Bài tập nhóm Đánh giá mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ nhận thức của bloom qua chương tỗ hợp và xác suất

BÀI TẬP NHÓM Đánh giá mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ nhận thức của BLOOM qua chương Tỗ hợp và Xác suất Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 1 - Các tiêu chuẩn đánh giá mức độ nhận thức của Bloom hiện nay đang là một công cụ đánh giá rất phổ biến và hữu dụng trong quá trình dạy học đặc biệt là chương trình THPT. Để đảm bảo chất lượng dạy và học Toán, người giáo viên cần nắm vững và hiểu rõ các mức độ đánh giá này cũng như ứng dụng của chúng vào từng nội dung cụ thể. Trong chương trình toán học THPT, các chương Tổ hợp và Xác suất là một trong những nội dung khá mới mẻ và khá khó đối với học sinh THPT. Do đó chúng tôi chọn đề tài này nhằm đưa ra một số tiêu chuẩn để đánh giá mức độ nhận thức của học sinh đối với các chương Tổ hợp và Xác suất. Do thời gian còn khá hạn chế nên bài tập không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 2 - I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT  Nhớ định nghĩa công thức cộng, công thức nhân.  Nhận biết công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hằng đẳng thức Paxcal.  Viết được khai triển nhị thức Niu-tơn, biết số hạng tổng quát.  Xác định được không gian mẫu, biến cố chắc chắn, biến cố không thể; xác suất, tần số, tần suất của một biến cố.  Nhận biết biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố độc lập, quy tắc cộng, quy tắc nhân.  Phân biệt biến cố đối và biến cố xung khắc.  Xác định được các đại lượng trong bảng phân phối xác suất.  Nhớ công thức tính phương sai, kì vọng, độ lệch chuẩn. Ví dụ 1. Một công việc được thực hiện theo phương án A hoặc B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện thì công việc đó có thể được thực hiện bởi bao nhiêu cách? A. mn; B. m+n; C. m – n; D. . Phân tích: HS nhớ lại định nghĩa công thức cộng, đáp án là B. Cơ sở tạo phương án nhiễu: các phép toán giữa 2 số m và n. 2. Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử ( ) là: A. ; B. ; B. ; D. . Phân tích: HS nhớ lại định nghĩa tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị. Đáp án là B. Cơ sở tạo phương án nhiễu: các công thức dễ nhầm lẫn 3. Phát biểu nào sau đây là đúng? có giá trị bằng: I. ; II. ! ( )! n n k ; III. ( ) ; IV. ! k nA k . A. I, II; B. III; C. III, IV; D. IV. Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 3 - Phân tích: HS phải nắm được công thức = ( ) (phương án III), đồng thời nắm mối liên hệ giữa tổ hợp và chỉnh hợp (phương án IV). Đáp án là C. Cơ sở tạo phương án nhiễu: đưa vào các công thức gây nhầm lẫn, có 2 công thức đúng, HS cần phải nắm vững các công thức mới nhận biêt được đáp án đúng. 4. Khai triển của biểu thức ( ) có giá trị là: A. ∑ B. ∑ C. ∑ D. ∑ Phân tích: HS nắm vững khai triển nhị thức Niu-tơn. Đáp án là C. Cơ sở tạo phương án nhiễu: Học sinh không hiểu bản chất công thức thì dễ nhần lẫn ở các vị trí in đậm trong phương án A, B, D. 5. Hệ số của trong khai triển ( ) là: A. ; B. ; C ; D. . Phân tích: Hs phải nắm được hệ số của số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Niu-tơn. Đáp án là A. Cơ sở tạo phương án nhiễu: HS dễ nhầm lẫn hệ số của số hạng thứ k và k+1. 