Phát biểu bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức nhằm nâng cao tính tích cực, độc lập của học sinh trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 112-118 This paper is available online at PHÁT BIỂU BÀI TOÁNMỚI TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU VỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC NHẰM NÂNG CAO TÍNH TÍCH CỰC, ĐỘC LẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Sơn Hà Trường THPT Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội Email: sonhadhsphn@gmail.com Tóm tắt. Phát huy tính tích cực, độc lập cho học sinh phổ thông là một nội dung quan trọng của định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán. Bài báo này đưa ra một số biện pháp nâng cao tính tích cực, độc lập của học sinh thông qua việc phát biểu bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức. Từ khóa: Chứng minh đẳng thức, tích cực, độc lập, Trung học phổ thông. 1. Đặt vấn đề "Tính tích cực trong hoạt động học tập về thực chất là tính tích cực nhận thức, đặc trưng ở khát vọng hiểu biết, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình chiếm lĩnh tri thức. Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như: hăng hái trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra; hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ; chủ động vận dụng những kiến thức kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới; tập trung chú ý vào vấn đề đang học; kiên trì hoàn thành các bài tập, không nản trước những tình huống khó khăn,.. Tính tích cực học tập có liên quan đến động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú, hứng thú là tiền đề của tự giác, hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lí tạo nên tính tích cực. Tính tích cực sản sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Tính tích cực học tập đạt được ở các cấp độ từ thấp lên cao như: - Bắt chước: gắng sức làm theo các mẫu hành động của thầy, của bạn,... - Tìm tòi: độc lập giải quyết vấn đề nêu ra, tìm kiếm những cách giải quyết khác nhau về một vấn đề,... - Sáng tạo: tìm cách giải quyết mới, độc đáo, hữu hiệu" [1]. 112 Phát biểu bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức... Có bốn dấu hiệu đặc trưng của phương pháp dạy học phát huy tính tích cực cho học sinh: - Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh. - Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học. - Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác. - Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò. Tương thích với những nội dung toán học cụ thể, trong dạy học, giáo viên cần đưa ra những biện pháp nâng cao tính tích cực, độc lập cho học sinh. Nhiều định lí của toán học được phát biểu thông qua một đẳng thức, chứng minh đẳng thức là một trong những dạng toán hay gặp ở trường phổ thông. Vì vậy, giáo viên có nhiều cơ hội để bồi dưỡng tính tích cực độc lập cho học sinh thông qua các bài toán về chứng minh đẳng thức. 2. Nội dung nghiên cứu Trong dạy học, thay vì áp đặt học sinh chứng minh một đẳng thức sẵn có, giáo viên có thể phát biểu bài toán mới để đưa học sinh vào tình huống tự tìm đẳng thức, phát hiện và chứng minh đẳng thức. Chúng tôi xin đưa ra một số biện pháp sáng tạo bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức nhằm nâng cao tính tích cực, độc lập cho học sinh: - Thay bài toán chứng minh đẳng thức thành bài toán rút gọn biểu thức. - Thay bài toán chứng minh đẳng thức thành bài toán biểu diễn một số đại lượng theo đại lượng cho trước. - Thay bài toán chứng minh đẳng thức thành bài toán tìm liên hệ giữa các đại lượng. - Thay bài toán chứng minh đẳng thức thành bài toán tính giá trị của biểu thức. - Thay