Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê

- 1 - Tóm tắt công thức - 1 - XSTK Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A1, A2,…, An xung khắc từng đôi P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có o A, B xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o ( ) 1 ( )P A P A  .  Công thức xác suất có điều kiện: ( )( / ) ( ) P ABP A B P B  , ( )( / ) ( ) P ABP B A P A  .  Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).  A1, A2,…, An độc lập với nhau P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có o A, B độc lập P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).  Công thức Bernoulli: ( ; ; ) k k n knB k n p C p q  , với p=P(A): xác suất để biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.  Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân hoạch của  1 2 . ; , 1, ... i j n A A i j i j n A A A              o Công thức xác suất đầy đủ: 1 1 2 2 1 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / ) n i i n n i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A       o Công thức Bayes: ( ). ( / )( / ) ( ) i i i P A P B AP A B P B  với 1 1 2 2( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A    2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc  Luật phân phối xác suất với ( ), 1, .i ip P X x i n    Ta có: 1 1 n i i p   và f( {a f(X) b}= i i a x b P p      X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn - 2 - Tóm tắt công thức - 2 - XSTK  Hàm phân phối xác suất ( ) ( ) i X i x x F x P X x p      Mode 0 0ModX max{ : 1, }ix p p i n     Median 0,5 ( ) 0,5 MedX ( ) 0,5 0,5 i e i e i x xe e e i x x p P X x x P X x p                    Kỳ vọng 1 1 2 2 1 ( . ) . . ... . n i i n n i EX x p x p x p x p       1 1 2 2 1 ( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ). n i i n n i E X x p x p x p x p            Phương sai 2 2( ) ( )VarX E X EX  với 2 2 2 2 21 1 2 2 1 ( ) ( . ) . . ... . n i i n n i E X x p x p x p x p       b. Biến ngẫu nhiên liên tục.  f(x) là hàm mật độ xác suất của X ( ) 1     f x dx , {a X b} ( ). b a P f x dx     Hàm phân phối xác suất ( ) ( ) ( ) x XF x P X x f t dt       Mode 0ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0.  Median 1 1( ) ( ) 2 2 ex e X eMedX x F x f x dx       .  Kỳ vọng EX . ( )x f x dx     . ( ( )) ( ). ( )E X x f x dx      - 3 - Tóm tắt công thức - 3 - XSTK  Phương sai 2 2( ) ( )VarX E X EX  với 2 2EX . ( )x f x dx     . c. Tính chất - ( ) , ( ) 0E C C Var C   , C là một hằng số. - 2( ) , ( )E kX kEX Var kX k VarX   - ( )E aX bY aEX bEY   - Nếu X, Y độc lập thì 2 2( ) . , ( )E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY     - ( )X VarX  : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn 2( ~ ( ; ))X N    ( )X    , EX=ModX=MedX=  , 2VarX   Hàm mđxs 2 2 ( ) 21( , , ) 2 x f x e         Với 0, 1:    2 21( ) 2 x f x e    (Hàm Gauss)  (a X b) ( ) ( )b aP         với 2 2 0 1( ) 2 tx x e dt      (Hàm Laplace)  Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính 2 2 0 1( ) 2 tx x e dt      2 21( ) 2     tx F x e dt Shift 3 2 x ) = Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 2 x ) = Shift 1 7 1 x ) = Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Lưu ý: ( ) 0,5 ( ) F x x b. Phân phối Poisson ( ~ ( ))X P   ( )X    , EX . odX=k -1 kVarX M         (X=k)=e , ! k P k k     - 4 - Tóm tắt công thức - 4 - XSTK c. Phân phối Nhị thức ( ~ ( ; ))X B n p  ( ) {0..n}X   , EX=np, VarX=npq, ModX=k ( 1) 1 ( 1)n p k n p       (X=k)=C . . , q p 0 ,k k n knP p q k n k          Nếu ( 30; 0,1 0,9; 5, 5)     n p np nq thì 2~ ( ; ) ( ; )  X B n p N với . ,n p npq     1(X=k) ( ), 0 ,kP f k n k          (a X<b) ( ) ( )b aP         Nếu ( 30, 5)    n p np thì ~ ( ; ) ( ) X B n p P với np   (X=k) e , ! k P k k      Nếu ( 30, 0,9, 5)   n p nq (X=k) e , ( )! n k P k n k        với nq  d. Phân phối Siêu bội ( ~ ( ; ; ))AX H N N n  ( ) {max{0; ( )}..min{n;N }}A AX n N N     EX=np, VarX=npq 1 N n N   với ANp N  , q=1-p.  ( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 21 2 2 A AN n N nModX k k N N              .  (X=k)= , ( )A A k n k N N N n N C C P k X C       Nếu 20N n  thì ~ ( ; ; ) ( ; )AX H N N n B n p với A Np N  . (X=k) C . . , ( ), 1k k n knP p q k X q p        . - 5 - Tóm tắt công thức - 5 - XSTK XY     Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng: n30, np<5 p0,1  =np N>20n p= AN N , q=1-p n30, np 5 , nq 5 0,1<p<0,9 1( ) ( )kP X k f       ( ) ( ) ( )b aP a X b            với ,np npq    Siêu bội: X~H(N;NA;n) . ( ) A A k n k N N N n N C C P X k C    Poisson: X~ ( )P ( ) ! k P X k e k    Nhị thức: X~B(n;p) ( ) . .k k n knP X k C p q   Chuẩn: X~ 2( ; )N   2 2 ( ) 21( ; ; ) . 2 x f x e         Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1) 2 21( ) . 2 y f y e    - 6 - Tóm tắt công thức - 6 - XSTK II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu. a. Các công thức cơ bản. Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Giá trị trung bình 1 ... nX XX n    1 ... nx xx n    Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 2 1( ) ... ( )ˆ     nX X X X XS n 2 2 2 1( ) ... ( )ˆ     nx x x x xs n Phương sai hiệu chỉnh 2 22 1( ) ... ( ) 1       n X X X X XS n 2 2 2 1( ) ... ( ) 1       n x x x x xs n b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: Khi đó Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể Giá trị trung bình 1 1 ... k kx n x nx n    Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 2 1 1( ) ... ( )ˆ     k kx x x n x x ns n Phương sai hiệu chỉnh 2 2 2 1 1( ) ... ( ) 1       k k x x x n x x ns n c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu - Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ]a b thì ta sử dụng giá trị đại diện cho miền đó là 2 a b để tính toán. Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Nhập số liệu 1x Shift , 1n M+  kx Shift , kn M+ Nếu 1in  thì chỉ cần nhấn ix M+ X FREQ 1x =  kx = 1n =  kn = ix 1x 2x … kx in 1n 2n … kn - 7 - Tóm tắt công thức - 7 - XSTK Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Kích thước mẫu (n)  Giá trị trung bình ( x )  Độ lệch chuẩn không hiệu chỉnh ( ˆxs )  Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh ( xs ) Shift 1 3 = Shift 2 1 = Shift 2 2 = Shift 2 3 = Shift 1 5 1 = Shift 1 5 2 = Shift 1 5 3 = Shift 1 5 4 = Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Ước lượng khoảng. a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( đã biết)  Ước lượng đối xứng. 2 2 2 1( ) . ; ) 2 z z z x x n                   Ước lượng chệch trái. ( ) 0,5 . ; )z z z x n                Ước lượng chệch phải. ( ) 0,5 . )z z z x n              Trường hợp 2. ( chưa biết, 30n  )  Ước lượng đối xứng. 2 2 2 1( ) . ; ) 2 sz z z x x n                  Ước lượng chệch trái. ( ) 0,5 . ; )sz z z x n              Ước lượng chệch phải. ( ) 0,5 . )sz z z x n            Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)  Ước lượng đối xứng. ( 1; ) ( 1; ) 2 2 1 . ; ) 2 n n st t x x n                 Ước lượng chệch trái. ( 1; ) ( 1; )1 . ; )n n st t x n             - 8 - Tóm tắt công thức - 8 - XSTK  Ước lượng chệch phải. ( 1; ) ( 1; )1 . ; )n n st t x n            b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.  Ước lượng đối xứng. 2 2 2 (1 )1( ) . ; ) 2 f f z z z f f n                  Ước lượng chệch trái. (1 ) ( ) 0,5 . ; ) f f z z z f n                Ước lượng chệch phải. (1 ) ( ) 0,5 . ) f f z z z f n              c) Khoảng tin cậy cho phương sai. Trường hợp 1. ( chưa biết) - Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính).  Ước lượng không chệch. 2 2 ( 1; ) 2 1 2       n , 1 2 ( 1;1 ) 2 1 1 2         n 2 2 2 1 ( 1) ( 1)( ; )    n s n s  Ước lượng chệch trái. 2 2 1 ( 1;1 ) 1 ( 1)1 (0; )n n s           Ước lượng chệch phải. 2 2 2 ( 1; ) 2 ( 1)1 ( ; )n n s           Trường hợp 2. ( đã biết) - Tính 2 2 1 ( 1) .( ) k i i i n s n x      Ước lượng không chệch. 