6. Gieo một con xúc sắc, phát biểu nào sau đây là đúng? I. Không gian mẫu * +. II. Biến cố “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7” là biến cố chắc chắn. III. Biến cố “Số chấm xuất hiện bằng 7” là biến cố không thể. IV. Biến cố “Số chấm xuất hiện là số nguyên tố” được mô tả bởi tập * +. A. I; B. II; C. I, III; D. II, III. Phân tích: HS phải nhớ các định nghĩa về các loại biến cố, không gian mẫu và cách mô tả một biến cố. Đáp án là D. Cơ sở tạo phương án nhiễu: Không gian mẫu phải là * + Số 4 không phải là số nguyên tố. 7. Phép thử T có không gian mẫu , A là một biến cố liên quan với phép thử T và là tập các kết quả thuận lợi cho A. Thì xác suất của biến cố A là: A. . B. . C. | | | | . D. | | | | . Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 4 - Phân tích: HS nhớ lại công thức xác suất của biến cố. Phân biệt cách biểu diễn của một biến cố và số phần tử của biến cố. Đáp án là C. Cơ sở tạo phương án nhiễu: HS hay dễ nhầm lẫn công thức xác suất của biến cố, và nhầm lẫn kí hiệu số phần tử của biến cố A là . 9. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Biến cố đối là biến cố xung khắc. B. Biến cố xung khắc là biến cố đối. Phân tích: HS cần nắm vững định nghĩa của 2 loại biến cố này và nhận ra ngay mối liên hệ giữa chúng. Đáp án là A. 10. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị * }. Đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tán của X quanh giá trị trung bình là: A. Kì vọng; B. Phương sai; C. Tần số; D. Tần suất. Phân tích: HS cần phải nhớ được ý nghĩa của các đại lượng. Đáp án là B. Cơ sở tạo phương án nhiễu: Các đại lượng này có mối liên hệ với nhau, HS dễ nhầm lẫn nếu ko nắm vững lý thuyết. 11. Công thức tính độ lệch chuẩn của X = { }(với có xác suất là ) là: I. ∑ ; II.∑ ( ) ; III. √∑ IV. √∑ ( ) . A. IV; B. II; C. I; D. III, IV. Phân tích: HS phải nắm được công thức tính độ lệch chuẩn √ , với DX = ∑ ( ) . Nên phương án IV là đúng. Bên cạnh đó, HS cần phải nhớ một công thức khác để tính độ lệch chuẩn là phương án III. Đáp án là D. Cơ sở tạo phương án nhiễu: Hs dễ nhầm lẫn, quên lấy căn bậc hai của DX, không để ý đến cách thứ hai để tính độ lệch chuẩn mà chọn ngay đáp án A. Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 5 - II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Đối với học sinh thì chương Tổ Hợp, Xác Suất này được coi là một chương trừu tượng và khó hiểu, để làm được bài tập thì các em cần phải nắm được nội dung, công thức và vận dụng các công thức đó một cách linh hoạt. Vì vậy đối với mức độ thông hiểu thì các em cần nắm được những kỹ năng cơ bản sau:  Tổ hợp: Học sinh thường hay lúng túng không biết khi nào nên dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng công thức nhân và quy tắc cộng…, nên đối với mức độ thông hiểu các em cần nắm được các công thức cần thiết, cần phải phân biệt được các trường hợp cụ thể để dùng cho đúng các công thức, phối hợp hai quy tắc này vào giải toán. Hiểu được công thức khai triển tổng quát và phải biết áp dụng nó để tìm khai triển đa thức trong những trường hợp cụ thể như: (ax+b)n và (ax-b)n , và thiết lập được hàng thứ n+1 của tam giác Pas-Cal từ hàng thứ n để tìm được các hệ số trong khai triển công thức.  