Bài tập Phương trình vi phân (hệ đại học)
BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập Phương trình vi phân (hệ đại học), để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 1
BÀI TẬP
MÔN TOÁN CAO CẤP 3- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly
1. 2 2 2 2 0y xy dx x yx dy
2.
2 21 1
x
y
x x
3. 2 22 1 0y y y dx x dy
4.
2
2
2 1
1 1
dy x x
dx x x
5.
2
1
1y
y
6. 2 21 1 0x yy e dx e dy y dy
7.
2 2
2 2
1
2 2 2 2 0
xy y x dx
x y xy x y x dy
8. cos 2 sin 0y y y
9.
cos sin 1
cos sin 1
y y
y
x x
10. 1x yy e
11.
2
4 1y x y
12.
1
1y
x y
13. 2 2y x y x
14. 2 22 1y x xy y
15.
1
1
y
x y
16. 4 2 1y x y
17. 2 22y y xy x
18. 2 2 2 4 41 0y x y y x y
19. 2
2
2
y y
x
20.
1
m
n p
x y
y
x y x y
1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất
21. 2 2xdy ydx x y dx
22.
y
xxy y xe
23. cos ln
y
xy y
x
24. sin
y y
y
x x
, với 1
2
y
25. 1 ln ln , 1xy y y x y e
26. ln
x y
xy y x y
x
27. cos cos 0
y y
x y dx x dy
x x
28. 2 22 0xyy x y
29. 2 2 2 2(3 ) ( ) 0x y y y x xy
30. 2 2 2 22 ( 2 ) 0x xy y dx y xy x dy
31.
2 2 22 2 2 4
dx dy
x xy y y xy
32. 2 1 4 2 3 0x y dx x y dy
33. 2 22 0x x y dx x y dy
34.
dx dy
y x y x
35. 1 2 0x y y x y
36. 2 4 6 3 0x y dx x y dy
37. 2 2 4 0y dx x y dy
38. 2 2y x y xyy
39. 2 2 23 2 0x y xyy y
40.
2 2xy y yy
Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 2
1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính
41. 2 arctanxy y x x
42. 2 2 2(1 ) 2 (1 )x y xy x
43.
2
2 xy xy xe
44. 2 21 1 2 0x x y x y x
45. sin 1 cosy x y x
46. 3y xy x
47. 2 0x y dx xdy
48. 2
2 3
, 1 1y y y
x x
49.
1
2
1
xy y
x
50. 2 1 3 4 2 1 0x x y x y x x
51. 2 sinxy y x x
52. 2cos tany x y x thỏa mãn điều
kiện y(0)=0.
53. 21 arcsiny x y x thỏa mãn
điều kiện y(0) =0.
54. 2sin cot 1y x y y
55. 2 1ye x y
56. 1 2xy y ( 1)y y
57.
2
1
0
2
y
x y
58. 3 2 y yye y y xe
1.4 Giải các phương trình Becnuli
59. 2 lnxy y y x
60. 2 33 1y y ay x
61. 2 2 2 2 2( 1) 0x y x y dx y dy
62. 2x y y x y
63. y xy dx xdy
64.
y x
y
x y
65.
2
2 2
cos
y y y
x x
66. 22 4xy x y y
67. 2xyy y x ( là tham số)
68. 21 x yy e
69. tan
cos
x
y y
y
70. 2yx e y
71. 2 31 sin 2 cos 2 2x y y x y x x
72.
2
2
2
cos
y x
ydx xdy dy
y
thỏa mãn
điều kiện 0y .
73. 2 22 2x y y xy y (coi x = x(y))
74. 2 3 1xy x y y
75. 3 sin ' 2y x y xy y
1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần
76. 2 22 1 0x x y dx x ydy .
77. 4 3 2 2ln 2 3 0x x xy dx x y dy .
78. 2 2 3 0y dx xy dy
79. 22 2 2 0x xe x y dx e ydy
80. 2cos sin cos sin 1y x x dy y x y x dx
81. 2 2 32 3 3x x y dx y x dy
82.