bài toán chứng minh đẳng thức thành bài toán chứng minh giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào ẩn của bài toán. - Thay bài toán chứng minh đẳng thức bằng bài toán lập tất cả các đẳng thức có thể có giữa các đại lượng cho trước. Ví dụ 1. Bài toán ban đầu: Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB, O là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng −−→ OM = 1 2 (−→ OA+ −−→ OB ) . Bài toán mới thứ nhất: Rút gọn biểu thức vectơ −−→ OM − 1 2 (−→ OA+ −−→ OB ) . Từ đó hãy lập một đẳng thức mới về biểu diễn vectơ −−→ OM theo các vectơ khác có cùng điểm đầu là O. Bài toán mới thứ hai: Biểu diễn vectơ −→u =−→ OA + −−→ OB theo vectơ −−→ OM . Từ đó hãy lập một đẳng thức mới về biểu diễn vectơ −−→ OM theo các vectơ 113 Nguyễn Sơn Hà khác có cùng điểm đầu là O. Bài toán mới thứ ba: Tìm liên hệ giữa hai vectơ −→u = −→OA+−−→OB,−→v = −−→OM . Từ đó hãy lập một đẳng thức mới về biểu diễn vectơ −−→ OM theo các vectơ khác có cùng điểm đầu là O. Bài toán mới thứ tư: Chứng minh rằng vectơ −→w = −→OA + −−→OB − 2−−→OM không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Từ đó hãy lập một đẳng thức mới về biểu diễn vectơ −−→ OM theo các vectơ khác có cùng điểm đầu là O. Bài toán mới thứ năm: Biểu diễn −−→ OM theo −→ OA, −−→ OB. Nếu thay điều kiện của bài toán bằng điều kiện −−→ MA = k. −−→ MB, k 6= 1 thì ta có kết quả nào? Với bài toán ban đầu, giáo viên chỉ kiểm tra được học sinh kĩ năng sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc trừ vectơ và kiểm tra khả năng phát biểu giả thiết trung điểm của đoạn thẳng bằng ngôn ngữ vectơ. Tuy nhiên, với cách phát biểu của các bài toán mới, học sinh được rèn luyện kĩ năng sử dụng quy tắc cộng, trừ hai vectơ và phát hiện ra kết quả mới −−→ OM = 1 2 (−→ OA+ −−→ OB ) . Ngoài ra, các em có thể tự phát hiện thêm kết quả mới khi thay điều kiện của bài toán bằng điều kiện tổng quát hơn là −−→ MA = k. −−→ MB. Ví dụ 2. Bài toán ban đầu: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, hai trung tuyến BB′ và CC ′ vuông góc với nhau. Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng b2 + c2 = 5a2. Bài toán mới: Cho tam giác ABC, ba trung tuyến AA′, BB′, CC ′ cắt nhau tại trọng tâm G, BB′⊥CC ′, kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c. a) Viết một đẳng thức về độ dài tương đương với đẳng thức ∠BGC = 900. b) Biểu diễn các đại lượng trong đẳng thức mới theo các độ dài a, b, c. c) Viết một đẳng thức về độ dài giữa các đại lượng a, b, c tương đương với đẳng thức ∠BGC = 900. Dự kiến hoạt động của học sinh: Phương án 1. a) ∠BGC = 900 ⇔ GB2 +GC2 = BC2. b) GB = 2 3 mb ⇒ GB2 = 4 9 .m2b = 4 9 . 2c2 + 2a2 − b2 4 = 2c2 + 2a2 − b2 9 ; GC = 2 3 mc ⇒ GC2 = 4 9 m2c = 4 9 . 2a2 + 2b2 − c2 9 = 2a2 + 2b2 − c2 9 . c) 2c2 + 2a2 − b2 9 + 2a2 + 2b2 − c2 9 = a2 ⇔ b2 + c2 = 5a2. Phương án 2. a) ∠BGC = 900 ⇔ GA′ = 1 2 BC. 114 Phát biểu bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức... b) GA′ = 1 3 ma = 1 3 √ 2b2 + 2c2 − a2 4 . c) ∠BGC = 900 ⇔ 1 3 √ 2b2 + 2c2 − a2 4 = 1 2 a⇔ 2b 2 + 2c2 − a2 36 = a2 4 ⇔ b2 + c2 = 5a2. Với bài toán ban đầu, có thể học sinh chưa nhìn ra ngay liên hệ giữa giả thiết BB′⊥CC ′ và kết luận b2 + c2 = 5a2, vì vậy khó khăn trong việc vận dụng những kiến thức đã học và có thể không độc lập giải quyết vấn đề được. Lúc này, giáo viên phân bậc hoạt động, đưa ra bài toán mới với những câu hỏi trung gian để kích thích tư duy học sinh. Với cách hỏi mới, giáo viên đưa các em vào tình huống tìm lại các dấu hiệu nhận biết tam giác vuông liên quan đến độ dài đoạn thẳng, đó là đẳng thức về bình phương độ dài các cạnh, đẳng thức về độ dài trung tuyến xuất phát từ một đỉnh và cạnh tương ứng, đây