Xác suất: Biết tính xác suất theo định nghĩa cổ điển, biết tính xác suất thực nghiệm của biến cố theo định nghĩa thống kê của xác suất. Nhớ được các công thức về hợp và giao của hai biến cố, phân biệt được khi nào là biến cố xung khắc, hai biên cố độc lập, và biết cách lập biến cố đối để vận dụng vào các bài toán. Hiểu được thế nào là biến cố ngẫu nhiên rời rạc, đọc được nội dung bảng phân bố xác suất của biến cố ngẫu nhiên rời rạc, và tính được xác suất của biến cố đớ. Từ các dữ kiện của biến cố rời rạc phải lập được bảng phân bố xác suất. Bài tập vận dụng của phần thông hiểu Ví dụ 1: Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một câu trả lời chính xác. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách mỗi câu chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 10 câu. Phân tích: Đối với bài toán này, nếu nhìn sơ qua thì nhiều em sẽ lúng túng, nhưng thật ra các em phải đọc kỹ và phân tích đề. Mỗi câu hỏi có 5 phương án trả lời và chỉ có một phương án trả lời đúng có nghĩa là xác suất chính xác của một câu là 0,2 và xác suất để câu đó sai là 0,8. Để cho cả 10 câu đều sai thì phải biết được ở đây dùng công thức nhân. Vì vậy đáp án sẽ là: 0,810. Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 6 - Sai lầm thường gặp: Nhiều em sẽ nghĩ tới trường hợp là dùng biến cố đối là lấy 1 trừ đi xác suất cả 10 câu đều đúng sẽ cho ra kết quả là không có câu nào đúng cả. Vì vậy sẽ cho ra kết quả là: 1-0,210 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng (P) cho n điểm độc lập. Có bao nhiêu vecto tạo thành với điểm đầu va điểm cuối là các điểm trong n điểm đó? a. An 2 b. Cn 2 c. 2!Cn 2 d. 2!An 2 I. Chỉ có a; II. Cả a và c; III. Cả b và d; IV. Chỉ có b V.Chỉ có d. Phân tích: Ở ví dụ này thì các em cần hiểu được yêu cầu của bài toán là với 2 điểm bất kì trong n điểm đó sẽ tạo thành được 2 vectơ. Đối với việc tìm số vectơ các em quy về việc tính chỉnh hợp chập 2 của n phần tử. Vì vậy sẽ có được A2n vectơ. Ngoài ra các em còn phải hiểu rõ và thông thạo công thức liên hệ với công thức A2n để có thể đưa ra kết quả đúng là 2!Cn 2 . Các sai lầm các em thường gặp: Có thể nhầm lẫn rằng với 2 điểm bất kì chỉ tạo thành một vectơ nên đưa ra kết quả là: Cn 2 . Không nhớ được mối liên hệ giữa công thức tổ hợp và chỉnh hợp nên các em có thể chọn đáp án đúng là 1 mà không chọn đáp án là cả a và c. Đối với đáp án d nhiều lúc các em lại nhầm lẫn công thức chỉnh hợp là có sắp xếp vị trí mà với 2 điểm tạo thành 2 vectơ nên với n điểm thì có được 2!An 2 vectơ. Mở rộng: Đối với dạng toán này chúng ta có thể mở rộng đề thành việc tìm số tam giác, đường thẳng được tạo thành từ n điểm độc lập trong mặt phẳng đó. Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên năm quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tìm xác suất để trong 5 quân bài đó có ít nhất là một quân át. Phân tích: Ví dụ này yêu cầu tìm xác suất để trong 5 quân bài có ít nhất là một quân át. Đối với những bài toán tìm như thế này thì phải quy bài toán về việc tìm biến cố đối, vì vậy các em phải thành thạo việc xác định biến cố đối và tính được xác suất biến cố đối để suy ra được kết quả của bài toán. Đối với bài này nếu không dùng biến cố đối thì việc tính toán rất phức tạp, kết quả dễ sai. Những sai lầm có thể có: Không xác định được biến cố đối. Hoặc các em có thể không áp dụng biến cố đối mà dùng theo cách tìm xác suất để có 1, 2, 3, 4 quân át, nhưng lại áp dụng sai công thức. Lời giải: Gọi biến cố A là biến cố có ít nhất một quân át. Biến cố A là biến cố không có quân át nào trong 5 quân bài. Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 7 - Nếu chọn 5 quân bài mà không có quân át nào thì phải có: C48 5 cách chọn. Số cách chọn 5 quân bài bất kì là: C52 5 P( A )= 5 48 5 52 C C = 0.66. Vậy xác suất để xảy ra có 1 quân át trong 5 quân bài đó là: P(A) = 1- 0.66 = 0.34. Qua bài này điều cơ bản nhất mà các em cần nắm đó là cách tìm xác suất của biến cố đối. Ví dụ 3: Tính hệ số chứa x3 trong khai triển (3-2x)8. Phân tích: Có thể nói đây là dạng bài mà các em có thể làm dễ dàng nếu học thuộc công thức và biết áp dụng công thức khai triển dạng (ax+b)n như thế nào. Nhưng các em phải chú ý tới dấu trong dẳng thức đó là dấu trừ. Sau khi khai triển được đẳng thức trên thì chúng ta có thể suy ra được kết quả ngay. Sai lầm: Khi khai triển các em thường không chú ý tới dấu trừ trong biểu thức nên khi lấy hệ số chứa x3 thường cho kết quả sai. Đáp án: Hệ số chứa x3 là: -136080. Qua bài này các em cần thông thạo và vận dụng cách khai triển công thức trong trường hợp tổng quát và đưa về từng trường hợp cụ thể. Ví dụ 4: Cho 2 biến cố A và B biết P(A) = 0.3, P(B) = 0.4; P(AB) = 0.2. Hai biến cố A và B là: I. Xung khắc; II. Độc lập; III. Biến cố đối; IV. Xung khắc và độc lập. Phân tích: Để chọn được đáp án đúng thì học sinh cần nắm rõ công thức. Biết khi nào xảy ra biến cố đối và mối liên hệ của các công thức xác suất đó là P(A)= 1- P(B). Nếu xảy ra biến cố xung khắc thì P(AB)  0 và xảy ra biên cố độc lập thì P(A).P(B) = P(AB). Sai lầm: Học sinh không biết vận dụng các công thức như trên để xác định được các biến cố nào là biến cố đối và biến cố như thế nào là biến cố độc lập, xung khắc. Các em có thể nhầm lẫn giữa các công thức nên có thể chọn đó là biến cố độc lập, không phân biệt nếu là độc lập thì xung khắc và xung khắc thì chưa chắc là độc lập nên các em có thể tưởng rằng xung khắc chắc chắn là độc lập nên có thể chọn kết quả đúng là câu d) Qua ví dụ này thì các em cần phải hệ thống lại các công thức để có thể xác định được các biến cố nào là độc lập, xung khắc và biến cố đối. Ví dụ 5: Số ca cấp cứu của một bệnh viện vào tối thứ 7 là một biến cố ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau: Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 8 - X 0 1 2 3 4 5 P 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 Nếu có hơn một ca cấp cứu thì phải tăng cường bác sỹ trực. Tính xác suất để tăng cường thêm bác sỹ trực. I. 0,3; II. 0,65; III. 0,35; IV. 0,0003. Phân tích: Để đưa ra kết quả chính xác yêu cầu các em phải biết cách đọc được phân bố xác xuất và hiểu được nội dung của bài toán. Yêu cầu ra là phải tính xác suất để ngày thứ 7 phải tăng cường thêm bác sỹ trực, có nghĩa là số vụ tai nạn giao thông phải lơn hơn hoặc bằng hai. Vì vậy P(X2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0.65. Sai lầm có thể xảy ra: Các em có thể đưa ra kết quả là xảy ra 2 vụ giao thông nên đáp án là 0.3. Nhiều học sinh khác đưa ra đáp án là 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35 mà quên mất trường hợp xảy ra hai vụ tai nạn giao thông. Nhiều học sinh xác định