Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất

1BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1 CHƯƠNG 1 MỤC TIÊU CHƯƠNG Phân biệt được thí nghiệm ngẫu nhiên và thí nghiệm tất định. Nắm được các khái niệm về biến cố ngẫu nhiên, các công thức xác suất cơ bản. Tính độc lập của các biến cố  Áp dụng được các công thức xác suất đầy đủ, Bayes. 2 ThS Lê Văn Minh NỘI DUNG CHƯƠNG 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3 Tính độc lập của các biến cố 1.4 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes 3 ThS Lê Văn Minh 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (tnnn) 1.1.1 Các thí nghiệm i) Thả hòn đá xuống hồ xem nó chìm hay nổi ii) Nung CaCO3 ở nhiệt độ cao xem kết quả Đây là các thí nghiệm tất định, vì có hậu quả duy nhất dù lặp đi lặp lại nhiều lần. iii) Tung đồng xu cân bằng đồng chất và xem hậu quả: L1: mặt Số (S); L2: mặt Hình (H); L3: H; L4: S; L5: S; …. 4 0 3 2 tCaCO CaO CO   ThS Lê Văn Minh 21.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên iv) Tung con xúc sắc và xem hậu quả: L1: 1chấm; L2: 2chấm; L3: 6chấm; L4: 2 chấm;… v) Đếm số xe mô tô chạy qua ngã tư trong mỗi khoảng đèn xanh-đỏ: 0, 1, 2, 3, 4, … Các thí nghiệm iii) –v) là các thí nghiệm ngẫu nhiên. 5 ThS Lê Văn Minh 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên 1.1.2 Các định nghĩa i) Thí nghiệm ngẫu nhiên hay phép thử là loại thí nghiệm cho những hậu quả khác nhau không đoán trước được khi thí nghiệm được lặp đi lặp lại nhiều lần trong những điều kiện không đổi. ii) Lý thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu phân tích các mô hình của thí nghiệm ngẫu nhiên. 6 ThS Lê Văn Minh 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên iii) Cho thí nghiệm ngẫu nhiên  . Tập hợp tất cả các hậu quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm được gọi là không gian mẫu hay không gian xác suất và kí hiệu: , trong đó là hậu quả của thí nghiệm. Ví dụ 1.1.1: Viết không gian mẫu cho các thí nghiệm ở 1.1.1 iii) v) 7 1 2{ , ,..., }n    , 1,i i n  { , }S H  iv) {1ch, 2ch, 3ch, 4ch, 5ch, 6ch}  {0,1,2,3,4,...}  ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2.1 Biến cố ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho tnnn  có không gian xác suất (kgxs) ={1, 2,…, n}. Mỗi hậu quả k, k=1,..,nđược gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi tập con A={1,.., k}   gọi là một biến cố. - Tập  là biến cố không thể. - Tập  là biến cố chắc chắn. Ví dụ 1.2.1 Tung con xúc sắc cân bằng một lần. Hãy viết các biến cố: a) Được mặt nhỏ hơn 4 chấm. b) Được mặt lớn hơn 3 chấm. 8 ThS Lê Văn Minh 31.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Giải a) A=“ được mặt < 4 chấm”={1ch, 2ch, 3ch} b) B=“được mặt > 3 chấm”={4ch, 5ch,6ch} Định nghĩa: Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n} và A, B  là 2 biến cố. Khi đó: i) A B  Nếu A xảy ra thì B xảy ra ii) A B  Hai biến cố A và B đồng thời xảy ra iii) A  B  Hoặc A xảy ra, hoặc B xảy ra hoặc cả A và B xảy ra 9 ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất iv) AB=  A và B là hai biến cố xung khắc với nhau, i.e., nếu A xảy ra thì B không xảy ra hoặc nếu B xảy ra thì A không xảy ra. v) Ac = \A  A, Ac là hai biến cố đối lập, i.e., nếu A xảy ra thì Ac không xảy ra hoặc nếu A không xảy ra thì Ac xảy ra. 10 ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2.2 Định nghĩa xác suất  Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n}. Người ta gọi các trị số là xác suất của các biến cố sơ cấp k nếu:  Cho biến cố A={1,.., k}, (kn). Người ta gọi xác suất của biến cố A là trị số: 11  ( ), 1,k kp p k n 1 2 1 2 1 ) 0 , ,.., 1 ) 1 (1.2.1) n n k n k i p p p ii p p p p          1 2( ) (1.2.2)kP A p p p    ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Trong đó: pi là xác suất của biến cố sơ cấp i, i=1,..,k.  Người ta gọi bảng phân phối xác suất (ppxs) của tnnn  là bảng sau: Ví dụ 1.2.2 Cho tnnn là tung đồng xu cân bằng 1 lần. Hãy tìm bảng ppxs của thí nghiệm. Giải 12  1 2 ….. n pk p1 P2 ….. pn ThS Lê Văn Minh 41.