là kiến thức của học sinh lớp 9 nên các em có thể độc lập giải quyết được. Cùng một vấn đề, học sinh có thể có những cách giải quyết khác nhau, có thể là phương án 1 hoặc phương án 2. Ngoài ra, với cách hỏi mới đã giúp các em tự tìm được điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến của tam giác vuông góc với nhau. Tùy vào mức độ nhận thức của học sinh mà giáo viên có thể đưa ra bài toán mới với yêu cầu khác nhau. Từ bài toán ban đầu, có thể đưa ra bài toán khác với mức độ cao hơn. Bài toán mới thứ hai: Cho tam giác ABC, ba trung tuyến AA′, BB′, CC ′ cắt nhau tại trọng tâm G, BB′⊥CC ′. Lập tất cả các đẳng thức có thể có từ các đại lượng GA,GB,GC,GA′, GB′, GC ′, AA′, BB′, CC ′, a, b, c. Với bài toán mới thứ hai, học sinh có thể độc lập trong việc huy động các kiến thức đã có về tính chất trọng tâm của tam giác, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, công thức độ dài đường trung tuyến. Từ đó khám phá ra nhiều kết quả khác nhau: GA′ = 1 2 GA = 1 3 AA′ = 1 3 √ 2b2 + 2c2 − a2 4 , GB′ = 1 2 GB = 1 3 BB′ = 1 3 √ 2c2 + 2a2 − b2 4 , GC ′ = 1 2 GC = 1 3 CC ′ = 1 3 √ 2a2 + 2b2 − c2 4 , GA2 +GB2 = a2, GA′ = 1 2 a, 1 3 √ 2b2 + 2c2 − a2 4 = 1 2 a, b2 + c2 = 5a2, GA′ = 1 2 √ GB2 +GC2, GA = √ GB2 +GC2. Trong hoạt động học tập, giáo viên có thể cho học sinh thảo luận, đưa ra các câu hỏi gợi mở, từ đó các em tích cực, độc lập tìm được nhiều kết quả có liên quan đến nhau. Ví dụ 3. Bài toán ban đầu: Chứng minh định lí côsin trong tam giác. 115 Nguyễn Sơn Hà Cho tam giác ABC. Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng a2 = b2 + c2 − 2bc cosA. Bài toán mới: Cho tam giác ABC a) Biểu diễn −−→ BC theo −→ AB, −→ AC. b) Biểu diễn −−→ BC2 theo độ dài các vectơ−→ AB, −→ AC và tích vô hướng của chúng. c) Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c. Biểu diễn a2 theo b, c và giá trị lượng giác của góc A. d) Khi A = pi 2 thì ta có kết quả nào? e) Phát biểu kết quả tương tự khi biểu diễn b2 hoặc c2 theo các cạnh còn lại và giá trị lượng giác của góc đối diện. Dự kiến hoạt động của học sinh: a) −−→ BC = −→ AC −−→AB b) −−→ BC2 = (−→ AC −−→AB )2 = −→ AC2 + −→ AB2 − 2−→AC.−→AB c) BC2 = AC2 + AB2 − 2AC.AB. cosA a2 = b2 + c2 − 2bc. cosA d) A = pi 2 ⇒ cosA = 0⇒ a2 = b2 + c2 e) b2 = c2 + a2 − 2ca. cosB, c2 = a2 + b2 − 2ab. cosC Trong bài toán ban đầu, học sinh không dễ dàng phát hiện ra việc sử dụng bình phương vô hướng của vectơ để chứng minh đẳng thức độ dài nhưng trong các bài toán mới, các em được chủ động sử dụng các kiến thức đã có về phép cộng, phép trừ hai vectơ, sử dụng tích vô hướng của hai vectơ, từ đó khám phá ra kết quả mới. Với bài toán ban đầu, giáo viên chỉ kiểm tra được học sinh về khả năng sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc trừ hai vectơ, khả năng biến đổi bình phương vô hướng một đẳng thức vectơ, khả năng vận dụng khái niệm tích vô hương của hai vectơ. Tuy nhiên, với bài toán mới, giáo viên không chỉ kiểm tra được học sinh về các kiến thức, kĩ năng nói trên mà còn giúp các em tự phát hiện ra nội dung định lí côsin trong tam giác. Ngoài ra, học sinh có thể nhận ra một kết quả đặc biệt đó là định lí Pytago trong tam giác vuông. Ví dụ 4. Bài toán ban đầu: Chứng minh quy tắc hình hộp trong không gian. Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′. Chứng minh rằng −−→ AC ′ = −→ AB + −−→ AD + −−→ AA′. Bài toán mới: Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′. a) Các tứ giác ABCD,ACC ′A′ là hình gì? b) Tìm liên hệ giữa các vectơ −→ AC, −→ AB, −−→ AD. c) Tìm liên hệ giữa các vectơ −−→ AC ′, −→ AC, −−→ AA′. d) Hãy lập một đẳng thức giữa các vectơ −−→ AC ′, −→ AB, −−→ AD, −−→ AA′. 