Giáo trình Biến đổi Fourier - Biến đổi Laplace

BÙI TUẤN KHANG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 2013 Biến đổi Fourier Biến đổi Laplace Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 5 Chương một Tín hiệu & hệ thống §1. Bổ sung về giải tích 1. Hàm liên tục Xét các hàm trị phức x : ℝ → ℂ, t → x(t). Hàm x(t) gọi là bị chặn nếu có M > 0 sao cho với mọi t  ℝ, | x(t) |  M. Kí hiệu B là tập các hàm bị chặn, có thể kiểm chứng rằng là B không gian định chuẩn với chuẩn || x || = supℝ | x(t) | Hàm x(t) gọi là liên tục từng khúc nếu nó liên tục từng khúc trên mọi đoạn [a, b]. Tức là nó chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên mỗi đoạn [a, b]. Kí hiệu ))-t(x)t(x( 2 1 )t(x~ ++= gọi là hàm điều chỉnh của x(t). Kí hiệu CM là tập các hàm liên tục từng khúc, có thể kiểm chứng rằng CM là C - đại số với các phép toán thông thường. Hàm x(t) gọi là khả tích nếu nó khả tích trên mọi đoạn [a, b] và có số M > 0 sao cho  b a dt|)t(x|  M. Kí hiệu L1 là tập các hàm liên tục từng khúc và khả tích. Có thể kiểm chứng rằng L1 là không gian giả định chuẩn với giả chuẩn || x ||1 =  + − dt|)t(x| Hai hàm thuộc lớp L1 gọi là bằng nhau hầu khắp nơi nếu tập các điểm mà giá trị của chúng khác nhau có độ đo không. Tức là x(t) n.k.h = y(t)  || x – y ||1 = 0 Hàm x(t) gọi là bị chặn (có giới hạn, liên tục, ...) hầu khắp nơi nếu như có hàm y(t) là bị chặn (có giới hạn, liên tục, ...) sao cho x(t) = y(t) (h.k.n). Có thể kiểm chứng rằng các hàm thuộc lớp L1 là hàm liên tục, bị chặn và dần về không khi t dần ra vô cùng hầu khắp nơi. Tuy nhiên bằng ví dụ có thể chỉ ra điều ngược lại nói chung là không đúng. Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 6 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Hàm x(t) gọi là bình phương khả tích nếu hàm x2(t) là khả tích. Kí hiệu L2 là tập các hàm bình phương khả tích, có thể kiểm chứng rằng L2 là không gian giả Hermite với giả tích vô hướng =  + − dt)t(y)t(x * trong đó y*(t) là liên hợp phức của y(t). Sau này trong một số phép chứng minh ta dùng kết quả sau đây Định lý 1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Ta có công thức sau đây  x(t)  L1,  + −  dte)t(x ti ⎯⎯ →⎯ → 0 Chứng minh •   > 0 tùy ý,  T > 0 cố định. Do x(t) là hàm liên tục từng khúc nên có hàm bậc thang (t) = {(k, tk)}k=0..N xấp xỉ sao cho sup{| x(t) - (t) | : | t |  T}  T8 1  Ước lượng trực tiếp tích phân hàm bậc thang  + −  T T ti dte)t( =  −  −−  1N 0 titi k )ee( i 1 1kk ⎯⎯ →⎯ → 0 Từ đó suy ra ước lượng  + −  T T ti dte)t(x   + − − T T ti dte))t()t(x( +  + −  T T ti dte)t(  4 1  + 4 1  = 2 1  • Do x(t) là hàm khả tích nên với mọi  > 0 tùy ý, tồn tại T > 0 sao cho  + −  dte)t(x ti     T|t| ti dte)t(x +  + −  T T ti dte)t(x  2 1  + 2 1  =  Từ đó suy ra điều phải chứng minh  2. Hàm rời rạc Xét các hàm rời rạc trị phức x : ℤ → ℂ, n → x(n). Hàm x(n) gọi là bị chặn nếu có M > 0 sao cho với mọi n  ℤ, | x(n) |  M. Kí hiệu B là tập các hàm rời rạc bị chặn, có thể kiểm chứng rằng là B không gian định chuẩn với chuẩn || x || = supℤ | x(n) | Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 7 Hàm x(n) gọi là khả tổng nếu có