2 2 ( ; ) 2 1 2       n , 21 ( ;1 ) 2 1 1 2        n 2 2 2 1 ( 1) ( 1)( ; )    n s n s - 9 - Tóm tắt công thức - 9 - XSTK  Ước lượng chệch trái. 2 2 1 ( ;1 ) 1 ( 1)1 (0; )       n n s  Ước lượng chệch phải. 2 2 2 ( ; ) 2 ( 1)1 ( ; )        n n s 3. Kiểm định tham số. a) Kiểm định giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( đã biết)  1: , :o o oH H       2 2 1( ) , . 2 oxz z z n        - Nếu 2 z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2 z z : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH H       ( ) 0,5 , .oxz z z n        - Nếu z z  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z  : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH H       ( ) 0,5 , .oxz z z n        - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 2. ( chưa biết, 30n  )  1: , :o o oH H       2 2 1( ) , . 2 oxz z z n s        - Nếu 2 z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2 z z : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH H       ( ) 0,5 , .oxz z z n s        - 10 - Tóm tắt công thức - 10 - XSTK - Nếu z z  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z  : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH H       ( ) 0,5 , .oxz z z n s        - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)  1: , :o o oH H       ( 1; ) 2 , . 2 o n xt t n s      - Nếu ( 1; ) 2 n t t    : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu ( 1; ) 2 n t t    : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH H       ( 1; ) , .on xt t n s      - Nếu ( 1; )nt t    : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu ( 1; )nt t    : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH H       ( 1; ) , .on xt t n s      - Nếu ( 1; )nt t   : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu ( 1; )nt t   : Chấp nhận Ho. b) Kiểm định tỉ lệ.  1: , :o o oH p p H p p   2 2 1( ) , , . 2 (1 ) o o o f pkz z f z n n p p           - Nếu 2 z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2 z z : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH p p H p p   ( ) 0,5 , , . (1 ) o o o f pkz z f z n n p p           - 11 - Tóm tắt công thức - 11 - XSTK - Nếu z z  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z  : Chấp nhận Ho.  1: , :o o oH p p H p p   ( ) 0,5 , , . (1 ) o o o f pkz z f z n n p p           - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. c) Kiểm định phương sai. Trường hợp 1. ( chưa biết) - Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s.  2 2 2 21: , :o o oH H       2 2 1 ( 1;1 ) 2 1 2 n          , 2 22 ( 1; ) 2 2 n       , 2 2 2 ( 1) o n s     - Nếu 2 2 2 2 2 1        : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 2 21 2     : Chấp nhận Ho.  2 2 2 21: , :o o oH H       2 2 1 ( 1;1 )1 n      , 2 2 2 ( 1) o n s    - Nếu 2 21   : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 21   : Chấp nhận Ho.  2 2 2 21: , :o o oH H       2 2 2 ( 1; )n    , 2 2 2 ( 1) o n s    - Nếu 2 22   : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 22   : Chấp nhận Ho. 4. Kiểm định so sánh tham số. a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( 1 2,  đã biết)  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) , 2 x xz z z n n           - 12 - Tóm tắt công thức - 12 - XSTK - Nếu 2 z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2 z z : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 0,5 , x xz z z n n           - Nếu z z  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z  : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 0,5 , x xz z z n n           - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 2. ( 1 2,  chưa biết, 1 2 30n n  )  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) , 2 x xz z z s s n n         - Nếu 2 z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2 z z : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 0,5 , x xz z z s s n n         - Nếu z z  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z  : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 0,5 , x xz z z s s n n         - 13 - Tóm tắt công thức - 13 - XSTK - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 3. ( 1 2   chưa biết, 1 2, 30n n  )  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 1 2 ( 2; ) 22 1 2 , 2 1 1( ) n n x xt t s n n          , với 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1). ( 1). 