Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Định nghĩa ánh xạ Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)

pdf43 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 6836 | Lượt tải: 3download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------- ------------ Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh Email : dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn; www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa và ví dụ. III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Định nghĩa ánh xạ :f X Y , ! : ( )x X y Y y f x     Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu , : ( )y Y x X y f x     Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------- Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X. Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,… Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ. I. Định nghĩa và ví dụ ------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. 2. ( , ) ( ) ( ) K v V f v f v       Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W: Wf V  là một ánh xạ thỏa 1. 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) v v V f v v f v f v     I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Chứng tỏ ánh xạ cho bởi23: RRf  21 2 1 3 1 33( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )xx x x x x x xxf x      Ví dụ là ánh xạ tuyến tính. 1 2 3 1 2 3 3( , , ); ( , , )x x x x y y y y R    1 1 2 3 32( ) ( , , )x yx y xf x y yf    3 3 31 1 1 32 21 3 2( ) ( ,3 )2 22 x y xx y x yx yx yf y        1 13 312 1 3233 3( ) ( ,2 2)2 2( , )x x y yf x y x yy yx x       ( ) ( ) ( )f x y f x f y   Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Cho là ánh xạ tuyến tính.WVf : Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V. Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en). 1 1 2 2 n nx V x x e x e x e       1 1 2 2( ) ( )n nf x f x e x e x e    1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x e f x e f x e    1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nf x x f e x f e x f e    Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 2:f R R (1,1,1) (1,2),f (1,1,0) (2, 1),f   (1,0,1) ( 1,1);f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)     3 1 5                  2, 3, 2       (3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1))f f       (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)f f f f      (3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1)f       ( 3,10)  I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 2:f R R (1,1,1) (1,2),f (1,1,0) (2, 1),f   (1,0,1) ( 1,1);f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử 1 2 3( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)x x x x       1 2 3 x x x                  1 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x               1 2 3( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)f x f x x x f f f       1 3 1 2 3 1 2( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1)f x x x x x x x x          2 3 1 2 3( ) (2 , 2 3 )f x x x x x x     Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R3. Chọn cơ sở chính tắc I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm f(x). Đây là ánh xạ 3 3:f R R o y z x (0,0,1) (0,0,1)f  3 1 (1,0,0) ( , ,0) 2 2 f  1 3 (0,1,0) ( , ,0) 2 2 f   1 2 1 2 3 3 1 1 3 ( ) ( , , ) 2 2 2 2 f x x x x x x    Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R3. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian 0xyz qua mặt phẳng . Tìm f(x). Tương tự ví dụ trước, đây là ánh xạ 3 3:f R R (2, 1,3) ( 2,1, 3)f     (1,2,0) (1,2,0)f  (0,3,1) (0,3,1)f  ( )f x 2 3 0x y z   Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đã cho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R3 là: pháp véctơ của mặt phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? Ví dụ 1. ),32(),(;: 1212122 xxxxxfRRf  2. )0,2(),(;: 212122 xxxxfRRf  3. )1,2(),(;: 1212122  xxxxxfRRf 4. ),1(),(;: 212122 xxxxfRRf  5. ),(),(;: 2 1212122 xxxxxfRRf  6 ),(),(;: 122122 xxxxfRRf  II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính WVf :  0)(|  xfVxKerf Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0. V W 0Kerf II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x). Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính  )(:|Im xfyVxWyf  Cho ánh xạ tuyến tính. WVf : x V V W Imf II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Định lý Cho ánh xạ tuyến tính WVf : 1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V. 2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W. 