số M > 0 sao cho với mọi đoạn [a, b] nguyên  b a |)n(x|  M. Kí hiệu l1 là tập các hàm rời rạc khả tổng, có thể kiểm chứng rằng L1 là không gian định chuẩn với chuẩn || x ||1 =  + − |)n(x| Hàm x(n) gọi là bình phương khả tổng nếu hàm x2(n) là khả tổng. Kí hiệu L2 là tập các hàm rời rạc bình phương khả tổng, có thể kiểm chứng rằng L2 là không gian Hermite với tích vô hướng =  + − )n(y)n(x * Ngoài ra, có thể chứng minh rằng L1  L 2  B. Trong giáo trình giải tích ta có kết quả sau đây. Định lý 2 Cho x(t) là hàm liên tục từng khúc và tuần hoàn với chu kì T. Kí hiệu cn =  − ]T[ tin dte)t(x T 1 với n  ℕ và  = T 2 . Khi đó nếu x(t) là hàm có đạo hàm liên tục từng khúc thì chuỗi Fourier  + =  0n tin nec hội tụ đơn đến hàm )t(x ~ . Ngoài ra nếu x(t) là hàm liên tục thì sự hội tụ trên là hội tụ đều. Chứng minh Xem giáo trình giải tích 3  3. Các hàm xung 3.1 Hàm liên tục 1) Hàm nhảy u(t) =      0 t 0 0 t 1 Hàm u(t) có đạo hàm liên tục với t  0, u’(0+) = 0 và u’(0-) = + 2) Hàm Dirac (t) = 0h lim → ))ht(u)ht(u( h2 1 −−+ =     =+ 0 t 0 0 t Hàm Dirac là một hàm theo nghĩa suy rộng. Hàm Dirac có các tính chất sau đây. Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 8 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace a)  t  0, (t) = u’(t) và (0) = u’(0-) b)  t  ℝ, u(t) =  −  t d)( và  + −  dt)t( =  + −  0 0 dt)t( = 1 c)  x(t)  CM,  + − − d)()t(x = )t(x~ Chứng minh a) – b) Suy ra từ định nghĩa c) Xét hàm y() = x(t - ), theo định nghĩa hàm Dirac ta có  + −  d)()(y =  + − +→  −−+  d h2 )h(u)h(u lim)(y 0h =  − +→  h h 0h d)(y h2 1 lim Với h > 0, đủ bé có thể xem hàm y() liên tục trong các khoảng (-h, 0) và (0, h). Theo tính chất của hàm cận trên ta có  − +→  h h 0h d)(y h2 1 lim =         +  − +→ h 0 0 h 0h d)(yd)(y h2 1 lim = 2 1 (y(0+) + y(0-)) Từ đó suy ra công thức cần chứng minh  3.2 Hàm rời rạc 1) Hàm nhảy u(n) =      0 n 0 0n 1 2) Hàm Dirac (n) =     = 0 n 0 0n 1 Hàm Dirac rời rạc là tín hiệu xung, không phải là tín hiệu suy rộng như hàm liên tục từng khúc. Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau đây của hàm Dirac rời rạc. a)  n  ℤ, (n) = u(n) - u(n - 1) b)  n  ℤ, u(n) =  −  n )k( và  + −  )k( = 1 c)  x(n),  + − − )k()kn(x = x(n) Chứng minh Suy ra từ định nghĩa  Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 9 §2. Tín hiệu 1. Tín hiệu Tín hiệu, hiểu theo nghĩa vật lý, là vật mang tin. Tức là biểu hiện vật lý của thông tin về trạng thái của một hệ vật lý, sinh học, ... Các biểu hiện vật lý này có thể đo được một cách tiền định hoặc ngẫu nhiên, có thể đo được toàn bộ hoặc từng phần. Trong giáo trình này ta xem các tín hiệu như là các hàm trị thực hoặc phức của biến thời gian liên tục từng khúc hoặc rời rạc. Tức là các ánh xạ x : ℝ → ℂ, t → x(t) hoặc x : ℤ → ℂ, n → x(n) Các khái niệm và kết quả sau đây phát biểu cho các tín hiệu liên tục từng khúc. Các khái niệm và kết quả tương tự cho các tín hiệu rời rạc được xem như là các trường hợp riêng. Tín hiệu x(t) gọi là tín hiệu xung nếu x(t) = 0 với | t | > T, trái lại gọi là tín hiệu sóng. Tín hiệu x(t) gọi là tín hiệu phải nếu x(t) = 0 với t < 0, gọi là tín hiệu trái nếu  t > 