đúng là xảy ra trường hợp X=2, X=3, X=4, X=5 nhưng khi tính xác suất thì các em lại dùng công thức nhân các xác suất đó lại nên đưa ra kết quả sai lầm. Và sai lầm đó là thường gặp phải nhất. Qua bài toán này chúng ta có thể mở rộng đến bài toán sau: Ví dụ 6: Một túi đựng 16 tấm thẻ, trong đó có 10 đỏ và 6 tấm thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ a. Gọi X là số thẻ đỏ. Tìm phân bố xác suất của X. b. Giả sử mỗi tấm thẻ đỏ được 5 điểm, rút được thẻ xanh được 8 điểm. Gọi Y là số điểm tổng cộng trên 3 thẻ. Tìm phân bố xác suất của Y. Phân tích: Ở bài này yêu cầu các em phải biết phân bố xác suất của X là tập hợp {0,1,2,3}. Học sinh cần biết được nếu xảy ra 0 thẻ đỏ thì sẽ có được 3 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ thì có 2 thẻ xanh, 2 thẻ đỏ thì có một thẻ xanh, và 3 thẻ đỏ thì có 0 thẻ xanh. Khi đó các em sẽ dễ dàng lập được bảng phân bố xác suất của X. Ở câu b) thì các em phải nhìn thấy được mối liên hệ giũa xác suất của số điểm và xác suất của số thẻ đỏ để có thể kết luận được xác suất của các biên có của Y xảy ra sẽ bằng xác suất của biên cố X xảy ra. Sai lầm thường gặp: Không xác định được các trường hợp xảy ra. Không tìm được mối liên hệ giữa biến cố X và biến cố Y. Đáp án: X 0 1 2 3 P 1/28 15/56 27/56 3/14 Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 9 - Y 24 21 18 15 P 1/28 15/56 27/56 3/14 Nói chung với bài toán này mức độ cần đạt được của các em chính là khả năng xác định các trường hợp xảy ra để lập được bảng phân bố xác suất của từng trường hợp cụ thể. Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 10 - III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG 1. Tổ hợp 1.1. Vận dụng trong Tổ hợp Trong chương Tổ hợp này, yêu cầu quan trọng nhất đối với học sinh là phải nắm vững các quy tắc cộng và nhân, các công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp cũng như cách thức sử dụng và ý nghĩa của từng nội dung để có thể áp dụng một cách đúng đắn vào vấn đề cần giải quyết. Như khi đặt vào trong những tình huống mới, các em phải nhận biết được: Khi nào thì sử dụng công thức này, khi nào sử dụng công thức kia, tại sao sử dụng quy tắc này mà không sử dụng quy tắc kia hay phải sử dụng cả hai quy tắc hay nhiều công thức thì mới giải quyết được, ... Đồng thời phải biết đưa những tình huống mới về những tình huống đã biết, cụ thể thế nào chúng tôi sẽ đưa vào trong các đề toán. 1.2. Thông qua mức độ này, học sinh chủ yếu là ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học, áp dụng được vào một số bài toán mới hoặc các bài toán mở rộng mà việc giải quyết các bài toán này thực chất là quy về việc giải quyết với các tình huống quen thuộc và đơn giản. 1.3. Các đề toán Bài toán 1 Giải phương trình sau 4 5 6 1 1 1 x x xC C C   . Phân tích Bài toán đặt ra tình huống là “giải phương trình có chứa các công thức tổ hợp”. Thật ra, việc giải bài toán này được quy về việc giải phương trình có chứa ẩn x do đó yêu cầu học sinh phải nắm vững công thức tổ hợp, điều kiện tổ hợp, biến đổi cẩn thận đưa bài toán về việc giải phương trình bậc hai theo ẩn x . b.Cách giải Điều kiện của phương trình là 0 4 0 5 0 4 0 6 ê ê x x x x x nguy n x nguy n               . Khi đó phương trình có thể viết lại là       1 1 1 4! 5! 6! ! 4 ! ! 5 ! ! 