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ta có ={S,H}. Đặt p1=P(S), p2=P(H). Khi đó: Mặt khác: do đồng xu cân bằng nên . Suy ra Bảng ppxs của thí nghiệm: 13 1 2 1p p  1 2p p 1 2 1 / 2p p   S H pk 1/2 1/2 ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 1.2.3 Tung 2 đồng xu cân bằng đồng chất một lần. Hãy tìm xác suất để ít nhất có một mặt H? Giải Không gian xs của tnnn: Lý luận tương tự Ví dụ 1.2.2 ta được bảng ppxs: Gọi A=“có ít nhất một mặt H”={SH, HS, HH}. 14 { , , , }SH SS HS HH   SH HS SS HH pi 1/4 1/4 1/4 1/4 1 1 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 P A P SH P HS P HH        ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2.3 Công thức tính xác suất Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n}, trong đók, k=1,..,n là các biến cố sơ cấ đồng khả năng. Cho A là biến cố bất kỳ. Khi đó Ví dụ 1.2.4a: Cho một lọ đựng 13 hòn bi giống hệt nhau, trong đó có 5 bi trắng và 8 bi đen. Rút ngẫu nhiên một hòn bi mà không nhìn vào lọ. Hãy tìm xác suất để rút đuợc bi trắng? 15 n( )( ) (1.2.3) n( ) AP A    Soá phaàn töû cuûa A Soá phaàn töû cuûa ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Giải Gọi A=“Rút được bi trắng”. Ta có  Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n}. A,B . Khi đó: 1. 2. 16 ( ) 5; ( ) 13n A n   ( ) 5( ) ( ) 13 n AP A n    ( ) 1; ( ) 0P P    2. , ( ) 0A P A   ( ) ( )A B P A P B   4. ( ) 1 ( )cP A P A  5. , , ( ) ( ) ( )A B A B P A B P A P B       6. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     (1.2.4) ThS Lê Văn Minh 51.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 1.2.3b: Cho một lọ đựng 5 bi trắng, 10 bi đỏ và 15 bi xanh giống hệt nhau. Rút ngẫu nhiện một bi mà không nhìn vào lọ. Hãy tìm xác suất để hòn bi rút đuợc có màu trắng hoặc đỏ? Giải Gọi A=“Rút được bi trắng”; B=“Rút được bi đỏ”; C=“Rút được bi trắng hoặc đỏ”=AB. Do chỉ rút một lần nên AB =. Do đó 17 ( ) ( ) ( ) ( )P C P A B P A P B    ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ta có 1.2.4 Xác suất có điều kiện Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A xảy ra đuợc gọi là xác suất có điều kiện, kí hiệu P(B/A) và 18 1 1 1( ) 3 6 2 P C    n( ) 3 1 n( B) 10 1( ) ; ( ) n( ) 30 6 n( ) 30 3 AP A P B       ( )( / ) , ( ) 0 (1.2.4) ( ) P A BP B A P A P A   ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 1.2.4a: Tung đồng xu cân bằng 2 lần liên tiếp với quy uớc thắng thua như sau: - Ta thắng: SH, HS - Ta thua: SS, HH và biết rằng có ít nhất một mặt “H”. Hãy tìm xác suất để ta thắng? Giải Ta có bảng PPXS của tn: 19  SH HS SS HH Pi 1/4 1/4 1/4 1/4 ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ta có: P(“ta thắng”)=P(SH)+P(HS)=1/2 A = “Có ít nhất một mặt hình” = { SH, HS, HH} Ví dụ 1.2.4b: Cho một bộ gồm 52 lá đuợc trộn kỹ. Rút ngẫu nhiên một lá. Biết rằng đã rút đuợc lá đỏ. Tìm xác suất để lá bài rút đuợc là Ách cơ? Giải 20 (" " )(" "/ ) ( ) P AP A P A   Ta thaéngTa thaéng (SH, HS) 1 / 4 1 / 4 2 (SH,HS,HH) 1 / 4 1 / 4 1 / 4 3 P P     ThS Lê Văn Minh 61.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Gọi A=“Rút đuợc lá đỏ”=“2 rô, 2 cơ, …, ách cơ”; B = “ách cơ”. 21 " "A B   aùch cô ( ) 1 / 52 1( / ) ( ) 1 / 2 26 P A BP B A P A     ( ) 1 1( ) ; ( ) ( ) 2 52 n AP A P A B n     ThS Lê Văn Minh 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2.5 Công thức nhân xác suất Ký hiệu: P(AB)=P(A.B). 