0, x(t) = 0. Các khái niệm khác như bị chặn, đối xứng, tuần hoàn, ... hiểu theo nghĩa thông thường. Kí hiệu F là tập hợp các tín hiệu liên tục từng khúc, có thể kiểm chứng rằng với các phép toán thông thường F là một C - đại số. Kí hiệu • F0 là tập con các hàm dần về không khi t dần ra vô cùng • FT là tập con các hàm T - tuần hoàn • B là tập con các bị chặn • CMk là tập con các hàm có đạo hàm liên tục từng khúc cấp k • Lp là tập con các hàm khả tích lũy thừa p của đại số F. Có thể kiểm chứng rằng các tập con F0, FT, B và CMk và là các đại số con của đại số F. Trong một số trường hợp ta dùng phép kết hợp các kí hiệu, chẳng hạn CL10 là tập con các hàm liên tục, khả tích và dần về không khi t dần ra vô cùng. Tất nhiên khi hạn chế xét trong các tập con của đại số F ta nhận được các kết quả rất đẹp về mặt lý thuyết. Tuy nhiên các kết quả như vậy thường bị hạn chế về phạm vi ứng dụng. Chính vì vậy mà ta chấp nhận các kết quả yếu hơn nhưng phạm vi ứng dụng không bị hạn chế trong toàn đại số F. Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 10 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace 2. Tích chập Cho x, y là các phần tử của đại số F sao cho tích phân suy rộng hoặc tổng vô hạn sau đây là hội tụ. Kí hiệu x(t)y(t) =  + − − d)(y)t(x * hoặc x(n)y(n) =  + − − )k(y)kn(x * (1.2.2) và gọi là tích chập của hai tín hiệu x và y. Ví dụ Tính tích chập của hai tín hiệu 1) Cho x(t) = e-tu(t) và y(t) = u(t+1) – u(t-1) Ta có x(t - )y() = e-(t-)u(t - ) với -1    1 x(t - )y() = 0 với các trường hợp khác Theo định nghĩa ta có x(t)  y(t) =  + − −− − 1 1 )t( d)t(ue = (1 - e-t-1)u(t+1) – (1 - e-t+1)u(t-1) 2) Cho x(n) = 2-nu(n) và y(n) = (n+1) + (n) + (n-1) Ta có x(n - k)y(k) = 2-(n-k)u(n - k) với k = -1, 0, 1 x(n - k)y(k) = 0 với các trường hợp khác Theo định nghĩa ta có x(n)  y(n) = 2-(n+1)u(n+1) + 2-nu(n) + 2-(n-1)u(n-1) Định lý 1 Tích chập có các tính chất sau đây 1)  x, y  L1  B, x  y  L1 và  x  y 1   x 1  y 1 2)  x, y, z  L1,    ℂ, (x + y) * z = x  y + y  z 3)  x, y, z  L1, (x  y) * z = x  (y * z) 4)  x, y  L1, y  x = (x  y)* 5)  x  L1, x   = (  x)* = x~ 6) Liên hệ với tích vô hướng  x, y  L1,  t  ℝ, x(t)  y(t) = với kí hiệu xt-() = x(t - ) 7) Có các tính chất tương tự cho tín hiệu rời rạc Chứng minh 1a)  x(t), y(t)  L1  B, ta có ước lượng Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 11  t,   ℝ,  x(t - )y*()    x   y()  Do y()  L1 nên theo định lý về hàm trội,  t  ℝ, x(t - )y*()  L1. Do các hàm là liên tục từng khúc và khả tích, nên  T > 0 ta có ước lượng.  + − T T dt|)t(y*)t(x|    + − + − − T T d|)(y||)t(x|dt   x 1  y 1 Từ đó suy ra x(t) * y(t)  L1. Chuyển qua giới hạn khi t dần ra vô cùng, ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh. 2b) – 3) Chứng minh tương tự  3. Tương quan Cho x, y là các phần tử của đại số F sao cho tích phân suy rộng hoặc tổng vô hạn sau đây là hội tụ. Kí hiệu xy(t) =  + − + d)(y)t(x * hoặc xy(n) =  + − + )k(y)kn(x * và gọi là tương quan của hai tín hiệu x và y. Về ý nghĩa vật lý, tương quan là số đo sự giống nhau của hai tín hiệu trên một khoảng có độ dài là t (hoặc n). Tương quan của tín hiệu x so với