2 n s n ss n n       - Nếu 1 2( 2; )2 n n t t     : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 1 2( 2; )2 n n t t     : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 1 2 ( 2; ) 2 1 2 , 1 1( ) n n x xt t s n n         , với 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1). ( 1). 2 n s n ss n n       - Nếu 1 2( 2; )2 n n t t      : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 1 2( 2; )2 n n t t      : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH H       1 2 1 2 ( 2; ) 2 1 2 , 1 1( ) n n x xt t s n n         , với 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1). ( 1). 2 n s n ss n n       - Nếu 1 2( 2; )2 n n t t     : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 1 2( 2; )2 n n t t     : Chấp nhận Ho. b) Kiểm định so sánh tỉ lệ. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,k k k kf f f n n n n         1 2 1 1 2: , :oH p p H p p   1 2 2 2 1 2 1( ) , 2 1 1(1 ).( ) f fz z z f f n n          - Nếu 2 z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2 z z : Chấp nhận Ho. - 14 - Tóm tắt công thức - 14 - XSTK  1 2 1 1 2: , :oH p p H p p   1 2 1 2 ( ) 0,5 , 1 1(1 ).( ) f fz z z f f n n          - Nếu z z  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z  : Chấp nhận Ho.  1 2 1 1 2: , :oH p p H p p   1 2 1 2 ( ) 0,5 , 1 1(1 ).( ) f fz z z f f n n          - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. c. Kiểm định so sánh phương sai. - 1 2,  chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa cho.  2 2 2 21 2 1 1 2: , :oH H       - 2 1 1 1 2 2 1 22 2 , ( 1; 1;1 ) , ( 1; 1; ) 2 2 sf f f n n f f n n s               - Nếu 1 2 f f f f    : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 1 2f f f  : Chấp nhận Ho.  2 2 2 21 2 1 1 2: , :oH H       - 2 1 1 1 22 2 , ( 1; 1;1 )sf f f n n s        - Nếu 1f f : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 1f f : Chấp nhận Ho.  2 2 2 21 2 1 1 2: , :oH H       - 2 1 2 1 22 2 , ( 1; 1; )sf f f n n s       - Nếu 2f f : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu 2f f : Chấp nhận Ho. 5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu. - 15 - Tóm tắt công thức - 15 - XSTK a. Hệ số tương quan mẫu: 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i i i i i n n n n i i i i i i i i n x y x y r n x x n y y                   Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: xxy A B  với 1 1 1 2 2 1 1 ( ) n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y B n x x              và 1 1 . n n i i i i y B x A n       . b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số: Ta tính theo công thức thu gọn như sau: Hệ số tương quan mẫu: 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) k k k i i i i i i i i i i k k k k i i i i i i i i i i i i n n x y n x n y r n n x n x n n y n y                   Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: xxy A B  với 1 1 1 2 2 1 1 ( ) k k k i i i i i i i i i i k k i i i i i i n n x y n x n y B n n x n x              và 1 1 . k k i i i i i i n y B n x A n       . ix 1x 2x … kx iy 1y 2y … ky in 1n 2n … kn - 16 - Tóm tắt công thức - 16 - XSTK c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Hồi quy tuyến tính Mode…(tìm)…REG Lin Mode…(tìm)…STAT A+BX Nhập số liệu 1x , 1y Shift , 1n M+  kx , ky Shift , kn M+ 1in  thì chỉ cần nhấn ix , iy M+ X Y FREQ 1x =  kx = 1y =  ky = 1n =  kn = Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Hệ số tương quan mẫu (r)  Hệ số hằng: A  Hệ số ẩn (x): B Shift 2  3 = Shift 2  1 = Shift 2  2 = Shift 1 7 3 = Shift 1 7 1 = Shift 1 7 2 = Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1 Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì không cần kích hoạt nữa. ……………………………………….