2
2 2
1
sin cos 1
1 1
cos sin 0
x y y
dx
y y x x
y x x
dy
x x y y y
83. 2cos sin 1 sin cos 0y x y x dx x y x dy
84. 1 0
x x
y y xx e dx e dy
y
thỏa mãn
điều kiện y(0) = 2.
Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 3
85.
3
2 2 221 3 1 0y dx y xy y dy
86.
2
2
1 cos
2 0
sin 2sin
x yx
dx
y y
87. sin cos 0x xy e y dx x e y dy
88. sin cos sin 0x y dx x y y dy
89.
3
23 (1 ln ) 2
x
x y dx y dy
y
90.
2
2
2
2 sin 2
2 cos 2 ln 0
y
x y dx
x x
x y x dy
91.
2
2
1 cos
2
sin 2sin
x yx
dx dy
y y
92.
2
2
2 cos 2 ln
2
2 sin 2 0
y x y dx
x
y x dy
y y
93. 2 2 4x y xdy ydx a x x dx (thừa
số tích phân)
94. cos sin sin cos 0x y y y dy x y y y dx
.(thừa số tích phân)
95. Tìm hằng số a để
2 21 sin 2 cosy x dx ay xdy là vi phân
toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải
phương trình vi phân
2 21 sin 2 cos 0y x dx ay xdy với a
tìm được.
1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0,
96. 3' 1xy y .
97. 2.yy e y .
98.
1
2 'yy x e , coi x là hàm, y là biến.
99. 1 cosy y y y .
1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero
100. 2 siny xy y .
101. 2 32y y x y y
102.
2
1y
x
y y
103. lnxy y y .
104. 22 1y y xy .
105. 32 ' 'y xy y
Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao
106. 2 2 1y x
107. 2 4 1y y thoả mãn các điều
kiện ban đầu:
a) 0 , 2 0y y khi x .
b) 0, 1 0y y khi x .
108. 2 21 1 0x y y
109. 21y y ay .
110. 2 21 3 0y y y y
111. 2
21
yy
yy y
x
dạng thuần
nhất,
112. 2yy y .
113.
2
1 1
1y y y
x x
114. 2 2 2
2
2
yy
y y y y y
x
115. yy y e
116. 21y y y y
117. 2 1yy y
118. 22 1xy y y
119.
2
1x y x y y
120.
2
cos siny y y y y
121. y y y
Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 4
122. 2xy y x
123. 2y yy yy
124. xy y x
2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên
125. 2 32 cosx y y x x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x
2
126. Giải phương trình
2 cot gx
y y y
x x
biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng 1
sin x
y
x
127. Giải phương trình vi phân: 2 1 2x x y y biết một nghiệm 1
1
1y
x
128. Giải phương trình vi phân 0y2y1x 2 nếu biết một nghiệm của nó có
dạng đa thức.
129. Giải phương trình vi phân 22 1 2 1 2x y x y y x x biết nó có hai
nghiệm riêng
2 2
1 2
4 1 1
2 2
x x x
y y
130. Xác định hằng số sao cho
2xy e là nghiệm riêng của phương trình vi
phân
24 4 2 0y xy x y . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
131. Giải phương trình 2 cotxy y xy x biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng 1
sin x
y
x
132. Giải phương trình 2 3' 4x y xy y x , biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x
133. Giải phương trình 2'xy y x
134. Giải phương trình
1
' 1
1 1
x
y y y x
x x
, biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1
xy e
135. Giải phương trình 2 ln 1 ' 0x x y xy y , biết một nghiệm riêng có dạng
,y x là hằng số.