116 Phát biểu bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức... Dự kiến hoạt động của học sinh: a) Các tứ giác ABCD,ACC ′A′ là hình bình hành. b) ABCD là hình bình hành ⇒ −→AC = −→AB +−−→AD. c) A′ACC ′ là hình bình hành ⇒ −−→AC ′ = −→AC +−−→AA′. d) Sử dụng hai kết qả trên, ta có−−→ AC ′ = −→ AB + −−→ AD + −−→ AA′. Thông qua bài toán mới, học sinh chủ động ôn lại các kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình bình hành và các đẳng thức vectơ liên quan đến hình bình hành. Từ đó, học sinh phát hiện ra một kết quả mới là quy tắc hình hộp. Ví dụ 5. Bài toán ban đầu: Cho tứ diện OABC có OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC. Chứng minh rằng 1 OH2 = 1 OA2 + 1 OB2 + 1 OC2 Bài toán mới: Cho tứ diện OABC có OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC. GọiK là giao điểm của AH và BC. a) Biểu diễn 1 OH2 theo OA,OK. b) Biểu diễn 1 OH2 theo OA,OB,OC. Dự kiến hoạt động của học sinh: a) OA⊥ (OBC)⇒ OA⊥OK ⇒ 1 OH2 = 1 OA2 + 1 OK2 b) BC⊥ (OAH)⇒ BC⊥OK ⇒ 1 OK2 = 1 OB2 + 1 OC2 ⇒ 1 OH2 = 1 OA2 + 1 OB2 + 1 OC2 Thay vì chứng minh một đẳng thức giữa các độ dài của các đoạn thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng, giáo viên yêu cầu học sinh biểu diễn nghịch đảo bình phương độ dài của một đoạn thẳng theo độ dài của hai đoạn thẳng khác khi ba đoạn thẳng này cùng thuộc một tam giác. Điều đó giúp các em độc lập trong việc huy động kiến thức hình học liên quan đến đẳng thức có nghịch đảo bình phương độ dài, các em chủ động ôn lại các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ôn lại cách chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian. Việc đưa ra bài toán mới từ một bài toán ban đầu giúp học sinh chủ động vận dụng những kiến thức đã có. 117 Nguyễn Sơn Hà 3. Kết luận Giáo viên chủ động đưa ra những bài toán mới để tăng cường các hoạt động học tập của học sinh. Tùy vào đối tượng học sinh và nội dung dạy học, giáo viên phân bậc hoạt động để đưa ra bài toán mới phù hợp, giúp các em có niềm tin ở khả năng bản thân, hứng thú học tập, từ đó tích cực, độc lập trong học tập. Phát biểu của bài toán mới làm cho học sinh được cuốn hút vào các hoạt động do giáo viên chỉ đạo và tự mình khám phá ra kết quả mới chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thứ đã có do giáo viên áp đặt. Với các biện pháp đã nêu, người thầy không chỉ rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề mà rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện vấn đề mới, tạo ra kết quả mới. Giáo viên đưa ra bài toán mới về đẳng thức có thể nâng cao yêu cầu đối với học sinh, chuyển từ nhiệm vụ giải quyết vấn đề sang nhiệm vụ phát hiện vấn đề và giải quyến vấn đề.Theo Einstein, “việc phát hiện ra vấn đề mới nhiều khi còn quan trọng hơn cả việc giải quyết vấn đề”. Phát hiện vấn đề là một yếu tố rất quan trọng để học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo (theo: Tôn Thân, 1995. Xây dựng hệ thống câu hỏi bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường trung học cơ sở Việt Nam. Luận án phó tiến sĩ khoa học tâm lí, Viện khoa học giáo dục). TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Bá Hoành, 2010. Đổi mới phương pháp dạy học và chương trình sách giáo khoa. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, tr. 81-82. ABSTRACT Addressing new problems derived from the original problem to verify high school student independence enhancement Promoting active, independent school students is an important part of the innovation-oriented mathematics teaching. This paper provides a number of measures that can enhance student independence through new problems derived from the original problem that will verify the solution of that original problem. 118