chính nó gọi là tự tương quan và kí hiệu là x(t) (hoặc x(n)). Kí hiệu rxy(t) = )0()0( )t( yx xy   hoặc rxy(n) = )0()0( )n( yx xy   gọi là hệ số tương quan giữa hai tín hiệu x và y. Trong tính toán ta thường quan tâm đến hệ số tương quan hơn là tương quan của hai tín hiệu. Ví dụ Tính tự tương quan và tương quan của hai tín hiệu 1) Cho x(t) = u(t+1) – u(t-1) và y(t) = e-tu(t) Ta có x(t + )x() = x(t + ) với -1    1 x(t + )x() = 0 với các trường hợp khác Suy ra x(t) =  − + 1 1 d)t(x = (-| t | + 2)(u(t+2) – u(t-2)) Tính toán tương tự, ta có Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 12 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace y(t) =  + +− + 0 )2t( d)t(ue = 2 1 e-|t| xy(t) =  + − + 0 d)t(xe = (et+1 - 1)u(-t-1) – (et-1 - 1)u(-t+1) 2) Cho x(n) = (n+1) + (n) và y(n) = 2-nu(n) Ta có x(n + k)x(k) = x(n + k) với k = -1, 0 x(n + k)x(k) = 0 với các trường hợp khác Suy ra x(n) = x(n - 1) + x(n) = (n+1) + 2(n) + (n-1) Tính toán tương tự, ta có y(n) =  + +− + 0 )k2n( )kn(u2 = 3 4 (2-nu(n) + 2-3nu(-n-1)) xy(n) =  + −+ 0 k2)kn(x = 2n + 2n+1 Định lý 2 Tương quan và tự tương quan có các tính chất sau đây. 1) Các tính chất của tương quan a)  x, y  L1,  t  ℝ, xy(t) = b)  x, y  L1,  t  ℝ, xy(t) = x(t) * y-(t) c)  x, y  L1,  t  ℝ, yx(t) = *xy(-t) 2) Các tính chất của tự tương quan a)  x  L1,  t  ℝ, *x(t) = x(-t) b)  x  L1,  t  ℝ, Max x(t)  = x(0) c)  x, y  L1,  t  ℝ, -1  rxy(t)  1 3) Có các tính chất tương tự cho tín hiệu rời rạc Chứng minh 1) Suy ra từ định nghĩa 2b) Theo 1) và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có | x(t) | = | |  || xt || || x || = x(0) 2c - 3) Chứng minh tương tự  Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 13 §3. Hệ xứ lý thông tin 1. Hệ xứ lý thông tin Hệ xứ lý thông tin là một hệ thống biến các tín hiệu vào (tác động) thành các tín hiệu ra (đáp ứng) mà ta có thể mô hình hóa như sau Về mặt toán học, hệ xử lý thông tin là một toán tử từ đại số F vào chính nó T : F → F, x → y = T{ x } Trường hợp tổng quát, hệ xử lý thông tin có thể có m - tác động, n - đáp ứng tuy nhiên để đơn giản trong giáo trình này ta chỉ xét hệ xử lý thông tin 1 - tác động, 1 - đáp ứng và gọi tắt là hệ thống. Mối quan hệ giữa các tín hiệu vào - ra trong hệ thống thường được mô tả bằng phương trình gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống. Trường hợp liên tục phương trình đặc trưng là phương trình vi phân, trường hợp rời rạc phương trình đặc trưng là phương trình sai phân. Ta nghiên cứu hệ thống thông qua phương trình đặc trưng của nó. Ví dụ Hệ xử lý thông tin 1) Mạch R-C Xét mạch điện gồm nguồn điện S, điện trở R và tụ điện C như hình vẽ bên. Tác động x(t) = vs(t) là điện thế nguồn, còn đáp ứng y(t) = vc(t) là điện thế tụ. Mối quan hệ giữa tác động và đáp ứng được mô tả bằng phương trình cân bằng cường độ R 1 (vs(t) – vc) = Cv’c(t) hay RCy’(t) + y(t) = x(t) Mạch R-C cũng là hệ thuần nhất vào - ra theo nghĩa tín hiệu vào và tín hiệu ra là cùng một loại. 2) Tích lũy tài khoản Trong ví dụ này, tác động x(n) là thu nhập tháng thứ n, còn đáp ứng y(n) là tích lũy tháng thứ n của một tài khoản tiền gửi. Kí hiệu L là