136. Tìm nghiệm riêng của phương trình 2 22 2 ' 2 1 0x x y x y x y
thỏa mãn '1 0, 1 1y y , biết một nghiệm riêng của nó là xy e
137. Giải phương trình 22 2 1 ' 2 2x x y x y y , biết nó có hai nghiệm
riêng là 1 21,y y x
138. Giải phương trình
2 2
2 1
'
1 1
x
y y
x x
, biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 1y
139. Giải phương trình 2 1 4 2 ' 8 0x y x y y , biết một nghiệm riêng có
dạng ,axy e
Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 5
140. Tìm nghiệm riêng của phương trình
2 2
2 2
'
1 1
x
y y y
x x
thỏa mãn
3 22, ' 1005 2000y y , biết một nghiệm riêng của nó là 1y x
141. Giải phương trình 2 32 ' 2 cosx y xy y x x , biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y x
142. Giải phương trình 21 2 ' 2x y xy y x , biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y x
143. Giải phương trình
2 2 2
2 2 1
'
1 1 1
x
y y y
x x x
, biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y x
144. Giải phương trình
22
'
xe
y y y
x x
, biết một nghiệm riêng của phương trình
vi phân thuần nhất tương ứng là 1
xe
y
x
145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
2 23 1 2 6 4 12x xy y xy x biết rằng nó có hai nghiệm riêng
2
1 22 , 1y x y x
2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số
146. 13 12 0y y y .
147. 2 9 18 0y y y y .
148. 4 0y y .
149. 4 2 3 2 0y y y y y .
150. 7 6 5 43 3 0y y y y .
151. 2 4 cosxy y y e x
152. 2 23 2 3 2xy y y e x .
153. 2sin 4cosy y x x .
154. 2 3siny n y nx .
155. sin sin 2y y x x .
156.
222 4 xy y x e có nghiệm riêng
2* xy e .
157. Với những giá trị nào của p và
q thì tất cả các nghiệm của
phương trình.
y py q giới nội 0x
0, 0p q .
158. , ?p q thì tất cả các nghiệm của
phương trình 0y py q là
những hàm tuần hoàn của x
0, 0p q .
159. 2 2 lnx y xy y x x .
160.
2
2 1 4 2 1 8 8 4x y x y y x
161. 2
1 1
2sin lny y y x
x x
.
162.
2
1 1 4cos ln 1x y x y y x
163. 2 24 2 xx y xy x y e .
164. sin cosxy y e x x
165. 2 32 1x x xy e y e y e
166. xy y x e
167. 2 2 1xy y y x e
168. 3cos sin cos 0y x y x y x
169. 2 5 29 siny y x x
170.
1
sin
y y
x
171. 24 2 4 xy y x e
172. 2 cos
xe
y y y x
x
173. 2 xxy y xy e
174. 2tan cos 0y y x y x
175. 2 5 sin 3y y y x x
176. 2(1 ) ( 2) xxy x y x y e
Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 6
177. 4 22 3 xy y y xe x
178. 2
2
2 0
y
x y xy
x
179. 2 1
xe
y y y
x
180. 2x y xy y x
181. xy y xe
182. 24 5 cosxy y y e x
183. 2 4 6 0x y xy y
184. 24 4 1 lnxy y y e x
185. 24 8 sin 2xy y y e x
186. 2 sin
xe
y y y x
x
187. 2x xy y xe e
188. 2 cos 3siny y y x x
189. 22 2cosy y x
190. sin cos 2y y x x
Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.
Giải các hệ phương trình vi phân
191.
5cos
2
dx
y t
dt
dy
x y
dt
192.
5 3 0
3 0
dx
x y
dt
dy
x y
dt
193.
2
4
dx
x y
dt
dy
y x
dt
194.
3
4
dx
x y
dt
dy
y x
dt
195.
2
dx
x y z
dt
dy
y x z
dt
dz
x z
dt
196.
2
2
2
dx
x y z
dt
dy
x y z
dt
dz
x y z
dt
197.
2
dx
x y z
dt
dy
x y z
dt
dz
x y
dt
198.
dx
x z
dt
dy
y z
dt
dz
x y
dt
199.
2
1 3 1
2 2 2
1 1 5
2 2 2
dx
x y z
dt
dy
x y z
dt
dz
x y z
dt