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) Chứng minh. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)Chứng minh. Giả sử dim(Kerf) = m.Tồn tại cơ sở của nhân 1 2, ,...,{ }mE e e e Bổ sung vào E để được cơ sở của V: 1 1 1,..., , ,..., }{ m nE e e v v Ta chứng tỏ cơ sở của Imf là: 2 1( ),..., ( ){ }nE f v f v Im : ( )y f x V y f x      1 1 1 1( ... ... )m m n ny f e e v v          1 1 1 1( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m n ny f e f e f v f v          1 1( ) ... ( ).n ny f v f v     Vậy E2 là tập sinh của Imf. 1) E2 là tập sinh: II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- 2) Chứng minh E2 độc lập tuyến tính. 1 1( ... ) 0n nf v v     1 1 ... .ern nv v K f     1 1 1 1... ...n n m mv v e e         1 1 1 1... ... 0n n m mv v e e          Vì E1 độc lập tt nên 1 2 ... 0m      Suy ra E2 độc lập tuyến tính. 1 1( ) ... ( ) 0n nf v f v   Giả sử Vậy E2 là cơ sở của Imf. dim(Imf ) = n. Hay dim(Imf ) + dim(Kerf ) = m + n = dim(V). II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Mệnh đề Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V. Chứng minh. 1 2, ,...,{ }nE e e eGiả sử tập sinh của V là Imy f  : ( )x V y f x   Vì x thuộc V nên x là thtt của E. 1 1 2 2( ... )n ny f x e x e x e    Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny x f e x f e x f e    1 2( ), ( ),..., ( ){ }nF f e f e f e sinh ra y. 1 2Im ( ), ( ),..., ( )nf f e f e f e   Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận: II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính. 1. Chọn một cơ sở của V là 1 2, ,...,{ }nE e e e 3. 1 2Im ( ), ( ),..., ( )nf f e f e f e  Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác. 2. Tìm 1 2( ), ( ),..., ( )nf e f e f e b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc tìm ảnh của cơ sở đó nhanh. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) : ( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 ) x x x x R f x f x x x x x x x x x x x x            1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf. 1 2 3( , , ) Kerx x x x f   ( ) 0f x  1 2 3 1 2 3 1 2 3( ,2 3 ,3 5 ) (0,0,0)x x x x x x x x x        1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 3 5 0 x x x x x x x x x             1 2 32 ; ;x x x       (2 , , )x      (2, 1,1)x    Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf dim(Kerf) = 1. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3: f R R 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) : ( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 ) x x x x R f x f x x x x x x x x x x x x            2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf. Chọn cơ sở chính tắc của R3 là (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1){ }E  Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3. Im (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)f f f f  Im (1,2,3), (1,3,5),( 1, 1, 1)f      Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận: dim(Im ) 2f  Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)} II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf. Cách 1(thường sử dụng). (1,1,1) (1,2,1);f  (1,1,2) (2,1, 1);f   (1,2,1) (5,4, 1);f   1 2 3 3( , , )x x x x R   1 2 3( , , ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)x x x x       1 2 3 2 2 x x x                      1 2 3 3 1 2 1 3x x x x x x x              1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 4 4 , 2 ,5 2 2 )f x x x x x x x x x x         er1 2 3( , , )x x x x K f   ( ) 0f x  Hệ thuần nhất (2 , ,4 )x     (2,1,4)x   Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1){ }E Cách 2. Chọn cơ sở Kerx f  ( ) 0f x  Giả sử tọa độ của x trong E là 1 2 3 [ ]E x x x x           1 2 3(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)x x x x    1 2 3( ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)f x x f x f x f    1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 2 5 ,2 4 , )       f x x x x x x x x x x Hệ thuần nhất, giải ra có( ) 0f x  1 2 3, 2 ,x x x       2[ ]               Ex (1,1,1) 2 (1,1,2) (1,2,1)x        ( 2 , , 4 ) (2,1,4)x           Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf. (1,1,1) (1,2,1);f  (1,1,2) (2,1, 1);f   (1,2,1) (5,4, 1);f   Chọn cơ sở của R3 là (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1){ }E  Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3. Im (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1)f f f f  Im (1,2,1),(2,1, 1),(5,4, 1)f     Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận: dim(Im ) 2f  Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)} Có thể tìm f(x) như ở ví dụ trước rồi tìm nhân và ảnh. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh. o y z x Ta giải bằng cách lập luận đơn giản sau: Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 có ảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ 0, dim(Kerf) = 0, không có cơ sở. dim(kerf) + dim(Imf) = dim (R3). Suy ra dim(Imf) = 3 Vậy Imf = R3. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------Ví dụ Tìm một ánh xạ tuyến tính , biết4 3:f R R 1 2Im (1,1,1), (1,2,1)f f f    1 2er (1,1,1,0), (2,1,0,1)K f e e    1(1,1,1,0)e  2 (2,1,0,1)e  3(0,0,1,1)e  4 (0,0,0,1)e  (0,0,0) 1(1,1,1)f 2(1,2,1)f 1 2( ) ( ) 0f e f e  3 4( ) (1,1,1), ( ) (1,2,1)f e f e  ( )f x Chú ý: lời giải không duy nhất! III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính. Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ của véctơ trong cơ sở F được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở E và F . ( )jf e E = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V. F = {f1, f2, …, fm} là một cơ sở của W. , 1 2[ ( )] [ ( )] [ ( )]E F F F n FA f e f e f e            Cho ánh xạ tuyến tính WVf : I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ánh xạ cho bởi23: RRf  1 2 3 1 2 3 1 3( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )     x x x x f x x x x x x Ví dụ Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở Vậy ma trận cần tìm là { } ; { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (1,1),(1,2)E F  (1,1,1) (0,3)f  [ ](1, 3 1,1) 3 Ff          (1,0,1) ( 2,3)f   [ ](1, 7 0,1) 5 Ff          (1,1,0) (3,2)f  [ ](1, 4 1,0) 1 Ff         7 5 3 3 4 1 A           III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- 1. Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận AE,F cở mxn sao cho :f V W ,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng. Định lý 2. Cho ma trận trên trường số K. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính thỏa ( )ij m nA a  : n mf K K ,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận và ngược lại. Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thường không phân biệt hai khái niệm này. III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------Ví dụ E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong cặp cơ sở 3 2:f R R 1. Tìm f (3,1,5), 2 1 3 0 3 4 E FA        Bước 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) trong cơ sở E: Bước 2. Sử dụng công thức ,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x Bước 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc. 3 (3,1,5) 2 2 [ ]E          3 2 1 3 14 [ (3,1,5)] 2 0 3 4 2 2 Ff                   (3,1,5) 14(1,1) 2(2,1) (10,12)f    III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong cặp cơ sở 3 2:f R R 2. Tìm f (x) , 2 1 3 0 3 4 E FA        1 2 3( , , ) x x x x (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)     1 2 3 1 2 1 3; ;x x x x x x x           [ ] 1 2 3 1 2 1 3 E x x x x x x x x              III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- [ ] 1 2 3 1 2 1 3 2 1 3 ( ) 0 3 4 F x x x f x x x x x               Theo công thức ta có: [ ] [ ],( ) .F E F Ef x A x [ ] 1 2 3 1 2 3 4 5 ( ) 7 3 4F x x x f x x x x           1 2 3 1 2 3( ) ( 4 5 )(1,1) (7 3 4 )(2,1)f x x x x x x x        1 2 3 1 2 3( ) (10 5 3 ,3 2 )f x x x x x x x      III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho là ánh xạ tuyến tính.3 3:f R R Giả sử 1. Tìm f(2,1,5). 2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ,2 ,3 4 )f x f x x x x x x x x x x x x        3. Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1). III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------Ví dụ Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là 1. Tìm f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf. , 1 1 1 2 3 3 1 2 4 E EA           3 3:f R R Cách 1. Để tìm kerf, có thể tìm f(x) rồi làm tiếp. Cách 2. ker ( ) 0x f f x   Giả sử 1 2 3 [ ]E x x x x           [ ( )] 0Ef x  , .[ ] 0E E EA x  III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- 1 1 2 2 3 3x x e x e x e    1 2 3 1 1 1 2 3 3 0 1 2 4 x x x                  6 [ ] 5Ex                6 (1,1,1) 5 (1,0,1) (1,1,0)x       (2 ,7 , )x     (2,7,1) Vậy là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf.(2,7,1){ }E  dim( er ) =1K f Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} là III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- 3 3:f R R Ví dụ 1. Tính f (4,3, 5) , 1 0 1 2 1 4 1 1 3 E EA           2. Tìm cơ sở và chiều của Imf. VI. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- { } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e
Tài liệu liên quan