a f b f a x n - - = - D (Chênh lệch 2 đầu mút) * (Độ dài 1 khoảng chia) VÍ DỤ 16. Cho hàm số = 9 − 0,252 Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đến x=5. A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽ các hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6 B) Tính L6; R6 và sai số khi xấp xỉ C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tối thiểu là bao nhiêu? TỔNG TÍCH PHÂN Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b] Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các điểm chia như sau: Khi này: 0 1 2 ... n a x x x x b= < < < < = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 2 1 . . ... . . . . ... . . n n n k k n n n k k L f x x f x x f x x f x x R f x x f x x f x x f x x - - = = = D + D + + D = D = D + D + + D = D å å TỔNG RIEMANN Ta có: ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk] ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 . . ... . . n n n k k S f c x f c x f c x f c x = = D + D + + D = Då MỘT SỐ TỔNG QUAN TRỌNG CẦN NHỚ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ) . ) ) ) 1 1 2 1 ) ) 2 6 1 ) 2 n n n i i i i i n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i n n i i n i a C n C b Ca C a c a b a b d a b a b n n n n n e i f i n n g i = = = = = = = = = = = = = = + = + - = - + + + = = é ù+ê ú= ê ú ê úë û å å å å å å å å å å å å VÍ DỤ 17. Tính tổng Riemann cho hàm số = 3 − 6 trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên phải của mỗi đoạn. Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong trường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổng đó khi n∞ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b] khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạn I khi ∞ Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] Ký hiệu: ( ) b a I f x dx= ò ( ) ( ) 1 lim b n kn ka f x dx f c x ® ¥ = = Dåò TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( ) 1 n k i f c x b a x n = D - D = å Ý NGHĨA HÌNH HỌC Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là: (nếu giới hạn này tồn tại). Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b]. ( ) ( ) 1 lim b n kn ia f x dx f c x ® ¥ = = Dåò CHÚ Ý ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân : caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp . Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo . Toång Riemann: * 1 , b a b b b a a a n i i f x a b dx x f x dx x f x dx f t dt f r dr f x x = = = D ò ò ò ò ò å VÍ DỤ 18. Tính tích phân: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải. Ta có: b x a e dxò b a x h n - D = = ( ) ( ) ( ) 2 . 1 1 . 1 . . . ... 1 . e 1 ... . 1 n n a h a h a n h k i i n h n ha h h a h h f c x f a i h h h e e e e S h e e e h e + + + = = -+ + é ùD = + = + + +ê úë û -é ù= + + + =ê ú ë û - å å ( ). . 1 1 a h b a h h S e e e + -= - - VÍ DỤ 18. Cho n tiến đến vô cùng ta có: Như vậy: ( ) ( )0 . . 1 1 1 a h b a h n a b a b a h h S e e e S e e e e + - ® ¥ - ® = - - ¾ ¾ ¾ ® - - = - b x b a a e dx e e= -ò VÍ DỤ 19. Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạn dưới đây (không tính giới hạn) 10 1 1 2 2 ) lim 5 ) lim t an 4 4 n n i n n i i a n n i b n n p p ® ¥ = ® ¥ = æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø å å VÍ DỤ 20. Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng Riemann. Không tính giới hạn   6 10 5 2 1 10 6 0 2 ) ) 4ln 1 ) sin 5 ) x a dx b x x dx x c xdx a x dx        GIẢI VÍ DỤ 20 B               10 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 4ln 9 9 9 9 9 1 . 1 . 4ln 1 9 9 9 9 9 1 . 1 . 4l . n 1 . 10 1n n n n n i i n n n i i n n n n i i i i x x dx R f x x f i i n n n n n L f x x f i i i n n n i R L S S f x x f x f f n x n                                                                                     1 1 1 9 9 9 9 9 9 9 9 1 . 1 . 4ln 1 . 2 2 2 9 n n i i n n n i i M f c x M f i i i n n n n n n n n n                                         VÍ DỤ 21. Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác định trên khoảng cho trước. ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 5 * * 1 ) lim ln 1 , 2; 6 cos ) lim , ; 2 ) lim 2 , 1; 8 ) lim 4 3 6 , 0; 2 n i in i n i n i i n i in i n i in i a x x x x b x x c c c x d x x x p p ® ¥ = ® ¥ = ® ¥ = ® ¥ = é ù+ D ê úë û é ùD ê úë û é ù+ D ê úë û é ù é ù- + Dê ú ê úë ûê úë û å å å å TÍNH CHẤT CƠ BẢN Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó: Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b] Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]  ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx        TÍNH CHẤT Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b]. Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng khả tích trên các đoạn còn lại và: Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một số hữu hạn điểm. ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx    TÍNH CHẤT Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có: Hệ quả:                       ) 0 ; 0 ) 0 ; 0 ) ; b a b a b b a a i f x x a b f x dx ii f x x a b f x dx iii f x g x x a b f x dx g x dx                        b b a a f x dx f x dx  TÍNH CHẤT Nếu thì: Ví dụ 22. Chứng minh rằng:    , ,m f x M x a b          b a m b a f x dx M b a    2 1 0 1 1xe dx e   ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử: Khi này tồn tại µ sao cho Và: Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc [a;b] sao cho: min maxm f M f  m M     . b a f x dx b a       . b a f x dx f c b a  CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THEO CẬN TRÊN Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a<x<b đặt: Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì: Hàm () liên tục trên [a;b] ( ) ( ) x a x f t dtj = ò ( ) ( )x f xj ¢ = CHỨNG MINH Ta có: Mặt khác: Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x h x x h a a x x h x f t dt f t dt f t dtj j + + + - = - =ò ò ò ( ) ( )( ) ( ) ( ). ; x h x f t dt f c h h c h x x h + = Î +ò ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 . h f c h hx h x f c h f x h h j j ® + - = = ¾ ¾ ¾® CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F b F a F x= - =ò CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ Ta có: Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có: Vậy: ( ) ( )( )1 1 lim b n k k kn ka f x dx f c x x -® ¥ = = -åò ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ' k k k k k k F x F x f c F c x x - - - = = - ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 lim n n k k k k kn k k f c x x F x F x F b F a - -® ¥ = = é ù- = - = -ê úë ûå å CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ Do () là một nguyên hàm nên ta có: Ta có: Vậy: ( ) ( ) ( ) x a x f t dt F x Cj = = +ò ( ) ( ) ( )0a F a C C F aj = = + Þ = - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f t dt F b C F b F aj = = + = -ò ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= -ò VÍ DỤ 23. Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1-x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox. Giải. Ta có: ( ) 1 1 3 2 0,5 0,5 3 3 1 3 1 0, 5 1 0, 5 0, 208333 3 3 x S x dx x æ ö÷ç ÷= - = -ç ÷ç ÷çè ø æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - - - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ò VÍ DỤ 24. Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox. Giải. Ta có: ( ) 44 3 2 0 0 3 3 1 3 4 0 76 4 0 3 3 3 x S x dx x æ ö÷ç ÷= + = +ç ÷ç ÷çè ø æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ò TÍCH PHÂN HÀM ĐỐI XỨNG Cho f liên tục trên [-a; a]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i ) Neáu f laø haøm chaün thì: i i) Neáu f laø haøm leû thì: 0 2 0 a a a a a f x dx f x dx f x f f x f x f x dx x - - - = = = - = - ò ò ò MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tính chiều dài của một cung Diện tích hình phẳng Thể tích khối tròn xoay Giá trị trung bình của hàm số CHIỀU DÀI CỦA CUNG Ta cần tính chiều dài cung từ a đến b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ' lim 1 ' . 1 ' n n n i i i i i i i i i i bn in i a P P x x y y x f c x L f c x f x dx - - - = = = ® ¥ = é ù= - + - = D + Dê úë û é ù é ù= + D = +ê ú ê úë û ë û å å å å ò ( ) 2 1 ' b a L f x dxé ù= + ê úë ûò CHIỀU DÀI CỦA CUNG Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài của dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là: Ví dụ 25. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1) đến điểm (4;8) ( ) 2 1 ' b a L f x dxé ù= + ê úë ûò ( )1 80 10 13 13 27 L = - CHIỀU DÀI CỦA CUNG Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạng x=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài của đường cong trên đoạn [c,d] là: Ví dụ 26. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến điểm (1;1) ( ) 2 1 g' d c L y dyé ù= + ê úë ûò ( )ln 5 25 2 4 L + = + DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón 2 .A r hp= .A rp= l DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY ( )1 2A r rp= + l Diện tích mặt nón cụt DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 ' b a A f x f x dxp é ù= + ê úë ûò ( )1 1 1 lim n i i i in i A y y P Pp - -® ¥ = = +å ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ' 2 . 1 ' n n i i i i i i k i i n k k i y y P P y y f c x f c f c x p p p - - - = = = é ù+ = + + Dê úë û é ù» + Dê úë û å å å DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý ( ) ( ) 2 2 1 ' b a A f x f x dxp é ù= + ê úë ûò ( ) ( ) 2 2 1 ' d c A g y g y dyp é ù= + ê úë ûò VÍ DỤ 27. 1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường parabol y=x2 từ điểm (1;1) đến (2;4) A) Quanh trục Oy. B) Quanh trục Ox 2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] Giá trị trung bình của hàm f là: ( ) 1 b a f x dx b a- ò VÍ DỤ 28. 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên đoạn [- 1;2] 2) Cho hàm cầu như sau: Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trong đoạn [40, 60] Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$. ( )1 0,05100 QP D Q e- -= = ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàm chi phí, hàm doanh thu. Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t) Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất VÍ DỤ 29. Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là: Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200. ( ) 290 120 27MC Q Q Q= - + VÍ DỤ 30. Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là: Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí. ( ) 2 350 18 45 4MC Q Q Q Q= - + + VÍ DỤ 31. Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là: Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá theo sản lượng. ( ) 23 8 30MR Q Q Q= - + VÍ DỤ 32. Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là: Giả sử P