lãi suất tiền gửi và xem là hằng số. Mối quan hệ giữa tác động và đáp ứng mô tả bằng phương trình cân bằng tích lũy tiền gửi. i R S C vc = y(t) vs = x(t) Hệ thống S Tác động x y Đáp ứng Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 14 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace y(n) = Ly(n - 1) + x(n) hay y(n) - Ly(n - 1) = x(n) Hệ thống này cũng là hệ thuần nhất vào - ra theo nghĩa như trên. 2. Phân loại hệ xử lý tín hiệu Hệ thống mà các tín hiệu vào, ra cùng loại gọi là hệ thuần nhất vào - ra, ta có hệ tương tự, hệ rời rạc, ... Hệ thống trái lại gọi là không thuần nhất, ta có hệ tương tự - số, hệ liên tục - rời rạc, ...Hệ thống mà giá trị của đáp ứng tại thời điểm t phụ thuộc vào giá trị của tác động trước và sau thời điểm đó gọi là hệ có nhớ, hệ thống trái lại gọi là hệ không nhớ. Hệ thống mà giá trị đáp ứng tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào các giá trị tác đồng trước thời điểm đó gọi là hệ nhân quả, hệ thống trái lại lại gọi là hệ phản nhân quả. Hệ thống mà quan hệ vào - ra bất biến đối với phép tĩnh tiến thời gian gọi là hệ bất biến, tức là Nếu y(t)= T{x(t)} thì    ℝ, y(t - ) = T{x(t - )} hệ thống trái lại gọi là hệ biến đổi. Ví dụ Hệ thống cho bằng phương trình đặc trưng 1) Hệ có nhớ y(n) = x(n+1) - x(n-1) hệ không nhớ y(t) = 2x(t) + x2(t) 2) Hệ nhân quả y(n) = x(n) - 2x(n - 1) hệ phản nhân quả y(t) = x(2t + 1) 3) Hệ bất biến y(t) = sinx(t) hệ biến đổi y(n) = nx(n) Nếu ánh xạ T là ánh xạ đồng nhất, hệ thống gọi là hệ đồng nhất. Nếu ánh xạ T là ánh xạ khả nghịch, hệ thống gọi là hệ khả nghịch. Trong trường hợp đó hệ thống ứng với ánh xạ T-1 gọi là hệ ngược của hệ ban đầu. Nếu ánh xạ T là ánh xạ bị chặn trên mọi tập bị chặn thì hệ thống gọi là hệ ổn định, hệ thống trái lại gọi là hệ bất ổn. Nếu ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính thì hệ thống gọi là hệ tuyến tính, hệ thống trái lại gọi là hệ phi tuyến. Ví dụ Hệ thống cho bằng phương trình đặc trưng 1) Hệ thống y(n) =  − n )k(x có hệ ngược là hệ x(n) = y(n) - y(n - 1) 2) Hệ ổn định y(t) = ex(t) hệ bất ổn y(t) = tx(t) 3) Hệ tuyến tính y(n) = nx(n) hệ phi tuyến y(n) = 2x(n) + 3 Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 15 Ví dụ Khảo sát hệ thống cho bằng phương trình đặc trưng y(n) =  + − − )k2n(g)n(x với g(n) = u(n) - u(n - 2) Giải Ta có g(n - 2k) = 1 với k = q, q - 1 với n = 2q và k = q với n = 2q + 1 g(n - 2k) = 0 với các trường hợp khác Suy ra y(n) =    += = 12qn x(n) 2qn 2x(n) Vậy hệ đã cho là hệ không nhớ, bất biến, ổn định và tuyến tính 3. Biểu diễn hệ thống Trong nhiều trường hợp ta biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối. Một hệ thống phức tạp được phân tích thành tổ hợp các hệ thống sơ cấp biểu diễn các phép toán đại số và được kết nối với nhau bằng ba kết nối cơ bản là nối tiếp, song song và hồi qui. 3.2.1 Biễu diễn các phép toán Phép cộng (trừ, nhân) Phép nhân với vô hướng Phép đạo hàm (sai phân) Phép tích phân (tổng) x1 ax1 a x(n) x(n-1) D x(t) x’(t) D x(n) S x(t) S x2 x1 + x2 x1 + Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 16 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace 3.2.2 Các kết nối cơ bản Nối tiếp S1  S2 Song song S1  S2 Hệ hồi quy S1  S2 Ví dụ Biểu diễn hệ thống cho bằng phương trình đặc trưng 1) Xét hệ y(n) + ay(n-1) = bx(n) Biến đổi phương trình về dạng y(n) = bx(n) – ay(n-1) Nhận được sơ đồ vi phân như hình vẽ bên. 2) Xét hệ y’(t) + ay(t) = bx(t) Có thể biểu diễn hệ bằng sơ đồ vi phân như trên. Tuy nhiên lần này ta có thể biến đổi phương trình về dạng y(t) =  − − t d ))(ay)(bx( Nhận được sơ đồ tích phân như hình vẽ bên. in out S2 S1 x(t) -a b y(t) S + -a y(n) x(n) + y(n-1) b D in out S1 S2 + in S1 S2 + out Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Trang 17 §4. Hệ tuyến tính bất biến 1. Hệ tuyến tính bất biến Xét hệ thống rời rạc, tuyến tính và bất biến với thời gian (viết tắt là LTI) y(n) = T{x(n)}. Với tác động x(n) = (n) nhận được đáp ứng h(n) = T{(n)}, gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Với tác động x(n) bất kì, ta có biểu diễn xung x(n) =  + − − )kn()k(x Do tính chất tuyến tính và bất biến nên y(n) =  + − − )kn()k(x T =  + − − )kn(h)k(x = h(n) * x(n) Phương trình y(n) = h(n) * x(n) gọi là biểu diễn chập của hệ thống. Ngoài ra với tác động x(n) = u(n) đáp ứng s(n) = h(n) * u(n) =  − n )k(h gọi là đáp ứng chỉ số của hệ thống và ta có h(n) = s(n) - s(n - 1). Đặt vấn đề tương tự với hệ thống liên tục, tuyến tính và bất biến với thời gian (viết tắt là LTI) y(t) = T{x(t)}. Ta có biểu diễn chập y(t) = h(t) * x(t) trong đó đáp ứng h(t) = T{(t)} gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Ngoài ra với tác động x(t) = u(t), đáp ứng s(t) = h(t) * u(t) =  −  t d)(h gọi là đáp ứng chỉ số của hệ thống và ta có h(t) = s’(t). Sau đây là một số kết quả đơn giản về đáp ứng xung của hệ LTI. Định lý 1 Cho các hệ LTI (S1) và (S2) liên tục hoặc rời rạc có đáp ứng xung tương ứng là h1 và h2. Khi đó ta có các kết quả sau đây 1) Đáp ứng xung của hệ nối tiếp S1  S2 là h1 * h2 2) Đáp ứng xung của hệ song song S1  S2 là h1 + h2 3) Đáp ứng xung của hệ lùi S1  S2 là h1 + h2 * h1 Chứng minh Suy ra từ định nghĩa  Chương 1. Tín Hiệu & Hệ Thống Trang 18 Giáo Trình Biến đổi Fourier & Laplace Định lý 2 Cho hệ LTI (S) liên tục hoặc rời rạc có đáp ứng xung là h. Khi đó ta có các kết quả sau đây 1) Hệ (S) là không nhớ khi và chỉ khi h(t) = K(t) với K = (0) 2) Hệ (S) là nhân quả khi và chỉ khi h(t) = với mọi t < 0 3) Hệ (S) là khả nghịch khi và chỉ khi h(t) là khả nghịch chập. Khi đó đáp ứng xung của hệ ngược là h-1* 4) Hệ (S) là ổn định khi và chỉ khi h(t) là khả tích tuyệt đối Chứng minh Suy ra từ định nghĩa  Ví dụ Hệ LTI cho bằng đáp ứng xung 1) Hệ LTI rời rạc có đáp ứng xung h(n) = 2-nu(n) + u(1 - n) là hệ có nhớ, không nhân quả và ổn định 2) Hệ LTI liên tục có đáp ứng xung h(t) = te-tu(t - 1) là hệ có nhớ, không nhân quả và ổn định 2. Đạo hàm và tích phân Trong phần tiếp theo ta sẽ biểu diễn chập các phép đạo hàm và tích phân, xem như là một hệ LTI. Xét hệ LTI đồng nhất y(t) = x(t) = (t) * x(t) đáp ứng xung của hệ là u0(t) = (t). Xét hệ LTI đạo hàm y(t) = dt )t(dx = u1(t) * x(t) đáp ứng xung của hệ là u1(t) = ’(t). Xét hệ LTI đạo hàm cấp hai y(t) =       = dt )t(dx dt d dt )t(xd 2 2