22 ) ( . ) ( ) ( / )i P A B P A P B A  ) ( . . ) ( ). ( / ). ( / . )ii P A B C P A P B A P C A B ) ( . . . ) ( ). ( / ). ( / . ) ( / . . )iii P A B C D P A P B A P C A B P D A B C (1.2.5) ThS Lê Văn Minh 1.3. Tính độc lập của các biến cố Biến cố độc lập là hai sự kiện không liên quan nhau mà có thể xảy ra đồng thời. Chẳng hạn A = “a=1”; B=“ Thiên thạch rơi ở Nga” thì A và B là hai biến cố độc lập. Định nghĩa 1.3.1: Hai biến cố A và B đuợc gọi là độc lập với nhau, nếu P(A/B) =P(A). Định lý 1.3.1: Cho A, B là hai biến cố độc lập. Khi đó 3 điều kiện sau là tuơng đuơng (1.3.1) 23 ) ( / ) ( ) ) ( / ) ( ) ) ( . ) ( ). ( ) i P A B P A ii P B A P B iii P A B P A P B    ThS Lê Văn Minh 1.3. Tính độc lập của các biến cố Ví dụ 1.3.1: Cho một hộp đựng 5 bi trắng và 4 bi đen giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 viên (lấy có hoàn lại). Tìm xác suất để lấy đuợc bi trắng truớc và bi đen sau? Giải Gọi A = “bi trắng”; B = “bi đen”. “Trắng truớc và đen sau” = A.B Vì A, B là 2 biến cố độc lập, nên 24 5 4 20( . ) ( ). ( ) 9 9 81 P A B P A P B      ThS Lê Văn Minh 71.3. Tính độc lập của các biến cố Định nghĩa 1.3.2: Ba biến cố A, B, C gọi là độc lập với nhau nếu Vi dụ 1.3.2a: Tung đồng xu cân bằng 3 lần liên tiếp (các lần tung độc lập). Tìm xác suất để các 3 lần tung đều được mặt hình. 25 ) ( . . ) ( ). ( ). ( )i P A B C P A P B P C ) ( . ) ( ). ( )ii P A B P A P B ) ( . ) ( ). ( )iii P B C P B P C ) ( . ) ( ). ( )iv P C A P C P A (1.3.2) Giải ThS Lê Văn Minh 1.3. Tính độc lập của các biến cố Gọi Ai=”Đuợc mặt H trong lần i”, i=1,2,3. A= “Được mặt H trong cả 3 lần tung”=A1.A2.A3 Vì các lần tung độc lập nên A1, A2 và A3 là các biến cố độc lập. Do đó Ví dụ 1.3.2b: Trong một kỳ thi tuyển vào đại học bằng cách thi trắc nghiệm: Toán 30 câu, Lý 30 câu và Hóa 30 câu. Mỗi câu gồm 4 lựa chọn. Tìm xác suất để một nguời không thuộc bài đậu thủ khoa? 26 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1( ) ( . . ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 P A P A A A P A P A P A      ThS Lê Văn Minh 1.3. Tính độc lập của các biến cố Giải Gọi A=“Điểm tối đa môn Toán”, B=“Điểm tối đa môn Lý”, C=“Điểm tối đa môn Hóa” A.B.C =“ đậu thủ khoa” Do A, B, C độc lập nên: 27 301 1 1 1( ) , 4 4 4 4 P A         301 1 1 1( ) 4 4 4 4 P B        301 1 1 1( ) 4 4 4 4 P C        901( . . ) ( ) ( ) ( ) 4 P A B C P A P B P C       ThS Lê Văn Minh 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes 1.4.1 Công thức xác suất đầy đủ Cho tnnn , có kgxs . Cho là một họ đầy đủ các biến cố của , i.e., . Cho B   là một biến cố bất kỳ. Khi đó: 28 1{ } n i iA  1 , n i j ii A A A        1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) 1.4.1 n n n i i i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A        ThS Lê Văn Minh 81.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes 1.4.2 Công thức Bayes Giả thiết như 1.4.1. Ta có: trong đó: 29 1 ( ) ( / ) ( ) ( / )( / ) ,( 1, ) ( )( ) ( / ) k k k k k n i i i P A P B A P A P B AP A B k n P BP A P B A      (1.4.2) 1 ( ) ( ) ( / ) n i i i P B P A P B A    ThS Lê Văn Minh 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes Ví dụ 1.4.1a: Một nhà máy sản xuất bóng đèn, có hai phân xưởng I và II. Biết rằng phân xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xuởng I và tỷ lệ phế phẩm của hai phân xuởng I và II là 10% và 20%. Hãy tìm xác suất để khi ta mua một bóng đèn thì đuợc bóng hư? Giải Gọi B=” Mua đuợc bóng hư”; A1=”Bóng đèn do phân xưởng I sản xuất”, ” A2=“Bóng đèn do phân xưởng II sản xuất”. Ta có: 30 1 2A A  1 2và A A   ThS Lê Văn Minh 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes Nghĩa là {A1, A2 } là một họ đầy đủ các biến cố. Do đó theo CT xác suất đầy đủ ta có: Theo đề: Mặt khác: 31 1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P B P A P B A P A P B A  2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 ( ) 1 4( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 5 P A P A P A P A P A A P A P A         1 2( / ) 100% 1 /10; ( / ) 20% 2 /10P B A P B A    1 1 4 2 9Suy ra ( ) 5 10 5 10 50 P B      ThS Lê Văn Minh 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes Ví dụ 1.4.1b: Với giả thiết như Ví dụ 1.4.1a, nhưng khi thực sự mua thì mua đuợc bóng hư. Tìm xác suất để bóng hư này do phân xưởng I sản xuất. Giải Gọi A1/B=”Bóng đèn do phân xưởng I sản xuất biết rằng đã mua đuợc bóng hư” 32 1 1 1 ( ) ( / ) 1 1 50 1( / ) ( ) 5 10 9 9 P A P B AP A B P B         ThS Lê Văn Minh