6 !x x x x x x      Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 11 -       ! 4 ! ! 5 ! ! 6 ! 4! 5! 6! x x x x x x           5 6 4 ! 6 5 ! 6 !x x x                    30 4 ! 6 5 4 ! 6 5 4 !x x x x x x                   30 6 5 6 5x x x        2 17 30 0x x    15 2 x x    . So sánh điều kiện bài toán ta chọn 2x  . Vậy nghiệm của phương trình là 2x  . c. Cơ sở đưa phương án nhiễu Học sinh có thể giải sai bài toán này nếu - Không nhớ công thức của tổ hợp. - Quên đặt điều kiện cho công thức tổ hợp. - Tính toán, biến đổi sai. Bài toán 2 (Tương tự bài toán 1) Giải phương trình sau 33 x xP A . a.Cách giải Điều kiện xác định của phương trình 1 3 ê x x nguy n     . Khi đó phương trình trên có thể viết lại là   3! 3 ! 3 ! x x      ! 3 ! 2x x  Với 1x  và 2x  thì phương trình nghiệm đúng (vì 1!2! 2 và 2!1! 2 ). Với 3x  thì phương trình không nghiệm đúng (vì 3!0! 2 ). Vậy phương trình có hai nghiệm là 1x  và 2x  . b.Cơ sở đưa phương án nhiễu Học sinh có thể giải sai bài toán này nếu - Không nhớ công thức của hoán vị và chỉnh hợp. - Quên đặt điều kiện cho công thức đặc biệt là điều kiện “x nguyên”. - Tính toán, biến đổi sai. Bài toán 3 Cho tập hợp  A 1, 2, 3, ...,n trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) thỏa mãn ,x y A  và x y ? A. 2nA ; B. 2 nA n ; C. 2 nC ; D. 2 nC n . a.Phân tích Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 12 - Số cặp (x,y) thỏa mãn điều kiện bài toán chính là số tập con có hai phần tử của tập hợp A. Do đó việc giải bài toán được quy về việc tìm số tổ hợp chập 2 của n phần tử. Như vây, yêu cầu học sinh phải nắm vững được ý nghĩa của tổ hợp đồng thời phải biết đưa điều kiện của bài toán về dạng quen thuộc. b. Cách giải Với x > y thì số cặp (x, y) thỏa điều kiện của bài toán là 2 nC . Với x = y thì số cặp (x, y) thỏa điều kiện của bài toán là n ( đó là các cặp (1, 1), (2, 2), ...). Do đó số cặp (x, y) cần tìm là 2 nC n . c.Cơ sở đưa phương án nhiễu Học sinh có thể giải sai bài toán này nếu -Không nắm được ý nghĩa của tổ hợp. -Không đưa được điều kiện của bài toán về những điều kiện đơn giản hơn. -Tính toán sai như quên mất trường hợp x = y. Bài toán 4 Tìm hạng tử là một số nguyên trong khai triển nhị thức   9 33 2 . a. Phân tích Để giải quyết bài toán này đòi hỏi học sinh nắm vững công thức về số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Newton nhưng đồng thời cũng phải nắm được tính chất của đa thức không phụ thuộc và tính chất của tập số nguyên. b. Cách giải Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là     9 9 3 32 9 93 2 3 2 kk k k k kC C    với 0,1,...,9k  . Số hạng này nguyên  9 2 3 k k  là các số nguyên.  3,9k  . + Với 3k  ta có 3 39 3 2 4536C  . + Với 9k  ta có 9 39 2 8C  . Do đó chỉ có hai số hạng thứ 4 và thứ 10 là nguyên. c. Cơ sở gây phương án nhiễu - Tính toán sai. - Không nhớ được các tính chất của số nguyên 2. Xác suất 2.1. Vận dụng trong Xác suất Bên cạnh các ví dụ thông thường mà giáo viên thường trình bày cho học sinh như: Các biến cố liên quan đến phép thử tung đồng xu, phép thử gieo Đánh giá trong dạy học Toán Nhóm 5 - 13 - xúc sắc... thì mỗi vấn đề, mỗi bài toán, mỗi ví dụ trong nội dung Xác suất đều đặt học sinh vào trong những tình huống mới, phong phú và rất đa dạng. Để giải quyết được các tình huống đó,